Álgebra desde Cero PT:2

Álgebra desde Cero

• Productos notables

• Los productos notables son ciertas multiplicaciones entre polinomios cuyo resultado se puede escribir directamente sin necesidad de hacer todo el proceso; funcionan como "atajos".

• Para dominarlos se necesita conocer 4 reglas de oro y cómo aplicarlos de ida (para multiplicar) y de vuelta (lo que se llama factorizar).

• 1. Binomio al cuadrado

• Es el producto notable más famoso de todos. Ocurre cuando multiplicas un binomio por sí mismo:

  $(a+b)(a+b) = (a+b)^2$

• La fórmula:

  • $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

  • $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

• La Regla Cantada:

  El cuadrado del primer término, más (o menos) el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

• Ejemplo paso a paso:

  1. Cuadrado del primero: $(2x)^2 = 4x^2$

  2. El doble del primero por el segundo: $2 \cdot (2x) \cdot (3) = 12x$

  3. Cuadrado del segundo: $(3)^2 = 9$

  • Resultado: $4x^2 + 12x + 9$

• Productos Notables (Mejor Explicado)

Como tus multiplicaciones son solo patrones que se repiten todo el tiempo y dan el mismo resultado, se inventaron estas 4 reglas para no hacer toda la multiplicación paso a paso; sino para solo ver la operación y escribir el resultado.

• 1. Binomio al cuadrado (Receta de la multiplicación clonada)

• Un binomio es solo una pareja de dos términos; y elevarlo al cuadrado es solo clonarlo y multiplicarlo.

• En vez de multiplicarlo todo con todos, te dice que el resultado final siempre tendrá tres partes:

  • 1. El primero al cuadrado: Se agarra el primer miembro y se eleva al cuadrado.

  • 2. El doble del primero por el segundo: Multiplicas a los dos miembros y siempre lo multiplicas por 2 (el doble).

  • 3. El segundo al cuadrado: Agarras el segundo miembro y lo elevas al cuadrado (multiplicándolo por sí mismo).

  • Se juntan las 3 piezas y ya quedó.

• 2. Los Binomios Conjugados (Receta de gemelos opuestos)

• Es cuando multiplicas a dos parejas iguales o casi; pero una es positiva y otra negativa.

  • 1. Eleva el primero al cuadrado: El primer término se eleva al cuadrado multiplicándolo por sí mismo.

  • 2. Pon un signo de menos: Como más es positivo, en este caso siempre será menos porque el negativo gana al final.

  • 3. Eleva el segundo número al cuadrado: Igual multiplicándolo todo por sí mismo; y al final juntándolos.

• 3. Binomios con término común (Receta con algo en común)

• Imagínate multiplicar dos parejas; ambas parejas tienen algo en común, pero un número o letra diferente. Por ejemplo:

  $(x+4)(x+2)$

  Y tiene 3 pasos:

  • 1. Los líderes se multiplican:

    $x \cdot x \rightarrow x^2$

  • 2. Los acompañantes se suman: Sumas los dos números ($4+2=6$) y les pegas al líder ($x$):

    $\rightarrow 6x$

  • 3. Los acompañantes se multiplican: Multiplicas los dos números ($4 \times 2$) $\rightarrow 8$.

  • Y los juntas, las 3 partes:

    $x^2+6x+8$

• 4. El binomio al cubo (La súper multiplicación triple)

• Esto pasa cuando multiplicas 3 términos del mismo por ejemplo $(x+2)^3$ como son 3 términos el resultado es más largo y tiene 4 piezas:

  • 1. El primero al cubo: El primer miembro se eleva al $3 \rightarrow x^3$.

  • 2. El triple del primero al cuadrado por el segundo: El primer miembro lo elevas al cuadrado, se multiplica por el segundo término y siempre lo multiplicas por $3 \rightarrow 6x^2$.

  • 3. El triple del primero por el segundo al cuadrado: Ahora elevas el segundo miembro al cuadrado ($2 \cdot 2 = 4$) y se multiplica por el primero ($x$) y se multiplica por 3 siempre:

    $12x$

  • 4. El segundo al cubo: El segundo miembro se eleva a la 3 ($2 \cdot 2 \cdot 2$) $\rightarrow 8$.

  • Y se juntan las 4 piezas:

    $x^3+6x^2+12x+8$

• Ley de Signos

La ley de signos se divide en dos grupos:

• Suma y Resta.

• Multiplicación y División.

• 1. Ley de signos para Suma y Resta

Aquí aplica el más como positivo y el menos como negativo.

• La primer regla es: Signos iguales se suman y mantienen el signo.

  • Ejemplo:

    $+5 + 3 = +8$

    $-5 - 3 = -8$

• La segunda regla es: Signos diferentes se restan y se pone el signo del número mayor.

  • Ejemplo:

    $+10 - 3 = +7$

    $+4 - 9 = -5$

• 2. Ley de Signos para Multiplicación y División

Aquí es casi lo mismo: signos iguales siempre da positivo y diferentes negativo.

• La primer regla es que en una multiplicación: Los números se multiplican normal, pero con la diferencia del signo: si son iguales el resultado es positivo y diferentes negativo.

  • Ejemplo:

    $5 \cdot (-2) = -10 \rightarrow 5 \cdot 2 = 10 \rightarrow + \cdot - = -$

    $-8 \cdot 3 = -24$

• División en ley de signos

Es casi lo mismo que con la multiplicación: los números siguen el curso de dividirse y los signos la regla de: si son diferentes se restan (dan menos), pero si el signo es el mismo que se pone en el resultado (da más).

• Ejemplo:

  $\frac{10}{2} = 5 \rightarrow \frac{+}{+} = +$

  $\frac{-10}{-2} = 5 \rightarrow \frac{-}{-} = +$

  $\frac{10}{-2} = -5 \rightarrow \frac{+}{-} = -$

  $\frac{-10}{2} = -5 \rightarrow \frac{-}{+} = -$

• El caso especial de paréntesis ocultos

• $5 - (-3)$

• Como hay un signo afuera del paréntesis cuenta como una multiplicación de signos:

  $- \cdot - = +$

• Y la expresión se transforma en una suma simple.

• Resumen de Ley de signos

• En Suma/Resta: Signos iguales se suman, diferentes se restan / Gana el signo del número más grande $\rightarrow$ ambas reglas se juntan: la primera es para números y la segunda para signos.

• En Multiplicación/División: Signos iguales dan más ($+$), signos diferentes dan menos ($-$).

• Tips

Ambos números comparten el mismo signo: el signo se pone.