Mathe

Das Berechnen und Umformen von mathematischen Termen basiert auf festen Rechengesetzen und Vorrangregeln.

1. Berechnen von Termwerten

  1. Einsetzen und Vorrangregeln

    • Variablen durch Zahlen ersetzen, unsichtbare Multiplikationszeichen ausschreiben und negative Zahlen einklammern.

    • Reihenfolge der Operationen beachten: Klammern zuerst, Potenzen vor Punktrechnung, Punktrechnung vor Strichrechnung, bei Gleichrangigkeit von links nach rechts.

    • Beispiel: Gegeben ist T(x)=2⋅x2−4T(x) = 2 \cdot x^2 - 4 mit x=3x = 3. Einsetzen liefert 2⋅32−4=2⋅9−4=142 \cdot 3^2 - 4 = 2 \cdot 9 - 4 = 14.

2. Terme vereinfachen (Zusammenfassen)

  1. Gleichartige Glieder addieren und subtrahieren

    • Nur Glieder mit exakt denselben Variablen und Potenzen dürfen addiert oder subtrahiert werden.

    • Zahlen ohne Variablen werden separat zusammengefasst.

    • Beispiel: 4⋅x+7⋅y−2⋅x+3=2⋅x+7⋅y+34 \cdot x + 7 \cdot y - 2 \cdot x + 3 = 2 \cdot x + 7 \cdot y + 3.

3. Ausmultiplizieren und Ausklammern

  1. Ausmultiplizieren (Distributivgesetz)

    • Jeder Summand in der Klammer wird mit dem Faktor vor oder hinter der Klammer multipliziert: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c.

    • Vorzeichen beachten: Minus mal Minus ergibt Plus, Minus mal Plus ergibt Minus.

    • Beispiel: 3⋅(2⋅x−5)=6⋅x−153 \cdot (2 \cdot x - 5) = 6 \cdot x - 15.

  2. Ausklammern (Faktorisieren)

    • Den größten gemeinsamen Teiler aller Summanden ermitteln und vor eine Klammer schreiben: a⋅b+a⋅c=a⋅(b+c)a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c).

    • Beispiel: 12⋅x+8=4⋅(3⋅x+2)12 \cdot x + 8 = 4 \cdot (3 \cdot x + 2).

4. Produkte von Summen

  1. Zwei Klammern miteinander multiplizieren

    • Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert: (a+b)⋅(c+d)=a⋅c+a⋅d+b⋅c+b⋅d(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d.

    • Anschließend gleichartige Glieder zusammenfassen.

    • Beispiel: (x+2)⋅(x+3)=x2+3⋅x+2⋅x+6=x2+5⋅x+6(x + 2) \cdot (x + 3) = x^2 + 3 \cdot x + 2 \cdot x + 6 = x^2 + 5 \cdot x + 6.

5. Binomische Formeln

  1. Erste binomische Formel (Plus-Formel)

    • Formel: (a+b)2=a2+2⋅a⋅b+b2(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2

    • Beispiel: (x+4)2=x2+8⋅x+16(x + 4)^2 = x^2 + 8 \cdot x + 16

  2. Zweite binomische Formel (Minus-Formel)

    • Formel: (a−b)2=a2−2⋅a⋅b+b2(a - b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2

    • Beispiel: (2⋅x−3)2=4⋅x2−12⋅x+9(2 \cdot x - 3)^2 = 4 \cdot x^2 - 12 \cdot x + 9

  3. Dritte binomische Formel (Plus-Minus-Formel)

    • Formel: (a+b)⋅(a−b)=a2−b2(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2

    • Beispiel: (x+5)⋅(x−5)=x2−25(x + 5) \cdot (x - 5) = x^2 - 25