matematika teorija

. Logika i iskazi

  • Osnovni pojmovi u matematici: To su pojmovi koje ne definišemo, već ih shvatamo intuitivno, iskustveno ili dogovorom (npr. tačka, prava, ravan).

  • Konjunkcija (A ∧ B): Tačna samo ako su oba iskaza A i B tačna.

  • Disjunkcija (A ∨ B): Netačna samo ako su oba iskaza A i B netačna.

  • Implikacija (A ⇒ B): Netačna samo ako je A tačno, a B netačno.

  • Ekvivalencija (A ⇔ B): Tačna ako su oba iskaza A i B tačna ili oba netačna.

  • Aksiom: Početni stav koji se ne dokazuje.

  • Teorema: Tvrdnja koja se dokazuje pomoću aksioma i definicija.

2. Skupovi

  • Skup: Osnovni pojam – skup elemenata.

  • Podskup: Skup A je podskup skupa B ako su svi elementi A i u B.

  • Unija (A ∪ B): Svi elementi iz A ili B.

  • Presek (A ∩ B): Zajednički elementi A i B.

  • Razlika (A \ B): Elementi u A, ali ne u B.

  • Simetrična razlika: Unija razlika A \ B i B \ A.

  • Partitivni skup: Skup svih podskupova skupa A.

  • Komplement skupa: Svi elementi koji nisu u skupu, ali su u univerzalnom skupu.

3. Geometrija — Osnovni pojmovi

  • Kolinearne tačke: Leže na istoj pravoj.

  • Prava je određena: Sa dvije različite tačke.

  • Ravan je određena: Sa tri nekolinearne tačke, dvije prave koje se sijeku ili su paralelne, ili pravom i tačkom van nje.

  • Duž: Dio prave između dvije tačke.

  • Poluprava: Prava koja počinje od jedne tačke i ide u jednom smjeru.

  • Orijentisana prava: Prava sa zadanim smjerom.

  • Poluravan: Dio ravni sa jednom pravom kao granicom.

4. Figure i osobine

  • Mnogougao: Figura sastavljena od nadovezanih duži.

  • Poligonalna linija: Niz nadovezanih duži koje ne pripadaju istoj pravoj.

  • Dijagonala: Duž koja spaja dva nesusjedna tjemena.

  • Konveksna figura: Svaka duž između dvije tačke figure pripada figuri.

  • Konkavna figura: Postoji duž koja ne pripada figuri u cijelosti.

5. Trougao

  • Zbir unutrašnjih uglova: 180°.

  • Zbir vanjskih uglova: 360°.

  • Ortocentar: Sjekište visina.

  • Težište: Sjekište težišnih linija (od tjemena do središta naspramne stranice).

  • Opisani krug: Kružnica kroz sva tri temena.

  • Upisani krug: Kružnica koja dodiruje sve tri stranice iznutra.

  • Simetrala ugla: Dijeli ugao na dva jednaka dijela.

  • Simetrala stranice: Prava koja prolazi kroz sredinu stranice i okomita je na nju.

  • Visina: Najkraće rastojanje od tjemena do naspramne stranice.

6. Podudarnost trouglova

  • USU: Dva ugla i stranica između njih jednaki.

  • SUS: Dvije stranice i ugao između njih jednaki.

  • SSS: Sve stranice su međusobno jednake.

  • SSU: Dvije stranice i ugao nasuprot veće stranice.

7. Kružnica i krug

  • Kružnica: Skup tačaka jednako udaljenih od centra – K(O,r).

  • Krug: Svi elementi unutar kružnice.

  • Tetiva: Duž čiji su krajevi na kružnici.

  • Prečnik: Najduža tetiva – prolazi kroz centar.

  • Tangenta: Prava koja dodiruje kružnicu u jednoj tački.

  • Sječica: Prava koja siječe kružnicu u dvije tačke.

  • Centralni ugao: Vrh u centru, obuhvata luk.

  • Periferijski ugao: Vrh na kružnici.

  • Teoreme:

    • Centralni ugao = 2 × periferijski nad istim lukom.

    • Periferijski ugao nad prečnikom je pravi.

    • Ako trougao ima prečnik kao stranicu → pravougli je.

8. Vektori

  • Skalar: Veličina opisana samo brojem (npr. masa).

  • Vektor: Ima pravac, smjer i intenzitet (npr. sila).

  • Nula-vektor: Početak i kraj se poklapaju.

  • Jednaki vektori: Imaju isti intenzitet, pravac i smjer.

  • Suprotni vektori: Imaju isti intenzitet i pravac, ali suprotan smjer.

9. Monomi

  • Monom: Realan broj × stepen varijable (npr. 3x²).

  • Istoimeni/slični monomi: Imaju iste varijable i stepene – mogu se sabirati i oduzimati.

10. Iskazi

  • Iskaz: Rečenica koja ima smisla i može biti tačna ili netačna.

  • Istinitost: Određuje se logičkom analizom – da li se može utvrditi da li je iskaz tačan.