Dispense di MATEMATICA I

Capitolo 1: Nozioni preliminari e notazioni

1.1 Insiemi

• Definizione: Un insieme è una collezione di oggetti definiti, detti elementi.

• Notazione: Gli insiemi sono denotati con lettere maiuscole ($A, B, C, \dots$) e i loro elementi con lettere minuscole ($a, b, c, \dots$).

• Appartenenza: Se l'elemento $a$ appartiene all'insieme $A$, scriviamo $a \in A$; se non appartiene, scriviamo $a \notin A$.

• Rappresentazione: Un insieme può essere rappresentato tramite una lista dei suoi elementi oppure tramite una prescrizione, tra parentesi graffe.

  • Esempio: $A = {a, b, c}$ oppure $B = {x \in \mathbb{N} : x \le 7}$.

• Insieme vuoto: Simbolo denotato con $\emptyset$; un insieme è finito se ha un numero finito di elementi, altrimenti è infinito.

  • Esempi: $C = {x \in \mathbb{R} : 0 \le x \le 1}$.

  • $D = {2n + 1, n \in \mathbb{N}} = {1, 3, 5, \dots}$.

• Sottoinsieme: Se $B$ è un sottoinsieme di $A$, scriviamo $B \subseteq A$, altrimenti se ci sono elementi in $A$ non presenti in $B$, scriviamo $B \subset A$.

• Definizione di unione e intersezione:

  • $A \cup B = {x \in U | x \in A \text{ o } x \in B}$.

  • $A \cap B = {x \in U | x \in A \text{ e } x \in B}$.

• Esempi:

  • Dati $A = {x \in \mathbb{Z} : x \le 2}$ e B = {x \in \mathbb{Z} : x > -5}.

  • $A \cup B = \mathbb{Z}$ e A \cap B = {x \in \mathbb{Z} : -5 < x \le 2}.

1.2 Quantificatori, somme, prodotti

• Quantificatore universale: Si indica $\forall$, ad esempio $R(x) = 0, \forall x \in A$, si legge "R di x è uguale a zero per ogni x appartenente ad A".

  • Esempio: $\forall x \in \mathbb{R} : \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

• Quantificatore esistenziale: Indicato con $\exists$, per indicare che una data relazione è vera per almeno un valore.

  • Esempio: $\exists x \in \mathbb{R} : x^2 - 2 = 0$.

• Negazione del quantificatore esistenziale: Indicato con $\nexists$.

  • Esempio: $\nexists x \in \mathbb{Q} : x^2 - 2 = 0$.

• Proprietà delle implicazioni logiche: Indicato con $\rightarrow$.

  • Esempio: $x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \in \mathbb{R}$.

• Sommatoria: Indicata con il simbolo $\sum$ per sommare un certo numero di termini.

  • Esempio: $a<em>1 + a</em>2 + \dots + a<em>n = \sum</em>{i=1}^{n} a_i$.

• Prodotto: Indicato con $\prod$ similmente alla sommatoria.

  • Esempio: $a<em>1 \times a</em>2 \times \dots \times a<em>n = \prod</em>{i=1}^{n} a_i$.

1.3 Teoremi

• Struttura di un teorema: Composta da ipotesi, dimostrazione e tesi. La dimostrazione comprende proposizioni che portano dall'ipotesi alla tesi.

• Esempio: Teorema delle disuguaglianze triangolari:

  • Ipotesi: Siano $x$ e $y$ due numeri reali.

  • Tesi: $\left| |x| - |y| \right| \le |x + y| \le |x| + |y|$.

  • Dimostrazione: Poiché $|x|^2 = x^2$, si ottiene:

  • $|x + y|^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

  • $\left| |x| - |y| \right|^2 = |x|^2 - 2|xy| + |y|^2$

  • $(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|xy| + |y|^2$

  • Da $-|xy| \le xy \le |xy|$ segue $\left| |x| - |y| \right|^2 \le |x + y|^2 \le (|x| + |y|)^2$.

