Theorie Wiskunde Ingangsexamen (Tand)arts

Algebra

Getallen en Rekenregels

• Natuurlijke getallen \mathbb{N}: 0, 1, 2, 3, …
• Gehele getallen \mathbb{Z}: …, -1, 0, 1, 2, …
• Rationale getallen \mathbb{Q}: -0.5, -1, 0, 0.333… (kommagetal verkregen door breuk, eindig aantal decimalen of repeterende decimalen)
• Reële getallen \mathbb{R}: \pi, \sqrt{2} (\sqrt{2} = irrationeel = oneindig niet-repeterende decimalen)
• Relatie: \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Bewerkingen

• Priemgetal: Een geheel getal groter dan 1 en enkel deelbaar door 1 en zichzelf.
• Ieder getal kan op unieke wijze geschreven worden als een product van priemgetallen (beginnen met delen door kleinste priemgetal).
• Grootste Gemene Deler (GGD):
  1. Beide getallen ontbinden in priemfactoren.
  2. De gemeenschappelijke factoren vermenigvuldigen (bv. beide getallen bevatten 2 * 7 -> 14 is de GGD).
• Kleinste Gemene Veelvoud (KGV): Kleinste getal dat deelbaar is door beide getallen.
  • Formule: kgv(a, b) = \frac{a \cdot b}{GGD(a, b)}

Machten

• x^{\frac{a}{y}} = \sqrt[y]{x^a}

• a^{x+y} = a^y \cdot a^x

• (a^x)^y = a^{xy}

• (ab)^x = a^x b^x

• Kwadraten:

  • 11^2 = 121
  • 12^2 = 144
  • 13^2 = 169
  • 14^2 = 196
  • 15^2 = 225
  • 16^2 = 256
  • 17^2 = 289
  • 18^2 = 324
  • 19^2 = 361

Merkwaardige Producten

• (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
• (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2
• (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3

Deelbaarheid

• 5: Het laatste cijfer van het getal is deelbaar door 5.
• 4: De laatste 2 cijfers zijn deelbaar door 4.
• 25: De laatste 2 cijfers zijn deelbaar door 25.
• 8: De laatste 3 cijfers zijn deelbaar door 8.
• 3: De som van de cijfers van het getal is deelbaar door 3.
• 9: De som van de cijfers van het getal is deelbaar door 9.

Evenredigheid

• Recht Evenredig (RE): y is RE met x als \frac{y}{x} = constant of y = c \cdot x, rechte lijn door (0,0).
• Omgekeerd Evenredig (OE): y is OE met x als x \cdot y = constant of y = \frac{c}{x}, hyperbool met x- en y-as als asymptoten.

Veeltermen

• Graad: Coëfficiënt van de hoogst voorkomende macht.
• Veeltermen delen: -> deelbaarheid als R(X) = 0, dan f(a) = 0, dan (a, f(a)) is nulpunt van f(x).
  • Euclidische deling: F(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)
    • F(X) = te delen veelterm
    • D(X) = deler
    • Q(X) = quotiënt
    • R(X) = rest
  • Horner: d(x) = (x-a) -> f(x) = (x-a)(nieuwe functie) + r
  • Reststelling: d(x) = (x-a) -> rest van f(x)/(x-a) = f(a)
• Veelterm ontbinden: f(x) = a(x - x1)(x - x2)… waar x_i de nulpunten zijn van f(x).
• Veeltermen oplossen:
  • Ontbinden
  • Afzonderen
  • Discriminant: D = b^2 - 4ac \rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
  • Som nulpunten = -b/a
  • Product nulpunten = c/a
  • Vergeet niet: x^{2n+1} = a \rightarrow x = \pm \sqrt[2n]{a}

Logaritmen

• Definitie: \loga x = y \Leftrightarrow a^y = x met a \in \mathbb{R0^+} \setminus {1} (grondtal) en x \in \mathbb{R_0^+} (argument).
• \log_a 1 = 0
• \log_a a = 1
• Briggse logaritme: \log_{10} x = y \rightarrow \log x = y
• Natuurlijke logaritme: \ln a = x \rightarrow e^x = a

Rekenregels

• \loga(x \cdot y) = \loga(x) + \log_a(y)
• \loga(\frac{x}{y}) = \loga(x) - \log_a(y)
• \loga(x^n) = n \cdot \loga(x)
• \loga x = \frac{\logc x}{\log_c a}
• \loga x = \frac{1}{\logx a}

Stelsels Oplossen

• Substitutie: Uit 1 vergelijking 1 variabele uithalen en invullen in een andere vergelijking (blijven herhalen tot 1 onbekende en 1 vergelijking overblijft).
• Eliminatie: “Lineaire combinaties” = veelvouden van 2 vergelijkingen optellen of aftrekken.
  • Bij 3 onbekenden en 3 stelsels:
    • Regel 2 keer x en y, en 1 keer x of y en z.
    • Regel x = … en vul in bij Y (of omgekeerd).
    • Indien 1 gevonden kan de rest worden gevonden.

