Coeficiente de Determinación

Concepto General

• El coeficiente de determinación, denotado como R², es una medida que indica qué tan bien la variable explicativa o independiente explica a la variable dependiente.

• Mide la proporción de la variación total en la variable dependiente que es explicada por el modelo de regresión.

• Es una medida de la bondad de ajuste del modelo de regresión.

• R² siempre está entre 0 y 1.

  • Un R² cercano a 1 indica que el modelo explica una gran proporción de la variabilidad en la variable dependiente.

  • Un R² cercano a 0 indica que el modelo explica una pequeña proporción de la variabilidad en la variable dependiente.

• El R² no mide causalidad.

Cálculo del R²

• Para calcular el R², primero se requiere definir la suma total de cuadrados (STC), que mide la variación total en la variable dependiente:

  • STC = ∑ᵢ(yᵢ - ȳ)²

• También se define la suma explicada de cuadrados (SEC), que mide la variación explicada por el modelo de regresión:

  • SEC = ∑ᵢ(ŷᵢ - ȳ)²

  • A veces también se le llama "suma de cuadrados de la regresión" o "suma de cuadrados del modelo"

• Y la suma residual de cuadrados (SRC), que mide la variación no explicada por el modelo (también llamada "suma de cuadrados de los errores"):

  • SRC = ∑ᵢ(yᵢ - ŷᵢ)² = ∑ᵢ(ûᵢ)²

• La relación entre estas sumas de cuadrados es STC = SEC + SRC.

• El coeficiente de determinación se calcula como:

  • R² = SEC / STC

  • Alternativamente, R² = 1 - (SRC / STC)

Interpretación del R²

• R² es la proporción de la variación total en y que es explicada por x en el modelo de regresión lineal simple.

• Un R² de 0.75, significa que el modelo explica el 75% de la variación total en la variable dependiente, y el 25% restante no es explicado por el modelo.

• En ciencias sociales, no es raro encontrar R² bajos en ecuaciones de regresión, especialmente con datos de corte transversal. Esto indica que hay otros factores no incluidos en el modelo que influyen en la variable dependiente.

• Es importante recordar que un R² alto no implica necesariamente que el modelo sea bueno o que exista causalidad entre las variables.

Advertencias

• R² no indica causalidad; solo la proporción de la variación que se explica estadísticamente por el modelo.

• R² no puede utilizarse para comparar modelos con diferentes variables dependientes.

  • Por ejemplo, no es válido comparar el R² de un modelo con variable dependiente y con el R² de un modelo con variable dependiente log(y).

• El R² siempre aumenta cuando se añaden más variables explicativas al modelo, aunque estas no sean relevantes. Por esta razón se usa el R² ajustado en estos casos.

R² en Regresión Múltiple

• El concepto del R² se generaliza de manera natural al modelo de regresión múltiple, midiendo la proporción de la variabilidad total en la variable dependiente explicada por todas las variables independientes conjuntamente.

• En la regresión múltiple, R² no indica cuánto aporta cada variable independiente individual, pero existe un caso especial donde esto sí es posible. Si la correlación entre las diferentes variables explicativas es exactamente cero, entonces la R² de la regresión múltiple será igual a la suma de las R² de las regresiones simples de cada variable independiente.