1.4 Cenni di calcolo combinatorio

• Definizione: Dato un insieme $A$ con $n$ elementi distinti e $k \le n$, il numero totale di sottoinsiemi ordinati (disposizioni) di $A$ con $k$ elementi è dato da:

  • $D_{n,k} = n(n - 1)(n - 2) \dots (n - k + 1)$.

• Esempio: Se ci sono 20 membri in un'associazione e si devono eleggere presidente, segretario e tesoriere, il numero di modi è $D_{20,3} = 20 \times 19 \times 18 = 6840$.

1.5 Sottoinsiemi dei numeri reali

• Definizioni:

  • Un intervallo aperto (a, b) = {x \in \mathbb{R} : a < x < b}.

  • Un intervallo chiuso e limitato $[a, b] = {x \in \mathbb{R} : a \le x \le b}$.

1.6 Funzioni reali di variabile reale

• Definizione: Una funzione $f$ è una relazione tra due insiemi $A$ e $B$ tale che ogni elemento di $A$ corrisponde a uno e un solo elemento di $B$.

• Rappresentazione: $f : A \rightarrow B$ con $f(x) = y$.

• Esempio: La funzione $f(x) = x^2$ ha come dominio $A = \mathbb{R}$ e codominio $B = \mathbb{R}$, dove l'immagine è $f(A) = \mathbb{R}^{+}$.

1.7 Funzioni composte

• Definizione: Date due funzioni $f : A \rightarrow B$ e $g : B \rightarrow C$, la funzione composta $h : A \rightarrow C$ è definita come $h(x) = g(f(x))$.

• Esempio: Date $f(x) = 2x + 1$ e $g(x) = x^2$, allora $h(x) = g(f(x)) = (2x + 1)^2$.

1.8 Funzioni inverse

• Definizione: Una funzione biunivoca $f : A \rightarrow B$ ha una funzione inversa $f^{-1} : B \rightarrow A$.

• Esempio: La funzione $f(x) = x^2$ per $x \in \mathbb{R}^{+}$ è biunivoca, con $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$.

Capitolo 2: Vettori

2.1 Coordinate cartesiane

• Definizione: Corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coppie di numeri reali.

• Formula per la distanza tra due punti $A = (a<em>1, a</em>2)$ e $B = (b<em>1, b</em>2)$:

  • $AB = \sqrt{(b<em>1 - a</em>1)^2 + (b<em>2 - a</em>2)^2}$.

2.2 Vettori applicati e vettori liberi

• Vettore applicato: Segmento orientato che congiunge $A$ e $B$.

• Vettore libero: Classe di equivalenza di vettori applicati paralleli, concordi e di uguale modulo.

2.3 Operazioni lineari tra vettori liberi

• Somma: La somma $u + v$ segue la regola del parallelogramma.

• Proprietà: $\left| |u| - |v| \right| \le |u + v| \le |u| + |v|$.

2.4 Prodotto scalare

• Definizione: $u \cdot v = |u| |v| \cos\theta$, dove $\theta$ è l'angolo tra i vettori.

• Proprietà:

  • a) $u \cdot v = v \cdot u$

  • b) $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$

2.5 Prodotto vettoriale e prodotto misto

• Prodotto vettoriale: $u \times v$ produce un terzo vettore perpendicolare al piano formato da $u$ e $v$.

• Proprietà:

  • a) $u \times v = -(v \times u)$

  • b) Prodotto misto: $u \cdot (v \times w)$.

Capitolo 3: Numeri Complessi

3.1 Definizione di numero complesso

• Definizione: $(a, b)$ è un numero complesso dove $a$ è la parte reale ($Re(z)$) e $b$ è la parte immaginaria ($Im(z)$).

3.2 Rappresentazione algebrica

• Forma standard: $z = a + ib$, dove $i$ è l'unità immaginaria tale che $i^2 = -1$.