Moduletekens Oplossen

• |f(x)| < a \rightarrow -a < f(x) < a
• |f(x)| > a \rightarrow f(x) > a \text{ of } f(x) < -a
• Als f(x) negatief is dan is |f(x)| = -x

Meetkunde

Vlakke Figuren

Driehoek

• Som van de hoeken van een driehoek is 180^\circ.
• Langste zijde ligt tegenover grootste hoek, kortste zijde tegenover kleinste hoek.
• Gelijkzijdige driehoek: 3 x zelfde lengte + 3 x 60^\circ
• Gelijkbenige driehoek: 2 x zelfde lengte + basishoeken even groot.
• Rechthoekige driehoek: 1 x 90^\circ + a^2 = b^2 + c^2 (b en c = rechthoekszijden, a = schuine zijde).
• Stelling Thales: gelijkvormigheid \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} = \frac{BB'}{CC'}

Koorde (Cirkel)

• Lengte koorde = k = 2r * sin (β/2), β is de hoek (aan het middelpunt) die tegenover de koorde ligt, als men het als een driehoek beschouwt met zijden: r, r, k.

Vierhoeken

• Trapezium
  • 1 paar evenwijdige zijden = basiszijden.
  • 1 paar niet-evenwijdige zijden = benen.
  • Gelijkbenig trapezium:
    • Diagonalen zijn even lang.
    • Hoeken aan zelfde basis zijn even groot.
• Parallellogram
  • Tegenoverstaande zijden zijn even lang.
  • Tegenoverstaande hoeken even groot.
  • Diagonalen snijden elkaar in het midden.
• Ruit
  • Alle zijde hebben dezelfde lengte.
  • De diagonalen staan loodrecht op elkaar en snijden in het midden.
• Rechthoek
  • Diagonalen zijn even lang en snijden elkaar in het midden.
• Vierkant

Oppervlakte en Omtrekken

Volumes

• Bol: \frac{4}{3} \pi r^3
• Piramide en kegel: \frac{A_{grondvlak} \cdot H}{3}

Analytische Meetkunde

• Kwadranten: II, I, III, IV
• Afstand tussen 2 punten: d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}

Rechte

• y - y1 = m (x - x1)
• m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}
• Cartesiaanse vergelijking: ax + by + c = 0
  • m = -\frac{a}{b}
  • q = -\frac{c}{b}
• y = mx + q
  • q = snijpunt y-as
  • m = rico (= tan α)

Parabool

• f(x) = ax^2 + bx + c
• f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta
  • a > 0 dalparabool, a < 0 bergparabool
  • |a| wordt groter → opening smaller
  • |a| wordt kleiner → opening breder
  • Top: \text{TOP} = (\frac{-b}{2a}, \frac{-D}{4a}) of TOP (α, β)
  • Symmetrieas: x = \frac{-b}{2a} of x = \alpha

Cirkel

• (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
• ax^2 + ay^2 + bx + cy + d = 0
• Goniometrische cirkel: x^2 + y^2 = 1

Loodrechte Stand

• a staat loodrecht op b: ricoa \cdot ricob = -1

Goniometrie

• Een radiaal is de hoek wanneer een booglengte gelijk is aan de straal.
• \pi \ rad = 180^\circ
• Radialen = graden * \frac{\pi}{180^\circ}
• Graden = radialen * \frac{180^\circ}{\pi}

Goniometrische Formules in een Rechthoekige Driehoek

• \sin = SOS = \frac{Overstaande \ zijde}{Schuine \ zijde}
• \cos = CAS = \frac{Aanliggende \ zijde}{Schuine \ zijde}
• \tan = TOA = \frac{Overstaande \ zijde}{Aanliggende \ zijde}
• \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
• \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
• \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}
• \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha}
• \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
• 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}
• 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}
• \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
• \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha
• \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}

