Notas: Sampling, Kwantisatie en ADC/DAC Architecturen

Sampling, discretization en dataverwerking in A/D conversie

• Doel van data-acquisitie: sensor → signaalconditionering → analoog naar digitaal conversie (A/D) → digitale output
• Omgeving: sensor, signaalconditionering, input van analoog signaal, digitaal signaal na conversie
• Kernbegrippen: analog-digital conversion; sampling (bemontsering) en quantization (begroten)
• Discretisatie: tijdsas wordt discrete; quantisatie: amplitudebasis wordt discrete stapgrootte
• Gebruikte notaties: Ui(t) = analoge input; Do(k) = digitale output na quantisatie

Discretisatie en quantisatie: kernprocessen

• Analoog ingangs-signaal: continu in tijd en amplitude
• Digitaal uitgangssignaal: discreet in tijd en amplitude (gequantiseerd)
• Digitaliseren bestaat uit: discretisatie (sampling) en quantisatie (grofweg: afstand tussen quantisatie-niveaus)
• Invoer Ui(t) → gesampled signaal Us(k) en quantised signaal Ui(k) of Us(k)
• Bemonsteren (sampling) definieert de tijdstippen t = kTs waarbij Ts = 1/f_s; de bemonsteringsfrequentie moet hoog genoeg zijn om veranderingen in Ui te volgen
• Voorbeeld notaties: Us(k) = Ui(t) op t = kT_s; Quantiseren yieldt Do(k) als discrete codes

Aliasing: terugvouwen van frequenties

• Verschillende inputsignalen kunnen hetzelfde bemonsterde signaal opleveren (aliasing)
• Voorbeeld: 19 periodes vs 21 periodes met 20 samples per periode (20 samples/19 periodes en 20 samples/21 periodes)
• Belangrijke intuïtie: aliasing gebeurt wanneer bemonsteringsfrequentie ontoereikend is voor de hoogste頻entcomponent

Voorbeeld van aliasing: 19 kHz signaal bemonsterd met 20 kHz

• Een 19 kHz input bemonsterd bij fs = 20 kHz is niet te onderscheiden van 1 kHz (19 kHz teruggevouwen op 1 kHz)
• Term: aliasing (terugvouwfout)
• Oplossing: bemonsteringsfrequentie fs moet voldoende groot zijn om de hogere frequenties te volgen

Nyquist en Shannon- Nyquist criterium

• Nyquist-frequentie: fNyquist = fs/2
• Een signaal zonder componenten boven fmax kan volledig gereconstrueerd worden als fs > 2 f_max
• Als fs ≤ 2 fmax treedt aliasing op
• Conclusie: minimaal 2 samples per periode van de hoogste frequentiecomponent (percount van f_max)
• Formeel: fs > 2 f_max

Methoden om aliasing te voorkomen

• Optie 1: bemonsteringsfrequentie fs > 2 f_max (boven Nyquist)
• Optie 2: bandbreedte van input beperken: f_max < fs/2
• Anti-aliasing filter: laagdoorlaatfilter die alle freqs above fs/2 onderdrukt voordat bemonstering plaatsvindt
• Blik op systeem: Anti-aliasing filter + keuze fs en f_max

Gequantiseerd signaal: quantisatie en resolutie

• Bemonsterde waarden worden gequantiseerd naar een eindig aantal niveaus
• Aantal niveaus = 2^n; een n-bits ADC heeft 2^n niveaus
• Uitgangswaarde Do wordt binair gecodeerd met n bits
• Quantisatie stap (quantisatie-quantum):
• $q = \frac{U_{ref}}{2^n - 1}$
• Het kleinste verschil tussen nabije niveaus is q (ook wel quantum genoemd)
• Je kunt quantisatie zien als delen van U_ref: quantisatie-niveaus zijn $0, q, 2q, \dots, (2^n-1)q$
• Relatie tussen quantiseren en referentiespanning: $q = \frac{U_{ref}}{2^n - 1}$
• Output code representatie: $[MSB \dots LSB] = [a<em>{n-1} \dots a</em>0]$ en $U_{ref} = \text{niveaus} \times q$ (per niveau)

Quantisatie-fout (quantisatiefout)

• Quantisatiefout ε_q: afrondingsfout ten opzichte van het dichtstbijzijnde niveau
• Maximale quantisatiefout: $\varepsilon<em>q^{\max} = \frac{q}{2} = \frac{U</em>{ref}}{2(2^n - 1)}$
• Deze fout komt overeen met maximaal 0,5 LSB

Digitale-naar-analoge conversie (DAC): basisprincipes

• Doel: digitale code omzetten naar analoge spanning
• Belangrijkste bouwstenen: referentiespanning, DAC-frequentie-resolutie, lineaire weging
• Besteefening: kleinstekennverlust op nauwkeurigheid beïnvloedt door weerstands-toleranties

