Fysikk Kap 6 (Magnetiske felt)

Introduksjon til magnetisme og jordas magnetfelt

• Magnetisme i naturen:     

  • Trekkfugler bruker jordas magnetfelt til navigasjon over lange avstander, for eksempel over åpent hav i grått vær.     

  • Forskning viser at fugler har en magnetisk sans, et «innebygd kompass».

• Historisk bakgrunn:     

  • Egenskapene ved magneter har vært kjent i over to tusen år.     

  • Navnet kommer fra byen Magnesia i Hellas, der man fant jernmalm som tiltrakk jern.   

  • Kompasset ble oppfunnet i Kina på omtrent samme tid.     

  • Kineserne oppdaget at magneter har to poler som begge tiltrekker jern, men som kan frastøte eller tiltrekke andre magnetpoler.     

  • William Gilbert (1544–1603): Fastslo at kompassnåla peker mot nord fordi jorda selv fungerer som en stor magnet.

• Poldefinisjoner:     

  • Nordpol: Den enden av en kompassnål som peker mot geografisk nord.     

  • Sørpol: Den enden av kompassnåla som peker mot geografisk sør.     

  • Frastøting og tiltrekking: Like poler frastøter hverandre, mens ulike poler tiltrekker hverandre.     

  • Jordas magnetiske poler: Siden kompassnålas nordpol peker mot geografisk nord, må jorda ha en magnetisk sørpol i nærheten av den geografiske nordpolen, og en magnetisk nordpol nær den geografiske sørpolen.     

  • Polflytting: Den magnetiske sørpolen ligger i dag (2022) nær geografisk nord. Den magnetiske nordpolen ligger for tiden utenfor Antarktis, et stykke unna den geografiske sørpolen.

Det magnetiske feltet og dets egenskaper

• Definisjon av magnetfelt: Et magnetfelt er et område der det virker magnetiske krefter på magneter eller kompassnåler. Magnetiske krefter er fjernkrefter.

• Magnetiske feltlinjer:     

  • Brukt for å illustrere retning og styrke.     

  • Retning: Feltretningen på et sted er den retningen nordpolen på en kompassnål peker.     

  • Utenfor magneten: Feltlinjene går fra nordpol til sørpol.     

  • Inne i magneten: Feltlinjene fortsetter fra sørpol til nordpol og danner lukkede sløyfer.     

  • Lukkede sløyfer: Dette er en fundamental forskjell fra elektriske felt (som starter/slutter på ladninger). Det finnes ingen «magnetiske ladninger» (monopoler). Dette forklarer hvorfor man får to nye magneter hvis man deler en stavmagnet i to.     

  • Tetthet: Feltlinjene ligger tettest der magnetfeltet er sterkest (ved polene).     

  • Eksperimentell påvisning: Jernspon på en plate over en magnet vil ordne seg langs feltlinjene.

• Magnetisk feltstyrke ($B$):     

  • Enheten for magnetisk feltstyrke er tesla ($T$), oppkalt etter Nikola Tesla ($1856\text{--}1943$).     

  • $1\,T = 1\,N/Am$ .     

  • Eksempler på feltstyrker:         

    • Jordas felt ved ekvator: ca. $30\,\mu T$.         

    • Jordas felt ved polene: ca. $67\,\mu T$.         

    • Feltstyrke i Midt-Norge: $51\,\mu T$.         

    • Sterk hesteskomagnet: opptil $0.1\,T$.         

    • Sterkeste menneskelagde elektromagneter: ca. $40\,T$.         

    • Overflaten av nøytronstjerner: over $100\text{ millioner }T$.

• Homogent magnetfelt: Et felt som har samme styrke og retning overalt (for eksempel mellom polene i en hesteskomagnet).

• Inklinasjon (vinkel): På norske breddegrader danner magnetfeltet en vinkel $\theta = 75^{\circ}$ med horisontalplanet (peker på skrå nedover).     

