Statistika i osnovna mjerenja – Račun pogreške

Statistika i Osnovna Mjerenja

Obrada rezultata mjerenja

Uvod u obradu rezultata mjerenja je nužan za laboratorijske vježbe.
Praktični pristup uključuje primjere, formule i zadatke.
Sadržaj obuhvaća:
- Račun pogreške
- Grafički prikaz rezultata
- Metoda najmanjih kvadrata
Cilj je statistički obraditi i pravilno prikazati rezultate mjerenja.

Račun Pogreške

Vrste pogrešaka pri mjerenjima:
- Neovisna mjerenja
- Ovisna mjerenja
Opća srednja vrijednost i nepouzdanost

Mjerenje fizikalnih veličina

Cilj mjerenja je utvrditi brojčanu vrijednost neke veličine.
Rezultat mjerenja $x_i$ odstupa od prave vrijednosti veličine $X$ zbog raznih utjecaja.
Odstupanje pojedine izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti se naziva pogreškom mjerenja: $\Delta x = x_i - X$
Eksperiment nastoji da izmjerena vrijednost bude što bliže pravoj vrijednosti, a pogreška mjerenja pravilno procijenjena kako bi rezultat bio valjan.

Pogreške mjerenja

Tri tipa pogrešaka mjerenja:
- Slučajne pogreške
- Sistematske pogreške
- Grube pogreške

Grube pogreške

Mogu nastati naglim poremećajem u okolini ili uređaju (npr. kvar).
Također mogu nastati zbog propusta eksperimentatora (npr. krivo očitanje ili zapisivanje rezultata).
Mjerenja za koja je ustanovljeno da sadrže grube pogreške treba odbaciti iz daljnje obrade ili ponoviti u ispravnim uvjetima.

Sistematske pogreške

Primjer: Mjerenje perioda titranja matematičkog njihala pomoću štoperice.
- Moguće situacije:
  - a) Vrijeme na štoperici odstupa od stvarnog vremena za konačan iznos. Npr. kad štoperica pokazuje 60 s, u stvarnosti je to 59 s → sva mjerenja vremena su sustavno manja za 59/60 ~ 1.7%
  - b) Prilikom pritiska na gumb štoperice potrebno je neko vrijeme t da uređaj reagira. → vrijeme reakcije uvijek uzrokuje kašnjenje mjerenja za isti iznos t
  - c) Kut očitavanja daje krivi ravnotežni položaj → kut očitavanja uzrokuje pogrešno mjerenje vremena za isti iznos t

Sistematske pogreške (nastavak)

Primjer: Pogrešno kalibrirana ili pomaknuta skala.
Prilikom ponavljanja mjerenja javljaju se u istom smjeru i iznosu (reproducibilnost!).
Nisu predmetom statističke analize.
Mogu se ukloniti ili smanjiti na nekoliko načina:
- Poboljšanjem aparature ili tehnike (npr. preciznija kalibracija).
- Planiranjem mjerenja – mjerenje se u nekim situacijama može organizirati tako da se sistematske pogreške ponište. Primjer: kada mjerimo vrijeme štopericom svaki puta kad pritisnemo gumb mjerenja kasni za vrijeme t. U slučaju mjerenja perioda njihala isto vrijeme kašnjenja je prisutno pri pokretanju i zaustavljanju štoperice, pa se ove dvije pogreške poništavaju.
Netočnosti mjerenja uzrokovane mjernim uređajem ili tehnikom.

Slučajne pogreške

Primjer: Mjerimo period titranja njihala pomoću štoperice → u tom slučaju mjerni uređaj čine čovjek + štoperica
Izvršimo 10 mjerenja i dobivamo vrijednosti koje se razlikuju.
- Što može dovesti do razlike u rezultatima mjerenja:
  - a) Brzine reakcije kod uključivanja/zaustavljanja štoperice
  - b) Preciznost štoperice (zaokruživanje decimala)
  - c) Nejednako očitavanje ravnotežnog položaja njihala → nesavršenost mjernog uređaja
  - d) Promjene ravnotežnog položaja njihala u vremenu, npr. zbog drmanja postolja na kojem se nalazi ili strujanja zraka → utjecaj okoline
- Mjerenje T [s]: 1. 12.5, 2. 11.9, 3. 13.0, 4. 13.1, 5. 12.6, 6. 12.2, 7. 12.7, 8. 11.6, 9. 13.4, 10. 12.8

Slučajne pogreške (nastavak)

Svojstva slučajnih pogrešaka:
- Ponavljanjem mjerenja dobivaju se različiti rezultati - slučajne pogreške različite po iznosu i smjeru
- Mogu se statistički obraditi (čime ćemo se mi baviti)
Uzrok pogreške su nestalni uvjeti mjerenja:
- Preciznost mjernog uređaja
- Promjena okoline
Smanjenje slučajnih pogrešaka:
- Usavršavanje mjernog uređaja ili tehnike (npr. automatizacija mjerenja u našem primjeru)
- Izolacija od okoline
- Ponavljanjem mjerenja i statističkom obradom može se preciznije odrediti prava vrijednost fizikalne veličine
Slučajnu pogrešku možemo definirati kao neodređenost rezultata zbog konačne preciznosti uređaja i fluktuacija u uvjetima mjerenja.