DAC met binair gewogen weerstanden (binair gewogen weerstandsdac)

• Weerstanden zijn in binair gewogen pulsel-systemen; output UD = Iconverted × Ro = Uref ( an-1/R + an-2 / (2R) + … ) Ro
• Verzwakkingslagen en summator op inverting-amp structuur
• Nauwkeurigheid afhankelijk van weerstandstoleranties (vaak 1% fout voor grootste weerstand, verhouding met kleinste weerstand bepaalt total error)

R-2R DAC (stroom-gestuurd)

• Geeft digitale uitgangen in een ladder van weerstanden (R-2R ladder)
• Output Vout kan negatief zijn als V_ref positief is (afhankelijk van configuratie)
• Voorbeeld waarden: V4 = Vref, V3 = Vref/2, V2 = V3/2 = Vref/4, V1 = V2/2 = Vref/8
• Alternatieven: spanningsdeler (ladder) gevolgd door logica en sommator; PWM (1-bit conversie)
• Voordelen: eenvoudige integratie met kleine, consistente weerstanden; goede IC-integratie mogelijk

Directe (Flash) ADC en andere directe methoden

• Directe (Flash) ADC: continue vorm van output in één stap; snelste vorm
• 1% fout op grootste vs kleinste weerstand heeft invloed bij R-2R en binair-gewogen ontwerpen
• Multi-stage of hybride flash ADC mogelijk
• Kenmerk: zeer hoge snelheid maar veel componenten (veel comparators)

ADC-types: overzicht en toepassingen

• Directe: Flash ADC
• Integrerend: Dual-slope ADC (enSingle-slope) – tussenstap: tijdsinterval of frequentie
• Compenserend: intern gebruik van een DAC + Sample-and-Hold; gebruikt in SAR en Delta-Sigma
• SAR ADC: Successive-Approximation – zoekt stap voor stap naar de juiste bit-instelling
• Delta-Sigma (Delta-Sigma of oversampling): oversampling met integrator en 1-bit DAC; digitaal filter en decimator; zeer hoog rendement bij hoge resolutie; veel gebruikt in audio en precisie-toepassingen

Directe (Flash) ADC: samenvatting

• Reële tijds-conversie in één stap; extreem snel
• Voorbeeld: meerdere comparators die input vergelijken met reference thresholds; men gebruikt 2^n comparators voor n-bit resolutie
• Voordeel: ultieme snelheid; nadeel: grote complexiteit en stroomverbruik

Integrerend: Dual-slope ADC (1)

• Invoer wordt gedurende een vaste periode geïntergeerd: (Vi(t)) over tijd Tint
• Referentiespanning ≈ 0 wordt geïntegreerd totdat UD terug op 0 is
• Interne logica telt klokpulsen (M) die nodig zijn om de integratie terug te brengen; M is direct gerelateerd aan de verhouding Ui/U_ref
• De resulterende output Do volgt Ui/U_ref; werking is grotendeels onafhankelijk van R en C (onder ideaal omstandigheden)
• Toepassing: data-acquisitiesystemen vanwege robuuste ruisonderdrukking

Dual-slope ADC (2): details van werking

• Gehele proces: input wordt geïntegreerd; referentie wordt geïntegreerd totdat de output weer 0 is; het aantal klokpulsen M geeft de verhouding Ui/Uref weer
• M is een directe maat voor Ui/Uref; de methode is minder gevoelig voor RC-waarden en ruis
• Voorwaarde: met U_ref = 1 V en N = 16 (bits of klok-cycli), kan je de spanning Ui en de resolutie afleiden
• Uitgang: comparator vergelijkt de input met de DAC-output (UD); op basis van verschil stuurt de logica de digitale code aan
• DAC zet de code terug om in een analoge spanning; UD volgt Ui en Do volgt Ui/Uref

Dual-slope ADC (3): praktijken en kenmerken

• Nuttig voor systemen waar ruis- en DC-stabiliteit belangrijk zijn
• De output is onafhankelijk van R en C, waardoor component tolerantie minder invloed heeft
• Veel toegepast in data-acquisitie en laboratoriuminstrumenten

Successive-Approximation ADC (SAR ADC)

• Werking: evolutie van U naar U volgens een zoekstrategie met opeenvolgende benaderingen
• Blokschema: UD (DAC output), U1 (te bereiken waarde), comparator, D/A-convertor
• Startconditie: set initial bit (MSB) aan; vergelijk met U_ref; behoudt of wijzing op basis van vergelijking; ga door met volgende bit
• Voordeel: snelle voltooiing met relatief laag aantal componenten; stabiele ingangs-input vereist (sample-and-hold nodig)
• Belang van stabiele input: als Ui tijdens conversie verandert, ontstaan fouten; oplossing: voeg Sample-and-Hold schakeling toe

