Notes de Cours Complètes : Mathématiques Spécialité Terminale

RÉSUMÉ EXHAUSTIF DU COURS : MATHÉMATIQUES TERMINALE

CHAPITRE 2 : DÉRIVATION ET CONVEXITÉ

I. Dérivation et Tangente

Définition de la dérivée : Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant le réel $x$. On dit que $f$ est dérivable en $x$ si la limite suivante est égale à un nombre réel, noté alors $f'(x)$ : $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Exemple de démonstration : Pour démontrer que si $f(x) = x^2$, alors $f'(x) = 2x$ :

1. On calcule le taux d'accroissement : $\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$
2. On développe : $\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h$
3. On passe à la limite quand $h$ tend vers 0 : $\lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$.

Définition de la tangente : Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $a$. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est la droite passant par le point $(a; f(a))$ et ayant pour coefficient directeur $f'(a)$.

Propriété (Équation de la tangente) : L'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $a$ est donnée par : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Exemple d'application : Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2$ en $a = 3$ :

• $f(3) = 3^2 = 9$
• $f'(x) = 2x$, donc $f'(3) = 2 \times 3 = 6$
• L'équation est $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$.

II. Fonctions dérivables : Formules à connaître

III. Opérations sur les fonctions dérivées

Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ (avec $v$ non nulle pour le quotient) :

• Somme : $(u + v)' = u' + v'$
• Produit : $(u \times v)' = u'v + uv'$
• Inverse : $(\frac{1}{v})' = \frac{-v'}{v^2}$
• Quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

IV. Théorème fondamental et Variations

• Si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f' < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f' = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Exercice d'application : Étude de $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + 4$ sur $[-5; 4]$ :

1. Calcul de la dérivée : $f'(x) = x^2 + 2x - 3$.
2. Calcul du discriminant ($\Delta$) : $\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16$.
3. Racines : $x_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$ et $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.
4. Tableau de signe de $f'(x)$ : positif sur $[-5; -3]$, négatif sur $[-3; 1]$, positif sur $[1; 4]$.
5. Tableau de variation : croissante, décroissante, puis croissante.

CHAPITRE 3 : LIMITES DE SUITES

I. Limite infinie

Définitions :

1. $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ si pour tout réel $A$, il existe un rang $n_A$ à partir duquel tous les $u_n$ sont supérieurs à $A$.

• Quantificateurs : $\forall A \in \mathbb{R}, \exists n_A \in \mathbb{N} : n \ge n_A \implies u_n \ge A$.

1. $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$ si pour tout réel $a$, il existe un rang $n_a$ à partir duquel tous les $u_n$ sont inférieurs à $a$.

• Quantificateurs : $\forall a \in \mathbb{R}, \exists n_a \in \mathbb{N} : n \ge n_a \implies u_n < a$.

Une suite ayant une limite infinie est dite divergente.

Suites de référence :$(\sqrt{n})$, $(n)$, $(n^2)$, $(n^p)$ tendent vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$.

II. Limite finie et Convergence

Définition : On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers $l$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe un rang $n_\epsilon$ tel que pour tout $n \ge n_\epsilon$, $u_n \in [l - \epsilon; l + \epsilon]$.

Propriétés :

• L'unicité de la limite : si elle existe, elle est unique.
• Toute suite convergente est bornée (la réciproque est fausse, ex: $(-1)^n$).
• Si une suite converge, toutes ses suites extraites convergeant vers la même limite.
• Les suites $(\frac{1}{n})$, $(\frac{1}{n^p})$ tendent vers $0$.

III. Opérations et Formes Indéterminées (F.I.)

Il existe quatre formes indéterminées classiques :

1. Addition : $(+\infty) + (-\infty)$
2. Produit : $0 \times \infty$
3. Quotient : $\frac{\infty}{\infty}$
4. Quotient : $\frac{0}{0}$

Méthode de levée d'indétermination : Forcer la mise en facteur du terme le plus fort. Exemple : $u_n = 3n^2 - 5n + 2$. On factorise par $n^2$ : $n^2(3 - \frac{5}{n} + \frac{2}{n^2})$. Les termes en $\frac{1}{n}$ tendent vers 0, la limite est $+\infty$.

IV. Suites Arithmétiques et Géométriques

Suites arithmétiques (raison $r$) :

• Si $r > 0$, $\lim u_n = +\infty$.
• Si $r < 0$, $\lim u_n = -\infty$.

