Mathematik - Lernziel Prüfung 21.9.

Termumformungen

1. Gleichartige Terme addieren und subtrahieren

• Grundregel: Nur gleichartige Terme dürfen zusammengerechnet werden.
• Definition gleichartig: Gleicher Buchstabe und gleiche Potenz.

Übersicht zur Gleichartigkeit von Termen

• $x$ und $x$: Gleichartig (Erlaubt)
• $3x$ und $5x$: Gleichartig (Erlaubt)
• $x^2$ und $x^2$: Gleichartig (Erlaubt)
• $x$ und $x^2$: Nicht gleichartig (Nicht erlaubt)
• $x$ und $y$: Nicht gleichartig (Nicht erlaubt)

Rechenbeispiele

• $3x + 5x = 8x$

• $7x - 2x = 5x$

• $3x + 5y - 2x = x + 5y$

• Merke: Zahlen vor dem gleichen Buchstaben zusammenrechnen.

2. Ausmultiplizieren

• Grundregel: Eine Zahl oder ein Term vor der Klammer wird mit ALLEM in der Klammer multipliziert.

Rechenbeispiele

• $3(x + 4) = 3x + 12$

• $-2(x + 5) = -2x - 10$ (Hinweis: Minuszeichen nicht vergessen!)

• $(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

• Merke: Bei zwei Klammern gilt: Jeden Teil mit jedem Teil multiplizieren!

3. Binomische Formeln

• Anforderung: Auswendig beherrschen!

Die drei binomischen Formeln

1. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Beispielsrechnungen

• Zu Formel 1: $(3 + 2)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2^2 = 25$

• Zu Formel 2: $(5 - 2)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2 = 9$

• Zu Formel 3: $(7 + 3)(7 - 3) = 7^2 - 3^2 = 40$

• Merke: Bei den ersten beiden Formeln steht am Ende immer $b^2$.

4. Faktorisieren / Ausklammern

• Definition: Das Gegenteil von Ausmultiplizieren.
  • Ausmultiplizieren: $3(x + 4) = 3x + 12$
  • Faktorisieren: $3x + 12 = 3(x + 4)$

Vorgehen beim Ausklammern

• Suche, was in allen Termen vorkommt.

Beispiel 1

• $6x + 12 = 6(x + 2)$
  • Zerlegung: $6 \cdot x = 6x$
  • Zerlegung: $6 \cdot 2 = 12$

Beispiel 2

• $8x + 16 = 8(x + 2)$

• Merke: Was haben alle Terme gemeinsam? Das kommt vor die Klammer.

Funktionen

1. Was ist eine Funktion?

• Eine Funktion arbeitet wie eine Rechenmaschine:
  • $x \rightarrow \text{Rechnung} \rightarrow f(x)$

Beispiel

• Gegeben sei die Funktion $f(x) = 2x + 3$.
• Wenn $x = 4$:
  • $f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$
  • $11$ ist der Funktionswert.

2. Schreibweisen

• $y = 2x + 3$
• $f(x) = 2x + 3$ (Am häufigsten verwendet: $f(x) = \dots$)
• $f: x \rightarrow 2x + 3$

3. Funktionswert berechnen

• Gegeben: $f(x) = 3x + 1$
• Gesucht: $f(4)$

Vorgehen

• Einfach $x$ einsetzen, dann rechnen:
  • $f(4) = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$

4. Punkte im Diagramm eintragen

• Ein Punkt besitzt die Form $(x \mid y)$.
• Beispiel: $(2 \mid 5)$

Schritte zum Eintragen eines Punktes

1. Auf der $x$ -Achse zu $2$ gehen.
2. Von dort nach oben zu $y = 5$ gehen.
3. Punkt setzen.

• Regel: Erst $x$, dann $y$!

5. Definitionsbereich

• Fragestellung: Welche $x$ -Werte darf ich einsetzen?

Beispiel 1

• $f(x) = 2x + 3$
• Jede Zahl ist erlaubt.
• $D = \mathbb{R}$

Beispiel 2

• $f(x) = \frac{1}{x}$
• $x \neq 0$ (Division durch $0$ ist nicht erlaubt).
• $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$

6. Wertebereich

• Fragestellung: Welche $y$ -Werte können herauskommen?

Beispiel

• $f(x) = x^2$
  • $1^2 = 1$
  • $2^2 = 4$
  • $(-2)^2 = 4$
• Die Ergebnisse sind nie negativ!
• $W = \{y \mid y \geq 0\}$

7. Einen bestimmten x-Wert finden

• Beispiel: $f(x) = 3x + 1$
• Gesucht: $x$, wenn $f(x) = 11$

Vorgehen

• Eine Gleichung aufstellen und lösen:
  • $3x + 1 = 11$
  • $3x = 10$
  • $x = \frac{10}{3} \approx 3{,}33$

Prüfungsvorbereitung & Merksätze

Anforderungs-Checkliste für die Prüfung

Termumformungen

• Gleichartige Terme addieren und subtrahieren
• Ausmultiplizieren
• Terme mit zwei Klammern multiplizieren
• 3 binomische Formeln anwenden
• Faktorisieren / Ausklammern

Funktionen

• Funktion erklären können
• $f(x)$ richtig verwenden
• Funktionswerte berechnen
• Punkte in ein Diagramm eintragen
• Definitionsbereich bestimmen
• Wertebereich bestimmen
• $x$ aus gegebenem Funktionswert berechnen

Die wichtigsten Merksätze auf einen Blick

• Ausmultiplizieren: Alles mit allem multiplizieren.
• Faktorisieren: Gemeinsamen Faktor vor die Klammer schreiben.
• Punkt eintragen: Erst $x$, dann $y$.
• Definitionsbereich: Welche $x$ darf ich einsetzen?
• Wertebereich: Welche $y$ können herauskommen?
• Binomische Formeln:
  • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  • $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$