KULIAH 02 VIBRATION OF LUMPED-PARAMETER SYSTEMS

Chapter 2: Vibrations of Lumped-Parameter Systems

This chapter focuses on the principles of linear vibrations of lumped-parameter systems, which are crucial for understanding MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems). As microstructures typically experience vibratory motion, the fundamentals discussed herein are essential for grasping key aspects of the dynamical behavior of MEMS. This chapter also introduces methods to extract parameters required for modeling MEMS devices, including accelerometers, gyroscopes, and band-pass filters. Furthermore, it sets the stage for advanced topics in nonlinear oscillations that will be explored in subsequent chapters.

Overview of Lumped-Parameter Systems

Lumped-parameter systems simplify MEMS devices into discrete components such as concentrated masses, springs, dampers, and point forces, and begin with the analysis of Single-Degree-of-Freedom (SDOF) systems. The chapter systematically addresses:

• Free vibration problems (damped and undamped)

• Forced vibrations from external point loads and base excitations

• The analysis of Two-Degree-of-Freedom (2-DOF) systems. For deeper insights, references on vibrations are recommended.

Introduction to Vibration

Vibration entails the repetitive motion of objects relative to a stationary frame, with numerous everyday examples, such as the beating of a heart and vehicle vibrations on rough roads. In MEMS, devices either utilize microstructures intentionally driven to vibrate for sensing or actuation functions or experience vibratory motion due to dynamic disturbances, such as mechanical shocks.

Energy Exchange in Vibratory Systems

For vibration to occur, there must be an exchange of energy between potential and kinetic forms. Therefore, a vibrating system should include a spring-like component that converts potential energy into kinetic energy. Structures like beams and rods function as springs in MEMS models. When a spring is subject to force, a force-deflection curve is created, typically linear initially but exhibiting nonlinearities beyond certain deflections, illustrating hardening or softening behavior.

Degrees of Freedom (DOF)

The motion of vibrating systems is described using independent coordinates, termed degrees of freedom (DOF). For a body with translational and rotational motion, two independent variables are needed unless the motions are interrelated. Vibrations can be classified as:

• Free vibration (induced by initial disturbances when no continuous force is applied)

• Forced vibration (when a continuous force acts on the system)

• Damped or undamped vibrations depend on energy conservation or dissipation during motion.

Free Vibration of Single-Degree-of-Freedom (SDOF) Systems

Undamped Vibration

SDOF systems with one mode of motion can be modeled using a lumped spring-mass system. The vibrations can be analyzed using Newton's second law:

[ m rac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 ]

In this equation, the natural frequency (( w_n )) emerges from the relationship ( w_n = \sqrt{\frac{k}{m}} ), leading to a second-order linear differential equation. Solutions to this equation will describe the oscillatory motion of the system, characterized by parameters such as amplitude and phase shift. The equations derived help outline the motion as:

[ x(t) = A \sin(w_n t + \phi) ]

Damped Vibration

Realistic systems account for energy dissipation through damping, modeled similarly by adding a damping coefficient ( c ). The equation of motion becomes:

[ m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = 0 ]

The damping ratio (( \zeta )) captures the frictional effects in the system, dictating the nature of the vibration response:

• Overdamped (( \zeta > 1 )): Motion decays without oscillation.

• Critically damped (( \zeta = 1 )): Motion returns to equilibrium swiftly without oscillation.

• Underdamped (( 0 < \zeta < 1 )): Oscillatory motion that decays gradually.

The dynamics can typically be illustrated by time-response frameworks, indicating the characteristics of damped oscillations with a focus on stability dependent on positive values of stiffness and damping.

Forced Harmonic Excitation of Single-Degree-of-Freedom Systems

MEMS commonly experience forced vibrations due to harmonic excitations facilitated by electrostatic or piezoelectric methods. The governing equation for forced motion becomes:

[ m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega t) ]

Where ( F_0 ) is the amplitude of the harmonic force, and ( \omega ) is the excitation frequency. The solution consists of two components: a homogenous solution (involving natural frequency behavior) and a particular solution (steady-state response). The analysis culminates in normalized functions capturing the essence of response and vibration behavior, particularly observing features like resonance that critically influence MEMS performance.

Examples illustrate the complexities encountered within response systems, emphasizing certain phenomena such as resonance, quality factors, and bandwidth that significantly affect MEMS operational integrity in real-world applications.

Bab 2: Getaran Sistem Parameter Terpusat

Bab ini fokus pada prinsip getaran linier dari sistem parameter terpusat, yang penting untuk memahami MEMS (Sistem Mikro-Elektro-Mekanik). Karena mikrostruktur biasanya mengalami gerakan-getaran, dasar-dasar yang dibahas di sini sangat penting untuk memahami aspek-aspek kunci dari perilaku dinamis MEMS. Bab ini juga memperkenalkan metode untuk mengekstraksi parameter yang diperlukan untuk memodelkan perangkat MEMS, termasuk akselerometer, giroskop, dan filter pita. Selain itu, bab ini mempersiapkan pemahaman untuk topik-topik lanjutan tentang osilasi nonlinier yang akan dieksplorasi di bab-bab selanjutnya.

