Clase 1 U4 Geometría: Puntos y Rectas en el Plano Cartesiano

Contexto Global: Proyecto ALMA

• El observatorio ALMA (Atacama Large Millimeter/submillimeter Array) se ubica en la localidad de Chajnantor, San Pedro de Atacama, a $5000\,m$ sobre el nivel del mar.

• Cuenta con $66$ antenas que buscan observar la mayor área de cielo posible.

• Se utiliza el plano cartesiano para modelar la ubicación de las antenas como puntos y calcular distancias entre ellas.

Punto Medio y Distancia entre Puntos

• Punto Medio: Para los puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$, el punto medio de forma algebraica es:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

• Distancia entre dos puntos: El módulo o distancia $d(A, B)$ se calcula mediante la fórmula:

$d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Tipos de Ecuación de la Recta

• Ecuación General de la Recta: Se expresa de la forma:

$Ax + By + C = 0$

• Ecuación Principal de la Recta: Se expresa de la forma:

$y = mx + n$

Pendiente ($m$) y Coeficiente de Posición ($n$)

• Inclinación (Pendiente): Se define a través de los puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$, como:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

• Clasificación de la recta según $m$:

  • Creciente: m > 0

  • Constante: $m = 0$

  • Decreciente: m < 0

• Coeficiente de posición ($n$): Indica el punto de intersección de la recta con el eje $y$, correspondiente a la coordenada $(0, n)$.

Puntos Colineales y Modelado

• Colinealidad: Tres puntos $A$, $B$ y $C$ son colineales si pertenecen a la misma recta, lo cual implica que sus pendientes son equivalentes:

$m_{AB} = m_{BC} = m_{AC}$

• Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

Questions & Discussion

• Preguntas sobre ALMA: ¿Por qué crees que estas antenas están a la mayor distancia entre ellas? Supongamos que estamos sobre un plano cartesiano y que cada antena representa un punto de él. ¿Dónde te situarías para determinar la distancia que existe entre una de ellas y tú? ¿Qué información sería de utilidad para determinarla?

• Punto Medio: ¿Qué pasos seguirías para determinar el número intermedio de $2$ y $11$? ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio en este caso [puntos $A(1, 2)$ y $B(6, -1)$]?, ¿es claro su valor en el gráfico? ¿Seguirías la misma ruta resolviendo de forma algebraica?

• Determinación de Distancia: Si los puntos son $M(2, 3)$ y $P(5, p)$, donde $P$ está en el cuarto cuadrante y la distancia es $7$ unidades, ¿cuál es el valor de $p$?

• Modelado de Pendiente: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto $A(2, -5)$ y tiene pendiente $m = -3$?