• Coniugato: $\bar{z} = a - ib$.

3.3 Rappresentazione trigonometrica

• Formula trigonometrica: $z = \rho(\cos \phi + i \sin \phi)$, dove $\rho = |z|$ è il modulo e $\phi$ l'argomento.

• Formula di De Moivre: $z^n = \rho^n(\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))$.

3.4 Radici di numeri complessi

• Radici n-esime: $\alpha_k = \rho^{1/n} \left[ \cos\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\phi + 2k\pi}{n}\right) \right]$ per $k = 0, 1, \dots, n-1$.

3.5 Scomposizione e divisione di polinomi

• Principio di identità: Due polinomi sono uguali se i coefficienti dei termini di pari grado sono uguali.

• Fattorizzazione: $P<em>n(x) = c</em>n(x - x<em>1)(x - x</em>2) \dots (x - x_n)$.

Capitolo 4: Successioni e Limiti

4.1 Limiti di successioni

• Definizione: Una successione $a_n$ tende a $L \in \mathbb{R}$ se:

  • \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} : n > N \implies |a_n - L| < \epsilon.

• Successioni divergenti: Se \forall M > 0, \exists N \in \mathbb{N} : n > N \implies an > M, allora $\lim</em>{n \to \infty} a_n = +\infty$.

4.2 Limiti di funzioni

• Definizione (Limite finito al finito): $\lim<em>{x \to x</em>0} f(x) = L$ se:

  • \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon.

4.3 Teoremi sui limiti e forme indeterminate

• Teorema del confronto (Carabinieri): Se $h(x) \le f(x) \le g(x)$ e $\lim<em>{x \to x</em>0} h(x) = \lim<em>{x \to x</em>0} g(x) = L$, allora $\lim<em>{x \to x</em>0} f(x) = L$.

• Forme indeterminate: $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, +\infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0$.

4.4 Continuità

• Definizione: Una funzione $f(x)$ è continua in $x<em>0$ se $\lim</em>{x \to x<em>0} f(x) = f(x</em>0)$.

Capitolo 5: Calcolo Differenziale

5.1 Definizione di derivata

• Rapporto incrementale: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x<em>0 + h) - f(x</em>0)}{h}$.

• Derivata: $f'(x<em>0) = \lim</em>{h \to 0} \frac{f(x<em>0 + h) - f(x</em>0)}{h}$.

5.2 Regole di derivazione

• Prodotto: $(f \cdot g)' = f'g + fg'$

• Quoziente: $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

• Composizione (Chain Rule): $[g(f(x))]' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$.

5.3 Teoremi del calcolo differenziale

• Teorema di Lagrange: Se $f$ è continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$, $\exists c \in (a, b)$ tale che:

  • $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Capitolo 6: Calcolo Integrale

6.1 Integrale indefinito

• Definizione: Si dice primitiva di una funzione $f(x)$ in un intervallo $I$ una funzione $F(x)$ tale che $F'(x) = f(x)$ per ogni $x \in I$.

• Notazione: L'insieme di tutte le primitive di $f(x)$ è l'integrale indefinito:

  • $\int f(x) dx = F(x) + c, c \in \mathbb{R}$.

6.2 Integrale definito

• Definizione: Rappresenta l'area con segno tra il grafico della funzione $f(x)$ e l'asse delle ascisse nell'intervallo $[a, b]$.

• Proprietà di linearità:

  • $\int<em>a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int</em>a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$.

6.3 Teoremi fondamentali

• Teorema della media integrale: Se $f$ è continua in $[a, b]$, $\exists c \in [a, b]$ tale che:

  • $f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx$.

• Teorema fondamentale del calcolo integrale: Se $f$ è continua in $[a, b]$ e $F$ è una sua primitiva, allora:

  • $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.

6.4 Metodi di integrazione

• Integrazione per parti: $\int f'(x)g(x) dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) dx$.