Ikhtisar Sistem Parameter Terpusat

Sistem parameter terpusat menyederhanakan perangkat MEMS menjadi komponen diskrit seperti massa terpusat, pegas, peredam, dan gaya titik, dimulai dengan analisis Sistem Derajat Kebebasan Tunggal (SDOF). Bab ini secara sistematis membahas masalah getaran bebas (baik yang teredam maupun tidak teredam), getaran paksa dari beban titik eksternal dan eksitasi dasar, serta analisis Sistem Derajat Kebebasan Dua (2-DOF). Untuk wawasan yang lebih dalam, referensi tentang getaran direkomendasikan.

Pengantar tentang Getaran

Getaran meliputi gerakan berulang dari objek relatif terhadap kerangka diam, dengan banyak contoh sehari-hari, seperti detak jantung dan manajemen getaran kendaraan di jalan yang kasar. Dalam MEMS, perangkat baik memanfaatkan mikrostruktur yang sengaja digerakkan untuk bergetar dalam fungsi penginderaan atau aksi, atau mengalami gerakan-getaran akibat gangguan dinamis, seperti guncangan mekanis.

Pertukaran Energi dalam Sistem Getaran

Untuk terjadinya getaran, harus ada pertukaran energi antara bentuk potensial dan kinetik. Oleh karena itu, sistem yang bergetar harus mencakup komponen menyerupai pegas yang mengubah energi potensial menjadi energi kinetik. Struktur seperti balok dan batang berfungsi sebagai pegas dalam model MEMS. Ketika pegas dikenakan gaya, kurva gaya-deviasi dibuat, biasanya linier awalnya tetapi menunjukkan non-linearitas setelah deviasi tertentu, menggambarkan perilaku penguatan atau pelunakan.

Derajat Kebebasan (DOF)

Gerakan sistem yang bergetar dijelaskan menggunakan koordinat independen, yang disebut derajat kebebasan (DOF). Untuk suatu benda dengan gerakan translasi dan rotasi, dibutuhkan dua variabel independen kecuali jika gerakan saling terkait. Getaran dapat diklasifikasikan sebagai getaran bebas (disebabkan oleh gangguan awal ketika tidak ada gaya kontinu yang diterapkan) atau getaran paksa (ketika gaya kontinu bekerja pada sistem). Getaran yang teredam atau tidak teredam bergantung pada konservasi atau pengeluaran energi selama gerakan.

Getaran Bebas Sistem Derajat Kebebasan Tunggal (SDOF)

Getaran Tidak Teredam

Sistem SDOF dengan satu mode gerakan dapat dimodelkan menggunakan sistem massa-pega. Getaran dapat dianalisis dengan menggunakan hukum kedua Newton: ( m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 ). Dalam persamaan ini, frekuensi alami (( w_n )) muncul dari hubungan (( w_n = \sqrt{\frac{k}{m}} )), yang mengarah pada persamaan diferensial linier orde kedua. Solusi untuk persamaan ini akan menggambarkan gerakan osilasi sistem, yang ditandai dengan parameter seperti amplitudo dan pergeseran fase. Dengan demikian, gerakan dapat diuraikan sebagai ( x(t) = A \sin(w_n t + \phi) ).

Getaran Teredam

Sistem yang realistis mempertimbangkan pengeluaran energi melalui peredaman, dimodelkan dengan menambahkan koefisien peredam (( c )). Persamaan gerakan menjadi ( m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = 0 ). Rasio peredaman (( \zeta )) menangkap efek gesekan dalam sistem, yang menentukan sifat respons getaran. Skenario termasuk teredam berlebih (( \zeta > 1 )), teredam kritis (( \zeta = 1 )), dan teredam kurang (( 0 < \zeta < 1 )), di mana dinamika biasanya digambarkan oleh kerangka waktu-respons yang fokus pada stabilitas yang tergantung pada nilai positif kekakuan dan peredaman.

Eksitasi Harmonik Paksa Sistem Derajat Kebebasan Tunggal

MEMS biasanya mengalami getaran paksa akibat eksitasi harmonik yang difasilitasi oleh metode elektrostatik atau piezoelektrik. Persamaan pengatur untuk gerakan paksa menjadi ( m \frac{d^2x}{dt^2} + c \frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega t) ), di mana (( F_0 )) adalah amplitudo gaya harmonik, dan (( \omega )) adalah frekuensi eksitasi. Solusi terdiri dari dua komponen: solusi homogen (melibatkan perilaku frekuensi alami) dan solusi khusus (respons keadaan tetap). Analisis ini memunculkan fungsi normalisasi yang menangkap esensi respons dan perilaku getaran, dengan perhatian khusus pada fitur seperti resonansi yang secara kritis mempengaruhi kinerja MEMS. Contoh-contoh menggambarkan kompleksitas yang dihadapi dalam sistem respons, menekankan fenomena seperti resonansi, faktor kualitas, dan lebar pita yang secara signifikan memengaruhi integritas operasi MEMS dalam aplikasi dunia nyata.