derivation

Définition et Tangente

Limite du taux d'accroissement :

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Équation de la tangente :

y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a)

Fonctions usuelles

  • Dérivée de xn=nxn−1x^n = n x^{n-1}

  • Dérivée de ex=exe^x = e^x

  • Dérivée de 1x=−1x2\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}

  • Dérivée de 1xn=−nxn+1\frac{1}{x^n} = -\frac{n}{x^{n+1}}

  • Dérivée de sin⁡(x)=cos⁡(x)\sin(x) = \cos(x)

  • Dérivée de cos⁡(x)=−sin⁡(x)\cos(x) = -\sin(x)

  • Dérivée de x=12x\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Opérations

  • Somme : (u+v)′=u′+v′(u + v)' = u' + v'

  • Produit : (u×v)′=u′v+uv′(u \times v)' = u'v + uv'

  • Quotient : (uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

  • Inverse : (1v)′=−v′v2(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}

Compositions

  • u=u′2u\sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

  • eu=u′×eue^u = u' \times e^u

  • 1u=−u′u2\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}

  • 1un=−n×u′un+1\frac{1}{u^n} = -n \times \frac{u'}{u^{n+1}}

  • sin⁡(u)=u′×cos⁡(u)\sin(u) = u' \times \cos(u)

  • cos⁡(u)=−u′×sin⁡(u)\cos(u) = -u' \times \sin(u)

Convexité

  • Convexe : f''(x) > 0. Cela signifie que la courbe est au-dessus de ses tangentes, indiquant une augmentation de la pente.

  • Concave : f''(x) < 0. Cela indique que la courbe se trouve en dessous de ses tangentes, notamment marquant une diminution de la pente.

  • Point d'inflexion : C'est un point où la concavité de la fonction change, c'est-à-dire où f′′(x)f''(x) change

La dérivation seconde d'une fonction, notée f′′(x)f''(x), désigne la dérivée de la dérivée de cette fonction. Elle mesure la variation de la pente de la tangente à la courbe de la fonction originale. En pratique :

  • Si f''(x) > 0, cela signifie que la fonction est convexe, indiquant que la courbe est au-dessus de ses tangentes et que la pente augmente.

  • Si f''(x) < 0, cela signifie que la fonction est concave, informant que la courbe est en dessous de