  • Horisontal komponent ($B_x$): $B_x = B \times \cos(75^{\circ})$.     

  • Vertikal komponent ($B_y$): $B_y = B \times \sin(75^{\circ})$.     

  • Kompass i Norge: Sørpolen på nåla har ofte større masse for å motvirke at nordpolen trekkes nedover av den loddrette komponenten i feltet.

Magnetfelt rundt strømledere og Biot-Savarts lov

• Ørsteds oppdagelse ($1820$): Hans Christian Ørsted oppdaget at en elektrisk strøm skaper et magnetfelt rundt seg som påvirker kompassnåler.

• Ørsteds lov:     

  • Feltlinjene rundt en rett strømleder danner sirkler med sentrum i lederen.     

  • Sirkelplanet står vinkelrett på lederen.     

  • Høyrehåndsregelen for rett leder: Hold høyre hånd rundt lederen slik at tommelen peker i strømretningen ($I$). De bøyde fingrene peker da i magnetfeltets retning.

• Notasjon for 3D-vektorer på 2D-ark:     

  • $\times$ (kryss): Vektoren peker inn i papirplanet.     

  • $\bullet$ (prikk): Vektoren peker ut av papirplanet.

• Biot-Savarts lov:     

  • Beskriver feltstyrken $B$ i en avstand $r$ fra en lang, rett leder med strøm $I$.     

  • Formel: $B=k_{m}\cdot\frac{I}{r}$ .     

  • Konstanten $k_m = 2.00 \times 10^{-7}\,Tm/A$ (i vakuum).     

  • Loven gir gode tilnærminger så lenge $r$ er liten sammenlignet med lederens lengde.

• Superposisjonsprinsippet: Det samlede magnetfeltet i et punkt er vektorsummen av bidragene fra alle strømkildene.

Strømsløyfer, spoler og elektromagnetisme

• Strømsløyfe: En sirkulær leder med strøm. Den fungerer som en magnet med en nordpol og sørpol vinkelrett på sløyfas plan.

• Strømspole (Solenoide):     

  • Består av mange vindinger av isolert ledning rundt en sylinder.     

  • Virker som en seriekobling av strømsløyfer.     

  • Lager et sterkt magnetfelt som ligner feltet til en stavmagnet.     

  • Inne i spolen: Feltet er tilnærmet homogent med parallelle feltlinjer fra sørpol til nordpol.     

  • Utenfor spolen: Feltlinjene går fra nordpol til sørpol.

• Høyrehåndsregelen for strømsløyfer og spoler:     

  • Legg høyre hånd rundt sløyfa/spolen slik at de bøyde fingrene peker i strømretningen.     

  • Tommelfingeren peker da i feltretningen inne i spolen, altså mot spolens nordpol.

• Elektromagneter:     

  • Magnetfeltet i en spole forsterkes kraftig ved å sette inn en kjerne av jern.     

  • Anvendelse: Løfte tunge jerngjenstander, partikkelakseleratorer (LHC ved CERN bruker superledende spoler for å styre protonstråler).

Mikroskopisk forklaring på magnetisme

• Ampères hypotese ($1826$): Alle magnetfelt skyldes elektriske strømmer, også i permanente magneter.

• Atomær magnetisme:     

  • Elektroner i bane rundt kjernen fungerer som små strømsløyfer.     

  • Elektroner og nukleoner «spinner» om sin egen akse, som også skaper magnetfelt.     

  • I de fleste stoffer kansellerer disse feltene hverandre helt eller delvis.

  • Formel for Amperes regle

    • $\Sigma B\cdot\Delta d=m_{o}\cdot I$

      • $\Delta d=2\pi r$

    • $B\cdot\left(2\pi r\right)=m_{o}\cdot I$

    • $B=\frac{m_{o}\cdot I}{2\pi r}\Rightarrow B=k_{m}\frac{I}{r}$

      • $I$ = strømmen som er innenfor den blåe sirkelen

        

• Domeneteorien:     

  • Ferromagnetiske stoffer: (Jern, nikkel, kobolt) Her kan atommagnetene ordne seg i samme retning innenfor små områder kalt magnetiske domener ($0.001\,mm$ til $0.1\,mm$).     

