In-Depth Notes on Probabilities and Statistics (201-SN1-RE)

Probabilités et statistique (201-SN1-RE)

• Enseignant: Christian Stahn
• Cours: 24-22 avril 2025
• Établissement: VANIER CÉGEP/COLLEGE

Aperçu de la fin de la session

• Deux grands chapitres à explorer :

  • Chapitre 5 : Estimation de paramètres

  • Utilisation d'un échantillon pour estimer un paramètre inconnu de la population (ex.: moyenne, proportion)

  • Intervalles de confiance

  • Chapitre 6 : Tests d’hypothèses

  • Prendre une décision à partir de données échantillonnées

  • Hypothèses, valeur p, erreurs de type I et II

• Fil conducteur: Statistique inférentielle

  • Dessiner des conclusions concernant la population
  • Difficulté/Impossibilité d'examiner tous les membres de la population
  • Prélèvement d'un échantillon
  • Questions : Que peut-on conclure, et avec quelle certitude ?

Moyenne échantillonnale

• Objectif : Établir des conclusions sur la moyenne de la population à partir d’un échantillon

• Étapes :

  1. Prélèvement d'un échantillon aléatoire

  2. Calcul de la moyenne échantillonnale :

     X = rac{1}{n} imes extstyleigg( extstyleigg(ni=1)^{n} (Xi)

  • Utilisation de cette moyenne comme estimation de la moyenne inconnue de la population ( ext{µ})

• Variabilité :

  • La moyenne d’un échantillon est une statistique et varie d’un échantillon à l’autre.
  • Question : Quelle est la distribution de X ?

Moyenne échantillonnale : population normale

• Théorème :
  • Pour une variable aléatoire X suivant une distribution normale avec moyenne  ext{µ}X et écart-type  ext{σ}X :
  • La moyenne de l’échantillon X suit aussi une distribution normale
  • Moyenne de la distribution :  ext{µ}X = ext{µ}X
  • Écart-type (erreur-type) :  ext{σ}X = rac{ ext{σ}X}{ ext{√n}}
• Remarque :
  • Lorsque la population est normale, X suit une distribution normale, peu importe la taille de l'échantillon.
  • L'écart-type diminue en fonction de la racine carrée de la taille de l'échantillon.

Surprise ! Le théorème central limite

• Théorème :
  • Si X a une moyenne  ext{µ}X et un écart-type  ext{σ}X :
  • Pour un échantillon aléatoire de taille n suffisamment grand :
    • La distribution de la moyenne X est approximativement normale
    • Moyenne :  ext{µ}X = ext{µ}X
    • Écart-type :  ext{σ}X = rac{ ext{σ}X}{ ext{√n}}
• Remarque :
  • Même si la population n’est pas normale, la distribution de X devient de plus en plus normale lorsque n augmente
• Règle empirique : n ext{≥ 30} est souvent suffisant pour que l’approximation normale soit valable.

Exemples de populations non normales

• Population uniforme
• Population bimodale

Compétences à acquérir après le cours

• Résoudre des exercices restants sur la feuille de problèmes d’aujourd’hui
• Approfondir les exercices du manuel :
  • Section 5.2, question éclair 5.2 (p. 228)
  • Exercice 5.1 (p. 230)
  • Chapitre 5, exercice récapitulatif 3