Suites géométriques (raison $q$) :

• Si $q > 1$, $\lim q^n = +\infty$.
• Si $-1 < q < 1$, $\lim q^n = 0$.
• Si $q \le -1$, la suite n'a pas de limite.

VECTEURS, DROITES ET PLANS DE L'ESPACE

I. Perspective Cavalière et Volumes

Règles :

• Arêtes cachées en pointillés.
• Figures de face en vraie grandeur.
• Le parallélisme et les milieux sont conservés.

Volumes :

• Solides droits : $V = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$.
• Pyramide/Cône : $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$.
• Sphère : $V = \frac{4}{3} \pi \times r^3$.

II. Vecteurs de l'Espace

Égalité et Somme :

• $\vec{AB} = \vec{CD}$ ssi $ABDC$ est un parallélogramme.
• Relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
• Règle du parallélogramme : $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AE}$.

Colinéarité et Coplanarité :

• Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.
• Trois points $A, B, C$ sont alignés si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
• Trois vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ sont coplanaires si l'un est une combinaison linéaire des deux autres : $\vec{u} = t\vec{v} + t'\vec{w}$.

III. Repères et Représentations Paramétriques

Coordonnées : Soit $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$.

• Vecteur $\vec{AB}$ : $\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$.
• Milieu de $[AB]$ : $(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2})$.

Représentation paramétrique d'une droite : Passant par $A(x_A; y_A; z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a; b; c)$ : $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} t \in \mathbb{R}$

CHAPITRE 5 : LIMITES DE FONCTIONS

I. Définitions et Asymptotes

• Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$, la droite $y = L$ est asymptote horizontale.
• Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.

II. Limites usuelles

• Exponentielle : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.
• Racine carrée : $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.
• Inverse : $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$; $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$; $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

III. Théorèmes de comparaison

• Théorème des Gendarmes : Si $f(x) \le g(x) \le h(x)$ et $\lim f = \lim h = L$, alors $\lim g = L$.
• Composée de fonctions : Si $\lim_{x \to a} u(x) = b$ et $\lim_{y \to b} v(y) = c$, alors $\lim_{x \to a} v(u(x)) = c$.

CHAPITRE 6 : CONTINUITÉ ET TVI

Définition de la continuité :$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

• Toute fonction dérivable est continue.
• Les polynômes, exponentielles, et fonctions rationnelles (sur leur domaine) sont continues.

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a; b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution.

• Corollaire (unicité) : Si de plus $f$ est strictement monotone, la solution est unique.

DÉNOMBREMENT

I. Cardinal et Principes de base

• Cardinal : Nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$, noté $Card(E)$.
• Parties d'un ensemble : Si $Card(E) = n$, il existe $2^n$ parties de $E$.
• Principe additif : Si $E$ et $F$ sont disjoints, $Card(E \cup F) = Card(E) + Card(F)$.
• Principe multiplicatif : Pour un produit cartésien, $Card(E \times F) = Card(E) \times Card(F)$.

II. Arrangements, Permutations et Combinaisons

• Factorielle : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$. Convention : $0! = 1$.
• Permutation : Façon d'ordonner $n$ éléments distincts. Il y en a $n!$.
• Arrangement : Liste ordonnée de $k$ éléments parmi $n$. $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
• Combinaison (Coefficient binomial) : Partie de $k$ éléments parmi $n$ (ordre non important). $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Propriétés des combinaisons :

• Symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
• Relation de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.

PROBABILITÉS

I. Probabilités conditionnelles et Indépendance

• Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
• Formule des probabilités totales : $P(B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + ... + P(A_n \cap B)$.
• Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants ssi $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ ou $P_A(B) = P(B)$.

II. Variables Aléatoires et Loi Binomiale

• Espérance : $E(X) = \sum x_i p_i$.
• Variance : $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i$.
• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Loi Binomiale $B(n, p)$ : Répétition de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$.

• Probabilité : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}$.
• Paramètres : $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$.

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (LN)

Définition : La fonction $\ln$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0; +\infty[$.

• $e^x = y \iff x = \ln(y)$.
• $\ln(1) = 0$
• $\ln(e) = 1$
• $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
• $e^{\ln(y)} = y$ pour tout $y > 0$.

Propriétés :

• $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
• Les courbes de $e^x$ et $\ln(x)$ sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.