  • Magnetisering: I et vanlig jernstykke har domenene tilfeldig retning. I et ytre magnetfelt blir domenene orientert likt, og jernet blir magnetisk.     

  • Permanente magneter: Oppstår hvis domenene forblir orientert etter at det ytre feltet fjernes.     

  • Avmagnetisering: Sjer ved harde slag (bryter kobling) eller oppvarming.     

  • Curie-punkt: For jern er temperaturen $770\,^{\circ}C$. Over denne temperaturen ødelegger termisk energi de magnetiske domenene.

• Paleomagnetisme: Lava som størkner i jordas felt beholder magnetiseringen. Dette viser at jordfeltet endrer seg og ble fullstendig reversert for ca. $780\,000$ år siden.

Magnetisk kraft på strømførende ledere og DC-motoren

• Kraft på rett leder:     

  • Når en leder med lengde $L$ står vinkelrett på et homogent magnetfelt $B$ med strøm $I$, virker kraften: $F = I \times L \times B$.     

  • Generell formel: $F = I \times L \times B \times \sin(\alpha)$, der $\alpha$ er vinkelen mellom lederen og feltet.     

  • Hvis lederen er parallell med feltet ($\alpha = 0^{\circ}$), er $F = 0$.

• Høyrehåndsregelen for kraftpåvirkning:     

  • Hold høyre hånd slik at de strake fingrene peker i strømretningen ($\vec{I}$).     

  • Bøy fingrene i magnetfeltets retning ($\vec{B}$).     

  • Tommelen peker da i den magnetiske kraftens retning ($\vec{F}$).

• Likestrømsmotor (DC-motor):     

  • Prinsipp: Magnetiske krefter på en strømsløyfe i et magnetfelt skaper et dreiemoment som får sløyfa til å rotere.     

  • Kommutator/Børster: Sørger for å snu strømretningen eller bryte kontakten i det sløyfa passerer den vertikale stillingen, slik at rotasjonen fortsetter i samme retning i stedet for å stoppe opp.     

  • Michael Faraday utviklet de første elektriske motorene i $1820$-årene.

Magnetisk kraft på ladde partikler i bevegelse

• Magnetisk kraft på enkeltladning:     

  • En ladning $q$ med fart $v$ i et magnetfelt $B$ påvirkes av kraften: $F = q \times v \times B \times \sin(\alpha)$.     

  • Kraften står vinkelrett på både fartsvektoren ($\vec{v}$) og feltvektoren ($\vec{B}$).     

  • Hvis ladningen er negativ, brukes absoluttverdien av $q$ for størrelsen, mens retningen snus.

• Høyrehåndsregelen for ladde partikler:     

  • Strake fingre langs farten $\vec{v}$, bøyde fingre langs feltet $\vec{B}$.     

  • Tommelen viser kraftretningen $\vec{F}$ for en positiv ladning.     

  • For en negativ ladning (som et elektron) virker kraften i motsatt retning av tommelen.

• Vektorprodukt: Matematisk kan kraften skrives som $\vec{F} = q \times (\vec{v} \times \vec{B})$.

Sirkelbevegelse og kryssede felt

• Konstant banefart: Siden kraften $\vec{F}$ alltid står vinkelrett på farten $\vec{v}$, gjør den ikke noe arbeid ($W = 0$). Den kinetiske energien og banefarten forblir derfor konstant.

• Sirkelbane: En partikkel som beveger seg vinkelrett inn i et homogent felt, vil følge en sirkelbane.     

  • Den magnetiske kraften fungerer som sentripetalkraft: $q \times v \times B = \frac{m \times v^2}{r}$.     