• Integrazione per sostituzione: $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(t) dt$ con $t = g(x)$.

Capitolo 7: Matrici e Sistemi Lineari

7.1 Matrici

• Definizione: Una matrice di ordine $m \times n$ è una tabella rettangolare di numeri con $m$ righe e $n$ colonne.

• Operazioni: Somma tra matrici dello stesso ordine e prodotto per uno scalare.

• Prodotto tra matrici: Il prodotto $A \cdot B$ è definito solo se il numero di colonne di $A$ è uguale al numero di righe di $B$.

7.2 Determinante e Rango

• Determinante: Numero associato a una matrice quadrata $A$, indicato con $\det(A)$. Se $\det(A) \neq 0$, la matrice è invertibile ($A^{-1}$).

• Rango: Numero massimo di righe (o colonne) linearmente indipendenti di una matrice.

7.3 Sistemi Lineari

• Forma matriciale: $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$.

• Teorema di Rouché-Capelli: Un sistema è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa ($rank(A) = rank(A|b)$).

• Regola di Cramer: Per sistemi quadrati con $\det(A) \neq 0$, la soluzione è unica: $x<em>i = \frac{\det(A</em>i)}{\det(A)}$.

Capitolo 8: Geometria Analitica nello Spazio

8.1 Piani e Rette

• Equazione del piano: $ax + by + cz + d = 0$.

• Equazione della retta: Può essere espressa in forma parametrica o come intersezione di due piani:

  • $\begin{cases} x = x<em>0 + lt \ y = y</em>0 + mt \ z = z_0 + nt \end{cases}$

8.2 Distanze e Angoli

• Distanza punto-piano: $d(P, \pi) = \frac{|ax<em>0 + by</em>0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

• Condizione di ortogonalità: Due piani sono perpendicolari se il prodotto scalare dei loro vettori normali è nullo.

Capitolo 9: Serie Numeriche

9.1 Definizione

• Serie: Somma dei termini di una successione $\sum<em>{n=1}^{\infty} a</em>n$.

• Carattere di una serie: Una serie può essere convergente (somma finita), divergente o irregolare.

9.2 Criteri di convergenza

• Criterio del rapporto: Se $\lim<em>{n \to \infty} \frac{a</em>{n+1}}{a_n} = L$, se L < 1 la serie converge.

• Criterio della radice: Se $\lim<em>{n \to \infty} \sqrt[n]{a</em>n} = L$, se L < 1 la serie converge.

• Criterio del confronto: Se $a<em>n \le b</em>n$ e $\sum b<em>n$ converge, allora $\sum a</em>n$ converge.

Capitolo 10: Equazioni Differenziali

10.1 Definizioni generali

• Equazione differenziale: Relazione che lega una funzione incognita $y(x)$ alle sue derivate.

• Ordine: Il grado massimo della derivata presente nell'equazione.

10.2 Equazioni del primo ordine

• A variabili separabili: $y' = g(x)h(y) \implies \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx$.

• Lineari del primo ordine: $y' + a(x)y = f(x)$.

10.3 Equazioni lineari del secondo ordine

• A coefficienti costanti: $ay'' + by' + cy = 0$. Si risolve tramite l'equazione caratteristica $ar^2 + br + c = 0$.

Capitolo 11: Sviluppi di Taylor e Funzioni di più variabili

11.1 Formula di Taylor

• Definizione: Permette di approssimare una funzione $f(x)$ sufficientemente regolare in un intorno di un punto $x_0$ con un polinomio.

• Formula: $f(x) = \sum<em>{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x</em>0)}{k!}(x - x<em>0)^k + R</em>n(x)$.

• Resto di Peano: Se $Rn(x) = o((x - x0)^n)$, la formula fornisce un'approssimazione locale.

• Sviluppo di Maclaurin: Caso particolare in cui lo sviluppo è centrato in $x_0 = 0$.

