Equações de Movimento do Navio e Sistemas Referenciais

Introdução à Equação de Movimento do Navio

• Objetivo Central: O estudo da manobrabilidade do navio visa conhecer as causas dos movimentos. Na construção da equação de movimento, as forças externas que atuam sobre o navio são relacionadas a uma aceleração resultante, em estrita observância à segunda lei de Newton.
• Definição do Sistema: O navio é tratado como um corpo rígido, um sistema idealizado de partículas ou elementos de massa que não sofre alteração de forma ou tamanho.
• Aplicação da Segunda Lei de Newton: Originalmente definida para uma partícula simples em um referencial inercial, a lei é expandida para o navio através da análise da variação da quantidade de movimento ($P$).

Sistemas Referenciais de Posição

• Graus de Liberdade: Um navio em movimento no mar possui seis graus de liberdade: translação ao longo de três eixos ortogonais e rotação em torno de cada um desses eixos.
• Geometria e Referenciais:
  • As forças externas dependem da geometria do casco.
  • Em um referencial inercial, as funções que descrevem a superfície do casco variam constantemente com o tempo.
  • Portanto, as forças no referencial inercial são afetadas não apenas por velocidades e acelerações, mas pela contínua mudança de posição do casco.
• Plano de Simetria:
  • Quase todos os veículos hidrodinâmicos possuem um plano de simetria (plano da linha central).
  • Boreste (direita) e bombordo (esquerda) possuem geometria espelhada.
  • Exemplos citados: navios, submarinos, foguetes, barcos, torpedos, aviões, dirigíveis, peixes e pássaros.
  • Assimetria dinâmica: Pode ocorrer devido ao sentido de rotação de um único propulsor, sendo tratada como um desvio controlado.
• Orientação dos Eixos:
  • Dois eixos devem estar no plano de simetria e o terceiro deve ser perpendicular.
  • Corpos de revolução (foguetes/torpedos) possuem um segundo plano de simetria (perpendicular ao primeiro).
  • A escolha de eixos no plano de simetria simplifica as expressões matemáticas para forças hidrodinâmicas e as equações de Newton, pois os eixos geralmente coincidem com os eixos principais de inércia.

Definição dos Eixos e Nomenclatura

O sistema de eixos é fixado no navio (referencial não inercial) para facilitar o cálculo das forças hidrodinâmicas e hidrostáticas ($F$).

• Eixo x: Longitudinal, no plano de simetria, positivo para frente (geralmente paralelo à quilha ou linha d'água). Vetor unitário: $\mathbf{i}$.
• Eixo y: Transversal, perpendicular ao plano de simetria, positivo para boreste. Vetor unitário: $\mathbf{j}$.
• Eixo z: Vertical, no plano de simetria, positivo para baixo (direção à quilha). Vetor unitário: $\mathbf{k}$.
• Referencial Inercial NED (North-East-Down):
  • Utilizado para análises de navegação, trajetórias, ângulo de rumo e forças ambientais (vento, corrente, ondas).
  • Baseado no sistema geográfico: Norte ($x$), Leste ($y$) e Down/Baixo ($z$).

O Vetor Posição e a Cinemática de Rotação

• Vetor Posição ($R_b$): Acompanha o centro de gravidade no referencial inercial.
• Relação de Posição Infinitesimal: O vetor posição $R_0$ de um elemento de massa $dm$ é dado por:   $R_0 = R_b + R_G$   Onde $R_G$ acompanha a posição de $dm$ em relação ao centro de gravidade ($G$). Quando $R_G$ tende a zero, ele se torna paralelo aos eixos principais do navio ($\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$).
• Variação dos Vetores Unitários: Como os vetores unitários são fixos ao navio que rotaciona, suas derivadas no tempo não são nulas quando há rotação:
  • Rotação $\theta$ (pitch - arquejo) em torno de $y$: $\frac{d\mathbf{i}}{dt} = -\mathbf{k} d\theta$; $\frac{d\mathbf{k}}{dt} = \mathbf{i} d\theta$.
  • Rotação $\psi$ (yaw - guinada) em torno de $z$: $\frac{d\mathbf{i}}{dt} = \mathbf{j} d\psi$; $\frac{d\mathbf{j}}{dt} = -\mathbf{i} d\psi$.
  • Rotação $\phi$ (roll - jogo/balanço) em torno de $x$: $\frac{d\mathbf{j}}{dt} = \mathbf{k} d\phi$; $\frac{d\mathbf{k}}{dt} = -\mathbf{j} d\phi$.

O Vetor Velocidade do Navio

• Velocidade Angular ($\Omega$): Definida como $\Omega = p\mathbf{i} + q\mathbf{j} + r\mathbf{k}$.
  • $p = \frac{d\phi}{dt}$ (roll rate)
  • $q = \frac{d\theta}{dt}$ (pitch rate)
  • $r = \frac{d\psi}{dt}$ (yaw rate)
• Relações de Derivação dos Vetores Unitários:
  • $\frac{d\mathbf{i}}{dt} = \Omega \times \mathbf{i} = r\mathbf{j} - q\mathbf{k}$
  • $\frac{d\mathbf{j}}{dt} = \Omega \times \mathbf{j} = -r\mathbf{i} + p\mathbf{k}$
  • $\frac{d\mathbf{k}}{dt} = \Omega \times \mathbf{k} = q\mathbf{i} - p\mathbf{j}$
• Processo de Permutação: Para transpor equações entre os eixos, utiliza-se a escala circular $x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow x$ (ou $K \rightarrow M \rightarrow N \rightarrow K$).
• Componentes da Velocidade Linear ($V_G$):
  • $u$: velocidade em $x$ (positiva para vante).
  • $v$: velocidade em $y$ (positiva para boreste).
  • $w$: velocidade em $z$ (positiva para baixo).