  • Baneradien: $r = \frac{m \times v}{q \times B}$.

• Relativistiske effekter: Hvis farten er over ca. $10\,\%$ av lysfarten ($c = 3.00 \times 10^8\,m/s$), må man bruke relativistisk bevegelsesmengde ($p = \gamma \times m \times v$).     

  • Formel for radius: $r = \frac{p}{q \times B}$.

• Skruebane: Hvis partikkelen kommer inn på skrå, vil den bevege seg i en spiralform (skruebane) langs feltlinjene. Dette skjer med partikler fra solvinden nær jordas poler, som skaper nordlys.

• Kryssede felt (Fartsfilter):     

  • Når et elektrisk felt ($E$) og et magnetisk felt ($B$) står vinkelrett på hverandre.     

  • Elektrisk kraft: $F_e = q \times E$.     

  • Magnetisk kraft: $F_m = q \times v \times B$.     

  • Hvis kreftene er like store og motsatt rettet ($q \times E = q \times v \times B$), går partikkelen rettlinjet.     

  • Filterbetingelse: $v = \frac{E}{B}$.

Massespektrografi og teknologiske anvendelser

• Massespektrograf: Brukes til å analysere kjemisk sammensetning og identifisere isotoper.     

  • Prosess:         

    • 1. Stoffprøven ioniseres.         

    • 2. Ionene akselereres av en spenning $U$: $q \times U = \frac{1}{2} \times m \times v^2$.         

    • 3. Ionene går inn i et magnetfelt der de avbøyes i sirkelbaner.         

    • 4. Treffpunktet på en detektor avhenger av massen $m$, siden $r = \frac{1}{B} \times \sqrt{\frac{2 \times m \times U}{q}}$.     

  • Historie: Francis William Aston brukte dette i $1919$ for å påvise isotopene $^{20}Ne$ og $^{22}Ne$.

• Andre anvendelser:     

  • Elektronmikroskop: Bruker magnetiske linser for å fokusere elektronstråler.     

  • TV-apparater (gamle): Brukte magnetfelt for å styre elektronstråler på skjermen.     

  • Syklotron: Partikkelakselerator som bruker magnetfelt for å holde partikler i sirkelbane og elektriske felt for å øke farten hver gang de passerer gapet mellom to halvsirkler.     

  • Aminosyreanalyse: Massespektroskopi brukes i proteinforskning.     

  • Romsonden Rosetta: Brukte massespektrografi for å analysere kometen $67P/Churyumov\text{--}Gerasimenko$ i $2014$.

Magnetisk feltstyrke

Formel: $B=k_{m}\frac{I}{r}$

• hvor:   - $B$ = magnetisk feltstyrke (Tesla, $T$)   - $k_{m} = 2.00 \times 10^{-7}\, \text{Tm/A}$ (i vakuum)   - $I$ = strøm (Ampere, $A$)   - $r$ = avstand fra lederen (meter, $m$)

Kraft på leder i magnetfelt

Formel: $F = I \times L \times B \times \sin(\theta)$

• hvor:
    - $F$ = kraft (Newton, $N$)
    - $I$ = strøm (Ampere, $A$)
    - $L$ = lengde av lederen i feltet (meter, $m$)
    - $B$ = magnetisk feltstyrke (Tesla, $T$)
    - $\theta$ = vinkelen mellom lederen og feltet (grader eller radianer)

  • Vinkler:

    • Hvis strøm lederen og magnetfelter er $\theta=90\Rightarrow\sin\left(90\right)=1$

    • Hvis strøm lederen og magnetfelter er $\theta=0\Rightarrow\sin\left(0\right)=0$

      • Det betyr at det ikke vil være noen kraft på strømføreren når den er parallell med magnetfeltet.

