derivation

Définition et Tangente

Limite du taux d'accroissement :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Équation de la tangente :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Fonctions usuelles

• Dérivée de x^n = n x^{n-1}

• Dérivée de e^x = e^x

• Dérivée de \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}

• Dérivée de \frac{1}{x^n} = -\frac{n}{x^{n+1}}

• Dérivée de \sin(x) = \cos(x)

• Dérivée de \cos(x) = -\sin(x)

• Dérivée de \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Opérations

• Somme : (u + v)' = u' + v'

• Produit : (u \times v)' = u'v + uv'

• Quotient : (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

• Inverse : (\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}

Compositions

• \sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

• e^u = u' \times e^u

• \frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}

• \frac{1}{u^n} = -n \times \frac{u'}{u^{n+1}}

• \sin(u) = u' \times \cos(u)

• \cos(u) = -u' \times \sin(u)

Convexité

• Convexe : f''(x) > 0. Cela signifie que la courbe est au-dessus de ses tangentes, indiquant une augmentation de la pente.

• Concave : f''(x) < 0. Cela indique que la courbe se trouve en dessous de ses tangentes, notamment marquant une diminution de la pente.

• Point d'inflexion : C'est un point où la concavité de la fonction change, c'est-à-dire où f''(x) change

La dérivation seconde d'une fonction, notée f''(x), désigne la dérivée de la dérivée de cette fonction. Elle mesure la variation de la pente de la tangente à la courbe de la fonction originale. En pratique :

• Si f''(x) > 0, cela signifie que la fonction est convexe, indiquant que la courbe est au-dessus de ses tangentes et que la pente augmente.

• Si f''(x) < 0, cela signifie que la fonction est concave, informant que la courbe est en dessous de