Delta-Sigma ADC (Delta-Sigma / oversampling)

• Principe: oversampling gevolgd door een digital filter (decimator) naar de gewenste bandbreedte en resolutie
• Modulator: integrator + 1-bit DAC + comparator; output stream van bits wordt gedecimeerd
• Kernpunt: hoge resolutie door oversampling en noise shaping; vaak gebruikt in audio en precisie-toepassingen
• Voordeel: zeer hoge SNR bij hoge orde oversampling; vereist weinig precision componenten maar wel digitale after-filtering

Delta-Sigma blokdiagram (samenvatting)

• Delta-Sigma Modulator
• Integrator
• Comparator
• 1-bit DAC
• Digitaal filter / Decimator
• Uitvoer: digitaal signaal met hoge resolutie

Samenvatting van A/D en D/A concepten

• AD-conversie zet analoge signalen (tijd- en amplitude-continu) om naar digitale signalen (discreet en gequantiseerd)
• Door bemonsteren is inputsignaal alleen geldig op discrete tijdstippen; risico op aliasing bestaat
• Shannon-Nyquist: fs > 2 f_max; aliasing wordt voorkomen via voldoende fs of via anti-aliasing filtering
• Quantisatie zet amplitude om in digitale code; er ontstaat quantisatiefout door beperkte resolutie
• DACs zetten digitale codes om naar analoge spanning; vaak gebaseerd op gewichtige weerstanden of R-2R ladders; nauwkeurigheid afhankelijk van weerstands-tolerantie en nauwkeurige reference
• ADC-types: Flash (Directe), Dual-Slope (Integrerend), SAR (Compenserend), Delta-Sigma (Oversampling en digitale filter)
• Anti-aliasing: laagdoorlaatfilter op ingang om frequenties boven fs/2 te onderdrukken
• Sample-and-Hold: stabiele ingang vereist voor nauwkeurige conversie; voorkomt fout door wisselende Ui tijdens conversie

Belangrijke formules en numerieke referenties

• Nyquist-criterion: $f<em>s > 2 f</em>{max}$
• Nyquist-frequentie: $f<em>{Nyquist} = \frac{f</em>s}{2}$
• Kwantisatie-stap (quantum): $q = \frac{U_{ref}}{2^n - 1}$
• Quantisatie-resolutie: $n ext{ bits} \Rightarrow ext{niveaus} = 2^n$
• Maximale quantisatiefout: $\varepsilon<em>q^{\max} = \frac{q}{2} = \frac{U</em>{ref}}{2(2^n - 1)}$
• Relatie tussen quantisatie en code: $[MSB \, \dots \, LSB] = [a<em>{n-1} \dots a</em>0], \quad U_{ref} = ext{niveaus} \times q = 2^n q$
• DAC-gewichten (voorbeeld R-2R): Vout-waarden zoals $V<em>4 = V</em>{ref}, \ V<em>3 = V</em>{ref}/2, \ V<em>2 = V</em>{ref}/4, \ V<em>1 = V</em>{ref}/8$
• Dual-slope: aantal klokpulsen M geeft Ui/Uref; M onafhankelijke van R, C; uitvoering over tijd T_int en referentie

Praktische overwegingen en voorbeelden

• Aliasing-voorbeeld: 19 kHz signaal bemonsterd met 20 kHz fs geeft onduidelijke reconstructie; aliasing resulteert in een lagere frequentie signaal
• Anti-aliasing filter: voorkomt hoge-frequentie componenten voordat bemonstering plaatsvindt
• Resolutie en lineariteit: weerstandstoleranties bij binair gewogen DACs hebben direct invloed op nauwkeurigheid; 1% tolerantie kan leiden tot afwijkingen in uitgangspeil
• Snapshot: op een digitaal oscilloscoop kan een Flash ADC met direct sampling een hoge sample-rate leveren maar vereist veel comparators en precisie components
• SAR en Delta-Sigma: balans tussen snelheid, resolutie en complexiteit; SAR is vaak geschikt voor medium tot hoge snelheid; Delta-Sigma domineert bij zeer hoge resolutie en audio-toepassingen

Samenvattende conclusie

• A/D-conversie transformeert continu analoge signalen naar discrete digitale representaties via discretisatie en quantisatie, met risico's zoals aliasing en quantisatiefouten
• Nyquist/Shannon-criterion en anti-aliasing filters zijn essentieel voor correcte reconstructie
• DACs en ADCs komen in verschillende architecturen met verschillende kenmerken, voordelen en nadelen (Flash, Dual-slope, SAR, Delta-Sigma, plus paren van DAC-architecturen zoals binair-gewogen en R-2R ladders)
• Praktische ontwerpkeuzes hangen af van vereiste snelheid, resolutie, ruisbestendigheid, componentnauwkeurigheid en economische factoren