*In elke driehoek:

• \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}
• a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha

Bijzondere Hoeken

Verwante Hoeken

Goniometrische Vergelijkingen

• \sin x = \sin \alpha \rightarrow x = \alpha + k2\pi \text{ of } x = \pi - \alpha + k2\pi
• \cos x = \cos \alpha \rightarrow x = \pm \alpha + k2\pi
• \tan x = \tan \alpha \rightarrow x = \alpha + k\pi

Analyse

• (f•g) = f(g(x)) = de functie van g invullen in alle x’en van f

Domein

• Bestaanswaarden voor x (dus ↔)

Symmetrie

• Even: f(-x) = f(x), y-as is symmetrieas
• Oneven: f(-x) = -f(x), oorsprong is symmetriemiddelpunt

Nulpunten en Tekenschema

• x waarvoor y = 0 = snijpunt x-as
• Einde tekenschema is altijd teken a
• Dubbelnulpunt = *= teken blijft
• Graad geeft max aantal nulpunten weer (niet per se zo veel)

Inverse Functies

• f en g zijn elkaars inverse ⇔ g(f(x)) = x en f(g(x)) = x
• De grafiek van f-1/g is het spiegelbeeld van f t.o.v. de eerste bissectrice (x = y)
• Voorschrift bepalen:
  • y = f(x) (beperk indien nodig: altijd stijgend of dalend)
  • Vorm om zodat x in functie van y staat
  • Verwissel x en y van plaats
• Beperkingen:
  • ONEVEN inverse van 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)^2 + 𝛽 (𝛼 = -b/2a , 𝛽 = -D/4a) dom = [𝛼, +∞[
  • EVEN gewoon inverse f(x) berekenen dom = ℝ₀

Groeimodellen

• Meetkundige rij: exponentieel: f(t) = b ∙ a^t, b = beginwaarde, a = groeifactor
  • a = 1 + p/100 → % per t erbij, a > 1
  • a = 1 − p/100 → % per t eraf, a < 1
• Rekenkundige rij: lineair (rechte): f(t) = b + at, b = beginwaarde, a = hoeveelheid die per t bijkomt
  • a > 0 → lineaire toename
  • a < 0 → lineaire afname

Asymptoten

Verticale Asymptoot en Perforaties

• Bepaal \lim_{x \to a} f(x) voor elk nulpunt a van de noemer.
  • a is geen nulpunt van de teller: \lim_{x \to a} f(x) = \pm ∞ -> VA: x = a (linker en rechterlimiet met tekenschema)
  • a is een nulpunt van de teller: \lim_{x \to a} f(x) = \frac{0}{0} -> functievoorschrift vereenvoudigen:
    • \lim_{x \to a} f(x) = \frac{0}{0} = c \in \mathbb{R} -> perforatie (a,c) = nulpunt komt bij elk evenveel voor
    • \lim_{x \to a} f(x) = \frac{0}{0} = \frac{\pm ∞}{∞} = \pm ∞ -> VA: x = a = meer bij noemer

Horizontale en Schuine Asymptoot

• Graad teller < graad noemer: \lim_{x \to \pm ∞} f(x) = 0 -> HA: y = 0
• Graad teller = graad noemer: \lim_{x \to \pm ∞} f(x) = b (b \in \mathbb{R}) -> HA: y = b (hoogste machten / elkaar)
• Graad teller = graad noemer + 1: \lim{x \to \pm ∞} f(x) = \pm ∞ -> SA: y = ax+b (quotiënt Euclidische deling) \lim{x \to \pm ∞}[f(x) − (ax + b)] = 0
• Graad teller > graad noemer: \lim{x \to \pm ∞} f(x) = \pm ∞ -> asymptotische kromme y = ax+b (quotiënt Euclidische deling) SA: y = ax + b \lim{x \to \pm ∞} \frac{f(x)}{x} = a \lim_{x \to \pm ∞}[f(x) − ax] = b
• Per kant ofwel HA ofwel SA.