Magnetisk kraft på ladde partikler

Formel: $F = q \times v \times B \times \sin(\alpha)$

• hvor:   - $F$ = kraft (Newton, $N$)   - $q$ = ladningen (Coulomb, $C$)   - $v$ = hastighet (meter per sekund, $m/s$)   - $B$ = magnetisk feltstyrke (Tesla, $T$)   - $\alpha$ = vinkelen mellom hastighetsvektoren og feltet (grader eller radianer)

• Hvis det er flere partikler bruker vi:

  • $F=qNvB\cdot\sin\theta$

    N = antall partikler som passerer gjennom et gitt område per sekund.

Sirkelbane for partikler i magnetfelt

Formel for radius: $r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B}$

• hvor:   - $r$ = radius av sirkelbane (meter, $m$)   - $m$ = masse (kilogram, $kg$)   - $v$ = hastighet (meter per sekund, $m/s$)   - $q$ = ladningen (Coulomb, $C$)   - $B$ = magnetisk feltstyrke (Tesla, $T$)

Energi- og ioniseringsformel

Formel: $q \cdot U = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

• hvor:
    - $q$ = ladning (Coulomb, $C$)
    - $U$ = spenning (Volt, $V$)
    - $m$ = masse (kilogram, $kg$)
    - $v$ = hastighet (meter per sekund, $m/s$)

Omløpstiden til proton eller elektron

• formel:

            $F=ma$

        $qvB=m\frac{v^2}{r}$

        $qvB=m\frac{4\pi^2r}{T^2}$

           $T^2=\frac{4\pi^2rm}{vqB}$

           $T^2=\frac{4\pi^2rm}{\frac{2\pi r}{T}qB}$

            $T=\frac{2\pi m}{qB}$

•  - $m$ = masse (kilogram, $kg$)

•   - $q$ = ladning (Coulomb, $C$)

•   - $B$ = magnetisk feltstyrke (Tesla, $T$)

• - $T$ = periode (sekunder, $s$)

Sammenhengen mellom magnetfelt og to ledere

Hvis du har to strømledere, og strømmen beveger seg i samme retning, da vil magnetfeltene tiltrekke hverandre og skape en tiltrekkende kraft mellom dem. Men hvis strømmen går motsatt vei, vil magnetfeltene avvise hverandre, og dette resulterer i en frastøtende kraft mellom lederne.

• Formel for kraft styrkene mellom kablene

  • $B_1=k_{m}\frac{I_1}{r}$

  • $F_2=I_2LB_1$

  • $F_2=I_2L\cdot k_{m}\frac{I_1}{r}\Rightarrow F=\frac{L\cdot I_1\cdot I_2\cdot k_{m}}{r}$

    • $r$ = avstanden mellom kablene

    • $k_m$ = konstanten $2,0\cdot10^{-7}$ Tm/A

    • $L$ = lengden på strømlederen

    • $I_1$ = strømmen i leder nr. 1

    • $I_2$ = strømmen i leder nr. 2

    • Hvis $+F$ er positiv, da vil kreften peke mot hverandre og føre til en tiltrekning mellom de to lederne, mens hvis $-F$ er negativ, vil kreften peke bort fra hverandre og føre til en frastøtning.

Høyrehåndsregelen for aktuatorene i et magnetfelt beskriver retningen av strømmen, magnetfeltet og den resulterende kraften. Her er hvordan den fungerer:

• Strømretning (I): Hold høyre hånd slik at de tommelen peker i strømretningen (${I}$) langs lederen.

• Magnetfeltretning (B): Pekefingeren i retningen av magnetfeltet (${B}$).

• Kraftretning (F): Lange finger peker i retningen av den magnetiske kraften (${F}$) som virker på lederen.

Høyrehåndsregelen for ladde partikler:

• Strake fingre langs farten (v⃗v), bøyde fingre langs feltet (B⃗B).

• Tommelen viser kraftretningen (F⃗F) for en positiv ladning.

• For en negativ ladning (som et elektron) virker kraften i motsatt retning av tommelen.