Neovisna mjerenja

Izvodimo niz mjerenja neke fizikalne veličine X i dobivamo rezultate $x1, x2, x3, …, xn$ , koji se međusobno razlikuju zbog prisustva slučajnih pogrešaka
Da bi odredili najvjerojatniju vrijednost mjerene veličine i pogrešku mjerenja definiramo sljedeće pojmove:
- Srednja vrijednost
- Srednja kvadratna pogreška pojedinog mjerenja
- Srednja kvadratna pogreška aritmetičke sredine
- Relativna nepouzdanost
- Maksimalna apsolutna pogreška

Srednja vrijednost

Izračunava se kao aritmetička sredina izmjerenih vrijednosti
Za n mjerenja aritmetička sredina je: $x = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} xi$
Uzimamo da je upravo $x$ najvjerojatnija prava vrijednost X mjerene fizikalne veličine → govori o očekivanoj vrijednosti mjerene veličine

Srednja kvadratna pogreška mjerenja (standardna devijacija)

Kvadratna odstupanja izmjerenih vrijednosti od srednje vrijednosti
Za dovoljno velik n (~10 mjerenja), m poprima ustaljenu vrijednost
Govori o pouzdanosti pojedinog mjerenja
Iskazuje rasipanje rezultata kao posljedicu preciznosti uređaja → mjera preciznosti uređaja

Srednja kvadratna pogreška aritmetičke sredine (nepouzdanost)

Ako izvedemo veći broj mjerenja očekujemo da će fizikalna veličina biti preciznije određena
Mjera preciznosti rezultata je srednja kvadratna pogreška aritmetičke sredine:
$M_n$ se smanjuje sa brojem mjerenja proporcionalno ~ $\frac{1}{\sqrt{n}}$ → povećava se preciznost rezultata
Govori o pouzdanosti rezultata

Maksimalna apsolutna pogreška

Najveće odstupanje pojedinačnog mjerenja od aritmetičke sredine: $\Delta x$
Ponekad zbog prirode eksperimenta ne možemo izračunati $M_n$ :
- ako imamo samo jedno mjerenje
- ako sva mjerenja daju isti rezultat pa je $M_n=0$
Tada procjenjujemo maksimalnu pogrešku $\Delta x$

Relativna nepouzdanost

ako je poznat M:
$R = \frac{M_n}{x} \cdot 100\%$
ako nije poznat M:
$R = \frac{\Delta x}{x} \cdot 100\%$

Rezultat

Pišemo u obliku:
$x = x \pm M_n$
Ako nije poznat M:
$x = x \pm \Delta x$

Zaokruživanje rezultata

Primjer:
- pri ponavljanju mjerenja perioda njihala dobili smo srednju vrijednost: $T = 2.453 s$
- pogreška mjerenja iznosi: $\Delta T = 0.223 s$
- Rezultat pišemo kao: $T = 2.5 \pm 0.2 s$
Pogreška se u pravilu zaokružuje na prvu znamenku različitu od nule
Rezultat se zaokružuje na prvu nepouzdanu znamenku – onu koja je na istom decimalnom mjestu kao i zaokružena pogreška

Primjer

Mjerenje perioda T matematičkog njihala
Na temelju izmjerenih vrijednosti dobivamo:
Pa pišemo rezultat mjerenja:
Mjerenje T [s] : 1. 12,5 2. 11,9 3. 13,0 4. 13,1 5. 12,6 6. 12,2 7. 12,7 8. 11,6 9. 13,4 10. 12,8

Ovisna mjerenja

Tražena veličina F je funkcija neposredno izmjerenih veličina $x_i$ ,
Srednja vrijednost F je funkcija srednjih vrijednosti $\overline{x_i}$ :
Ako su veličine $x_i$ međusobno neovisne onda je srednja kvadratna pogreška veličine F:
Rezultat pišemo kao:

Ovisna mjerenja (Primjer)

Primjer: želimo odrediti ubrzanje sile teže mjerenjem perioda titranja (T) i duljine niti (l) matematičkog njihala
Ubrzanje sile teže je dano relacijom:
Uzmimo da su neovisnim mjerenjima dobiveni rezultati:
- l = 0.850 ± 0.002 m
- T = 1.849 ± 0.003 s
- Srednje ubrzanje sile teže je:
- Srednja kvadratna pogreška je:
- Uvrštavanjem dobivamo: g=(9.82 ±0.04) ms-2

Opća srednja vrijednost

Izvedeno je m nizova mjerenja iste fizikalne veličine te je za svaki niz dobivena srednja vrijednost i kvadratna pogreška:
- primjer: fizikalna veličina je određena različitim eksperimentalnim metodama
Konzistentna mjerenja – ako su razlike za svaki par mjerenja usporedive s bilo kojim Mk
Nekonzistentna mjerenja - ako su razlike >> Mk tada zanemarujemo nepouzdanosti Mk, a veličine smatramo nezavisnama te ih tako i analiziramo m

Opća srednja vrijednost

Za konzistentna mjerenja definiramo opću aritmetičku sredinu:
Gdje je M nepouzdanost opće aritmetičke sredine:
Rezultat pišemo u obliku:
Poseban slučaj konzistentnih mjerenja je kada je jedna pouzdanost Mk znatno manja od svih ostalih. Tada vrijedi:

Povećanje preciznosti rezultata ili kako smanjiti pogreške?

Moguće sistematske pogreške treba reducirati pri planiranju eksperimenta – treba razviti i napraviti mjerni uređaj ili tehniku koja će omogućiti relativno male sistematke pogreške → bolji uređaj u pravilu znači skuplji uređaj
Slučajne pogreške u pravilu se mogu smanjiti ponavljanjem mjerenja → dulje mjerenje znači skuplje mjerenje
Koliko mjerenja treba napraviti? Toliko da slučajna (statistička) pogreška bude manja ili podjenaka sistematskoj → najčešče se pokazuje da je to financijski i vremenski najefikasnije rješenje

Statističke i sistematske pogreške

Primjer mjerenja:
- Svaka izmjerena točka ima pripadajuću statističku pogrešku (vertikalne crte) i sistematsku pogrešku (pravokutnici)
- Obje pogreške su usporedive