Equação de Movimento Translacional (Referencial no Centro de Gravidade)

• Hipótese de Massa Constante: Em navios mercantes, a variação de massa por consumo de combustível é negligenciada durante a manobra ($\frac{d\Delta}{dt} = 0$).
• Força Resultante ($F$):$F = \Delta \frac{dV_G}{dt}$   No referencial fixo ao navio, deve-se considerar a variação do sentido dos eixos unitários.
• Equações Escalares de Força:$X = \Delta (\dot{u} + wq - vr)$$Y = \Delta (\dot{v} + ur - wp)$$Z = \Delta (\dot{w} + vp - uq)$
  • Os termos $\dot{u}, \dot{v}, \dot{w}$ representam as acelerações translacionais.
  • Os termos $(wq - vr), (ur - wp), (vp - uq)$ representam as acelerações centrípetas.

Equação de Movimento para Momentos (Referencial no Centro de Gravidade)

• Quantidade de Movimento Angular ($h_G$): É a soma das quantidades de movimento angular de todos os elementos de massa em torno de $G$.   $h_G = \sum [R_i \times (\Omega_i \times R_i)] dm_i$
• Tensor de Inércia ($H_G$):$H_G = \begin{pmatrix} I_x & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_y & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_z \end{pmatrix}$
• Simplificação pelos Eixos Principais: Devido à simetria, os produtos de inércia ($I_{ij}$ onde $i \neq j$) são nulos no centro de gravidade, resultando em:   $h_G = I_x p\mathbf{i} + I_y q\mathbf{j} + I_z r\mathbf{k}$
• Momentos Externos ($M$): Representados pelo vetor $M = K\mathbf{i} + M\mathbf{j} + N\mathbf{k}$.
  • $K = I_x \dot{p} + (I_z - I_y)qr$
  • $M = I_y \dot{q} + (I_x - I_z)pr$
  • $N = I_z \dot{r} + (I_y - I_x)pq$
• Efeitos Giroscópicos: Os termos como $(I_z - I_y)qr$ representam momentos de precessão e nutação.

Equação de Movimento Fora do Centro de Gravidade

Frequentemente, a origem ($O$) do sistema de coordenadas é fixada no centro geométrico ou centro de carena, e não no centro de gravidade ($G$). Isso exige termos adicionais relacionados às distâncias $x_G, y_G, z_G$.

• Relação de Velocidade:$V_G = V_0 + \Omega \times R_G$

• Forças Inerciais Adicionais:

  • Forças Centrifugas: Intensidade vertical à rotação, sentido de $G$ para a origem $O$. Valor: $\Delta [\Omega \times (\Omega \times R_G)]$.
  • Forças de Euler: Reações inerciais dadas pela aceleração angular aplicada em $G$. Valor: $\Delta (\dot{\Omega} \times R_G)$.
  • Força de Coriolis: Surge da variação da quantidade de movimento angular medida fora de $G$ ($F \times R_G$).

• Equações Completas para Forças (Origem em $O$):$X = \Delta [\dot{u} + wq - vr - x_G(q^2 + r^2) + y_G(pq - \dot{r}) + z_G(pr + \dot{q})]$$Y = \Delta [\dot{v} + ur - wp - y_G(r^2 + p^2) + z_G(qr - \dot{p}) + x_G(qp + \dot{r})]$$Z = \Delta [\dot{w} + vp - uq - z_G(p^2 + q^2) + x_G(rp - \dot{q}) + y_G(rq + \dot{p})]$

• Equações Completas para Momentos (Origem em $O$ - Convenção SNAME):$K = I_x \dot{p} + I_{xy}(pr - \dot{q}) - I_{xz}(\dot{r} + pq) + (I_z - I_y)qr + I_{yz}(r^2 - q^2) + \Delta [y_G(\dot{w} + vp - uq) - z_G(\dot{v} + ur - wp)]$$M = I_y \dot{q} + I_{yz}(qp - \dot{r}) - I_{xy}(\dot{p} + qr) + (I_x - I_z)pr + I_{xz}(p^2 - r^2) + \Delta [z_G(\dot{u} + wq - vr) - x_G(\dot{w} + vp - uq)]$$N = I_z \dot{r} + I_{xz}(qr - \dot{p}) - I_{yz}(\dot{q} + rp) + (I_y - I_x)pq + I_{xy}(q^2 - p^2) + \Delta [x_G(\dot{v} + ur - wp) - y_G(\dot{u} + wq - vr)]$

Casos Simplificados e Planos de Movimento

• Plano Horizontal (3 Graus de Liberdade - Surge, Sway, Yaw):
  • Referencial Fora do CG:$X = \Delta (\dot{u} - vr - x_G r^2 - y_G \dot{r})$$Y = \Delta (\dot{v} + ur + x_G \dot{r} - y_G r^2)$$N = I_z \dot{r} + \Delta [x_G (\dot{v} + ur) - y_G (\dot{u} - vr)]$
  • Referencial no Centro de Gravidade:$X = \Delta (\dot{u} - vr)$$Y = \Delta (\dot{v} + ur)$$N = I_z \dot{r}$