placeholder

2.1 Basiese konsepte van faktorontleding

Doel van faktorontleding: vind die onderliggende struktuur van interafhanklike metings deur ’n Minimum aantal onderliggende faktore te identifiseer wat so gekies is dat maksimum inligting behou word.
- Voorbeelde/analogie:
- Kinders leer kenmerkens van voorwerpe deur waarneming en manipulering; ooreenstemmings en verskille lei tot ’n katalogisering wat soos faktorontleding funksioneer.
- Mediese waarnemings: temperatur, hartklop, pyn, ens. vorm ’n groep simptome wat saam voorkom en ’n siekte identifiseer (faktor) wat behandel word.
- Probleeme van oorvleueling: simte van een siekte oorlap met dié van ’n ander; soortgelyke probleme in faktorontleding.
Definisie van ’n faktor: ’n groep veranderlikes wat iets in gemeen het; ’n faktor bestaan uit verbande (korrelasies) tussen veranderlikes.
- Voorbeeld: gewig, lengte, skoennommer korreleer hoog onderling en dui op ’n onderliggende faktor soos "liggaamsgrootte".
- Die faktor self word nie altyd gemeet of waargeneem nie en moet geïdentifiseer word deur faktorontleding.

2.1.2 Grafiese voorstelling

Drie veranderlikes (bv. 50 m, 100 m, werpskyf) as sirkels met oorvleuelings om die gemeenskaplike variasie te voorstel.
Die groter die oorvleueling between sirkels, hoe groter die gemeenskaplike variansie wat deur ’n faktor verklaar word.
Die ellips wat binne twee sirkels val vertegenwoordig ’n sogenaamde gemeenskaplike faktor; dit beslaan ’n groter oppervlak as die nie-oorvleuelende ellips wat minder oorvlewing het.
Die voorstelling dui die proporsie variansie wat deur faktore verklaar word, maar laat nie altyd ’n presiese kwantitatiewe interpretasie toe sonder berekeninge nie.

2.1.3 Faktorekstraksie

Doel: bepaal hoeveel van die totale variansie deur elk van die onttrekte faktore verklaar word.
Metodes:
- Hoofkomponente (PCA), sentroïed, hooffaktor, maksimum aanneemlikheidsmetodes.
- Baie veranderlikes laat komplekse berekenings toe; gewoonlik word rekenaarprogramme gebruik.
Fokus vir these notes: metode van hoofkomponente (principal components).
Sleutelbegrippe:
- Die oorspronklike variansie van elke veranderlike oor die vereiste (nie die korrelasie) word verteenwoordig deur die eiewaarde (eigenvalue) van elke faktor.
- Die maksimum aantal hoofkomponente wat onttrek kan word, is gelyk aan die getal veranderlikes.
- Hoeveel faktore om te onttrek? Dit ticker af op grond van informatiew befinding:
- Voorbeeld met drie items: 50 m, 100 m en werpskyf.
  - eiewaarde faktor 1 = 1.636; faktor 2 = 1.002; faktor 3 = 0.362. Totaal = 3.0.
  - Aantal faktore onttrek wat ’n sinvolle hoeveelheid variansie verklaar: 2 faktore gee byna al die variansie.
  - Proportie verklaar deur faktore 1 en 2:
    ext{Prop } = rac{1.636 + 1.002}{3} = 0.879 ext{ (88 ext{%)}}
  - Dit laat ’n klein verlies van informasie toe ~ 1 - 0.879 = 0.121 ext{ (12 ext{%)}}.
- Kaiser se kriteria: kies faktore wat meer variansie as die gemiddelde verklaar. Die gemiddelde variansie per faktor is altyd 1 wanneer die variansie per veranderlike gestandaardiseer is.
  - In die atletiek-items voorbeeld het faktore 1–3 almal groter as 1, dus word drie faktore onttrek.
Begrippe om te onthou:
- Eiewaarde/eigenvalue van ’n faktor = totale variansie wat deur daardie faktor verklaar word.
- Propvariansie deur faktor k =
  $\frac{ ext{eiewaarde}_{k}}{p}$
  waar p = aantal veranderlikes.
Metode-beperking: die keuse van die mees geskikte ekstraksie-metode is nie noodwendig krities vir hierdie eksamen nie; fokus bly op die begrip van hoofkomponente en interpretasie.

2.1.4 Faktorbeladings

Nadat die toepaslike aantal faktore onttrek is, word ’n faktormatriks bereken wat bestaan uit die faktorbeladings (loadings) op elke veranderlike.
Beladings gee die korrelasies tussen faktore en veranderlikes.
Kommunaliteite (Communalities):
- Die som van die kwadrate van die beladings vir ’n veranderlike oor al onttrekte faktore.
- Voorbeeld: vir item i met beladings l{i1}, l{i2}, …, l{im}, die kommunaliteit $$ hi^2 = extstyle\, igl(l{i1}^2 + l{i2}^2 + \