11.2 Funzioni di più variabili

• Definizione: Una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ associa a ogni vettore $\mathbf{x} = (x<em>1, \dots, x</em>n)$ un unico numero reale.

• Dominio: L'insieme dei punti per cui l'espressione analitica è definita.

• Curve di livello: Insiemi di punti $(x, y)$ tali che $f(x, y) = k$ con $k$ costante.

11.3 Limiti e continuità

• Definizione di limite: $\lim<em>{\mathbf{x} \to \mathbf{x}</em>0} f(\mathbf{x}) = L$ se la funzione si avvicina a $L$ indipendentemente dalla direzione da cui si approccia $\mathbf{x}_0$.

• Continuità: $f$ è continua in $\mathbf{x}<em>0$ se $\lim</em>{\mathbf{x} \to \mathbf{x}<em>0} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}</em>0)$.

11.4 Derivate parziali

• Definizione: Rappresentano il tasso di variazione della funzione rispetto a una singola variabile, mantenendo le altre costanti.

• Notazione: $f<em>x = \frac{\partial f}{\partial x}$ e $f</em>y = \frac{\partial f}{\partial y}$.

11.5 Il Gradiente e derivate direzionali

• Gradiente: Vettore composto dalle derivate parziali prime: $\nabla f = (f<em>x, f</em>y)$.

• Derivata direzionale: Tasso di crescita lungo un versore $\mathbf{v}$: $D<em>{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}</em>0) = \nabla f(\mathbf{x}_0) \cdot \mathbf{v}$.

11.6 Differenziabilità e piano tangente

• Differenziabilità: Una funzione è differenziabile se l'incremento può essere approssimato da un'applicazione lineare.

• Piano tangente: Se $f$ è differenziabile in $(x<em>0, y</em>0)$, l'equazione del piano tangente è:

  • $z = f(x<em>0, y</em>0) + f<em>x(x</em>0, y<em>0)(x - x</em>0) + f<em>y(x</em>0, y<em>0)(y - y</em>0)$.

11.7 Derivate di ordine superiore

• Definizione: Derivate parziali applicate ai risultati delle derivate prime (es. $f<em>{xx}, f</em>{xy}$).

• Teorema di Schwarz: Se le derivate seconde sono continue, allora l'ordine di derivazione non conta: $f<em>{xy} = f</em>{yx}$.

11.8 Matrice Hessiana

• Definizione: Matrice quadrata delle derivate parziali seconde:

  • $H<em>f(x, y) = \begin{pmatrix} f</em>{xx} &amp; f<em>{xy} \ f</em>{yx} &amp; f_{yy} \end{pmatrix}$.

• Ruolo: Fondamentale per studiare la curvatura della superficie e la natura dei punti critici.

11.9 Ottimizzazione libera

• Condizione necessaria: I punti critici (massimi, minimi o sella) soddisfano $\nabla f = \mathbf{0}$.

• Classificazione:

  • Se \det(H) > 0 e f_{xx} > 0, il punto è un minimo locale.

  • Se \det(H) > 0 e f_{xx} < 0, il punto è un massimo locale.

  • Se \det(H) < 0, il punto è un punto di sella.

11.10 Ottimizzazione vincolata

• Obiettivo: Trovare estremi di $f(x, y)$ soggetti a un vincolo $g(x, y) = 0$.

• Metodo di Lagrange: Si introduce la funzione Lagrangiana $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$ e si risolve il sistema $\nabla L = \mathbf{0}$.

11.11 Integrali doppi

• Definizione: Estensione dell'integrale definito a funzioni di due variabili su una regione $D \subseteq \mathbb{R}^2$.

• Significato: Rappresenta il volume tra la superficie $z = f(x, y)$ e il piano $xy$ sopra la regione $D$.

• Calcolo: Si utilizzano spesso i teoremi di riduzione o il cambio di coordinate (es. coordinate polari).