Transformaties

Invloed van het teken

• -f(x) : spiegelen t.o.v. x-as
• f(-x) : spiegelen t.o.v. y-as
• -f(-x) : spiegelen t.o.v. de oorsprong

Invloed van de constante

• y = a \cdot f(b \cdot (x - d)) + c
• y = a \cdot f(x) : uitrekken langs de y-as met factor a
• y = f(bx) : uitrekken langs de x-as met factor b
• y = f(x) + c : verschuiving over de y-as met |𝑐| eenheden (boven +, onder -)
• y = f(x − d) : verschuiving over de x-as met |𝑑| eenheden (links -, rechts +)

Verloop van Functies

• x
• f’(x) : - of + (- = dalen, + = stijgen)
• f’’(x) : - of + (- = bol, + = hol)
• f(x) :
• f’(x) → 0 → rel min of max
• f’’(x) → 0 → bgpt

Stijgen, dalen, extrema

• f’(x) = richtingscoëfficiënt van raaklijn in x
• rel min of max voor x = a → f’(a) = 0 NIET OMGEKEERD
• stel f is continu in [𝑎, 𝑏]: als 𝑓’(𝑥) > 0 voor elke x in ]𝑎, 𝑏[, dan is f stijgend in [𝑎, 𝑏] NIET OMGEKEERD
• merk op: afleidbaarheid in randpunten niet nodig

Hol, bol, buigpunten

• als f een buigpunt bereikt voor (a, f(a)) dan is f’’(a) = 0
• Buigpunt: overgang van bol naar hol of omgekeerd
• Buigraaklijn: raaklijn in buigpunt (a, f(a)) -> y – f(a) = f’(a) (x – a)

Limieten

• Bijzondere limiet: \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Soorten Functies

Veeltermfuncties

Rationele Functies

• x in de noemer = quotiënt van 2 veeltermen
• noemer brengt asymptoten met zich mee
• dom f = ℝ ∖ {nulpunten noemer}
• nulpunten f = nulpunten teller ∖ nulpunten noemer
• tekenschema: nulpunt noemer = /
• tekenschema: eerst VERPLICHT apart maken van teller en noemer en dan samenvoegen (tekens combineren)

Irrationale Functies

• x onder een wortel
• Irrationale vergelijking oplossen:
  • x - \sqrt{16 - x^2} = 0
    • bestaansvoorwaarde BVW: \sqrt{16 - x^2} ≥ 0 \rightarrow x \in [-4,4] (wat onder √ staat moet ≥ 0)
    • kwadrateringsvoorwaarde KVW: x ≥ 0 (wat gelijk is aan √ moet ≥ 0)
    • beide leden kwadrateren: x^2 = 16 - x^2
    • vergelijking oplossen: x = 2\sqrt{8} en x = -2\sqrt{8}
    • voorwaarden controleren → niet KVV
• Bij zoeken naar nulpunten, eerst domein bepalen = nulpunten van wat onder wortel staat waar ‘’+’’ geldt (want wortel moet positief zijn)

Exponentiele Functies

• x in exponent y = a^x, a ∈ ℝ₀+

Logaritmische Functies

• x in argument logaritme y = loga(x), x = ay

Goniometrische Functies

• Algemene sinusfunctie f(x) = 𝑎 sin (𝑏(𝑥 – 𝑐)) + 𝑑
  • a = verticale vervorming met factor |𝑎| (maximale uitwijking) evenwichtslijn – top
  • b = horizontale vervorming \frac{2\pi}{b} = P \rightarrow b = \frac{2\pi}{P}
  • c = horizontale verschuiving over afstand |𝑐| (c > 0 rechts, c < 0 links)
  • d = verticale verschuiving over afstand |𝑑| (d > 0 boven, d < 0 beneden) evenwichtslijn ↔ y = 𝑑

Cyclometrische Functies

Afgeleiden

• De gemiddelde verandering = gemiddelde helling = differentiequotiënt over [𝑎, 𝑏] = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = de rico van de rechte AB met A (𝑎, 𝑓(𝑎)) en B (𝑏, 𝑓(𝑏))
• De ogenblikkelijke verandering in a = de rico van de raaklijn t aan de grafiek van f in (𝑎, 𝑓(𝑎)) = 𝑓’(𝑎) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
• f(x) = x^n \rightarrow f'(x) = nx^{n-1}

Rekenregels afgeleiden

• (𝑓 + 𝑔)’ = 𝑓’ + 𝑔’
• (𝑓 ∙ 𝑔)’ = 𝑓’ ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔’
• (𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ)’ = 𝑓’ ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔’ ∙ ℎ = 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ’
• (𝑟𝑓)’ = 𝑟 ∙ 𝑓’
• (𝑓^r)’ = 𝑟 ∙ 𝑓’ ∙ 𝑓^(r-1)
• \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}

Afgeleide van de veeltermfuncties