Wykład 3. Płyty
Dokonać redukcji płaskiego dowolnego układu ciał oznacza przekształcić ten układ w równoważny układ złożony z siły i pary sił.
Biegun reakcji to dowolny punkt leżący na płaszczyźnie, na której działa układ sił.
Korzystając z twierdzenia o równoległym przesuwaniu sił należy przesunąć poszczególne siły do bieguna reakcji, przekształcając w ten sposoób układ działających sił na równoważny układ złożony z płaskiego środkowego układu sił oraz układu pary sił. Układ środkowy zastąpimy jedną siłą W, a układ par sił zastąpimy jedna para o momencie równym algebraicznej sumie momentów par układu.
Wektor główny to geometryczna suma sił układu - oznaczamy Wg. Suma wszystkich sił układu równa sile W. W=/0
Kierunek wektora głównego określamy za pomoca cosinusa kąta utworzonego między prostą działanai Wektora Wg a osią OX
Algerbraiczną sumę momentów par układu możemy zastąpić algebraiczną sumą momentów sił względem bieguna O. Układ sił zastąpimy jedną siła W zaczepiona w biegunie i para sił o momencie M
Momentem głównym nazywamy sumę momentów sil P względem bieguna redukcji i oznaczamy Mg.
Moment główny układu sił względem nowo wybranego bieguna jest sumą algebraiczną momentu głównego tego układu względem pierwotnego bieguna 0 i momentu wektora głównego zaczepionego w punkcie O względem punktu A.
Wg =/ 0 Mg=/0
Układ redukuje się do sił wypadkowej. Moment siły wypadkowej płaskiego układu sił względem dowolnie obranego bieguna w ich płaszczyźnie działania jest równy sumie algebraicznej momnetów sił układu względem tego bieguna. Punkt zaczepienia wypadkowej obliczamy korzystając z twierdzenia o momencie wypadkowej względem dowolnego bieguna.
Oś centralna to prosta działania wypadkowej, a każdy punkt na niej leżący jest punktem zaczepienia wypadkowej.
Wg=/ 0 Mg=0
Układ redukuje się do sił wypadkowej równej wektorowi głównemu, zaczepionego w biegunie redukcji.
Wg=0 Mg=/0
Układ redukuje się do pary sił o momencie równym momentowi głównemu
Wg=0 Mg=0
Układ pozostaje w równowadze
Możan zapisać w postaci: Wgx= 0 , Wgy= 0 , Mgz= 0
Warunkiem aby płaski dowolny układ sił był w równowadze jest, aby sumy algebraiczne rzutów sił na każdą z dwóch nierównoległych osi równały się zeru i suma momentów sił względem dowolnie wybranego bieguna na płaszczyźnie działania tych sił była równa zeru.
Jeśli układ jest układem złożoneym należy go rozbić w odpowiednim punkcie na dwa podukłady, uwolnić go od więzow, a następnie wszystkie siły ukośne rozbić na składowe.
Dowolny układ działający na siłę: wybieramy dowolny biegun redukcji O. Korzystając z twierdzenia o równoległym przesuwaniu siły przesuniemy dwie siły do bieguna. Jednocześnie przykłądając w biegunie dwójki zerowe. Otrzymamy w ten sposób układ isł zaczepionych w biegunie redukcji oraz układ trzech par sił działających w różnych płaszczyznach. Siła W jest równa sumie wszystkich sił układu i jest równa geometrycznie wektorowi głównemu Wg.
Wektor główny pod względem wartości, kierunku, zwrotu nie zależy od wyboru bieguna redukcji. Jest zatem niezmiennikiem układu.
Układ trzech par sił działających w różnych płaszczyznach możemy zastąpić jedną para, której moment równy jest geometrycznej sumie momentów par składowych. Taki wektor nazwiemy momentem głównym.
Przestrzenny dowolny układ sił został zastąpiony został siłą W geometrycznie równą wektorowi głównemu Wg i parą sił o momencie równym momentowi głównemu Mg.
Kierunek i wartość wektora głównego nie zależy od wyboru bieguna redukcji, czyli wektor główny danego układu sił jest niezmienny w stosunku do bieguna redukcji.
Moment główny przestrzennego dowolnego układu sił względem drugiego bieguna redukcji A jest równy różnicy momentu głównego tego układu sił względem pierwszego bieguna O i momentu sił, równemu wektorowi głównemu tego układu, przyłożonemu w drugim biegunie redukcji względem pierwszego bieguna
Jeśli momenty główne układu sił względem dowolnie wybranych biegunów redukcji są sobie równe, to układ sił sprowadza się do pary sił.
Iloczyn skalarny wektora głównego i momentu głównego danego układu sił jest niezmienny w stosunku do bieguna redukcji
Wg=/0 jest równoległy do Mg=/0
Układ redukuje się do skrętnika, czyli układu sił i pary sił, działającej w plaszczyźnie prostopadłej do tej siły. Oś centralna skrętnika to prosta działania siły Wg.
Wg=/0 jest prostopadły do Mg=/0
Układ redukuje się do jednej siły, czyli ma wypadkową. Wartość siły wypadkowej jest równa wartości wektora głównego, ma jego zwrot i kierunek, ale jest przesunięta do bieguna redukcji o ramię d=Mg/Wg tak aby moment siły wypadkowej względem bieguna redukcji był równy momentowi głównemu.
Wg=/0 Mg=/0
Układ redukuje się do skrętnika, ale o osi przesuniętej o d względem bieguna redukcji. Najmniejszym moment główny układu sił Mg jest równy rzutowi wektora momentu głównego układu sił Mg na kierunek wektora głównego Wg. A gdy Mg = 0 oś centralna jest prostą działania wypadkowej.
Wg=/0 Mg=/0
Układ redukuje się do pary sił. Kierunek, wartośc i zwrot wektora momentu głównego nie zależą od wyboru bieguna, czyli wektora momentu głównego jest niezmiennikiem układu.
Kolejnym warunkiem, żeby układ był w równowadze jest aby sumy algebraiczne rzutów sił na każda z trzech osi kartezjańskiego układu wspołrzednych równały się zeru i sumy algebraiczne momentów wszystkich sił względme tych osi były równe zeru.