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In-Depth Notes on Probabilities and Statistics (201-SN1-RE)

Probabilités et statistique (201-SN1-RE)

  • Enseignant: Christian Stahn
  • Cours: 24-22 avril 2025
  • Établissement: VANIER CÉGEP/COLLEGE

Aperçu de la fin de la session

  • Deux grands chapitres à explorer :

    • Chapitre 5 : Estimation de paramètres

    • Utilisation d'un échantillon pour estimer un paramètre inconnu de la population (ex.: moyenne, proportion)

    • Intervalles de confiance

    • Chapitre 6 : Tests d’hypothèses

    • Prendre une décision à partir de données échantillonnées

    • Hypothèses, valeur p, erreurs de type I et II

  • Fil conducteur: Statistique inférentielle

    • Dessiner des conclusions concernant la population
    • Difficulté/Impossibilité d'examiner tous les membres de la population
    • Prélèvement d'un échantillon
    • Questions : Que peut-on conclure, et avec quelle certitude ?

Moyenne échantillonnale

  • Objectif : Établir des conclusions sur la moyenne de la population à partir d’un échantillon

  • Étapes :

    1. Prélèvement d'un échantillon aléatoire

    2. Calcul de la moyenne échantillonnale :

      X = rac{1}{n} imes extstyleigg( extstyleigg(ni=1)^{n} (Xi)

    • Utilisation de cette moyenne comme estimation de la moyenne inconnue de la population ( ext{µ})

  • Variabilité :

    • La moyenne d’un échantillon est une statistique et varie d’un échantillon à l’autre.
    • Question : Quelle est la distribution de X ?

Moyenne échantillonnale : population normale

  • Théorème :
    • Pour une variable aléatoire X suivant une distribution normale avec moyenne  ext{µ}X et écart-type  ext{σ}X :
    • La moyenne de l’échantillon X suit aussi une distribution normale
    • Moyenne de la distribution :  ext{µ}X = ext{µ}X
    • Écart-type (erreur-type) :  ext{σ}X = rac{ ext{σ}X}{ ext{√n}}
  • Remarque :
    • Lorsque la population est normale, X suit une distribution normale, peu importe la taille de l'échantillon.
    • L'écart-type diminue en fonction de la racine carrée de la taille de l'échantillon.

Surprise ! Le théorème central limite

  • Théorème :
    • Si X a une moyenne  ext{µ}X et un écart-type  ext{σ}X :
    • Pour un échantillon aléatoire de taille n suffisamment grand :
      • La distribution de la moyenne X est approximativement normale
      • Moyenne :  ext{µ}X = ext{µ}X
      • Écart-type :  ext{σ}X = rac{ ext{σ}X}{ ext{√n}}
  • Remarque :
    • Même si la population n’est pas normale, la distribution de X devient de plus en plus normale lorsque n augmente
  • Règle empirique : n ext{≥ 30} est souvent suffisant pour que l’approximation normale soit valable.

Exemples de populations non normales

  • Population uniforme
  • Population bimodale

Compétences à acquérir après le cours

  • Résoudre des exercices restants sur la feuille de problèmes d’aujourd’hui
  • Approfondir les exercices du manuel :
    • Section 5.2, question éclair 5.2 (p. 228)
    • Exercice 5.1 (p. 230)
    • Chapitre 5, exercice récapitulatif 3