Propiedades Mecánicas de los Materiales

Tema 2: Propiedades Mecánicas de los Materiales

1. Índice

• Contenidos:
  • Tensión y deformación. Ley de Hooke. Curvas σ-ε.
  • Torsión.
  • Flexión y análisis de vigas.
  • Compresión axial en columnas.
  • Comportamiento mecánico de materiales compuestos.

1.1. Tensión y Deformación

• Tensión ($\sigma$): Fuerza por unidad de área.
  • Fórmula: $\sigma = \frac{F}{A_0}$, donde:
    • $F$ es la fuerza o carga aplicada.
    • $A_0$ es la sección transversal inicial.
  • Unidades: Pascales (Pa), Megapascales (MPa), Gigapascales (GPa), equivalentes a N/m².
• Ejemplos:
  • Tanque Colgante: Un tanque de 10000 kg que cuelga de un alambre con sección de 10 cm².
    • Calcula la tensión soportada por el alambre usando la fórmula anterior.
  • Columna de Granito: Columna de granito con densidad de 2700 kg/m³.
    • Calcula la tensión a 3 m por debajo de la base.
  • Escultura sobre Columna: Escultura de 1000 kg sobre columna cilíndrica de 6 m de alto y 0,5 m de diámetro.
    • Calcula la tensión ejercida por la escultura.
• Tipos de Tensión:
  • Tracción: Estiramiento.
  • Compresión: Aplastamiento.
  • Cizalladura: Deslizamiento.
  • Torsión: Retorcimiento.
• Deformación ($\epsilon$): Cambio en la longitud por unidad de longitud original.
  • Fórmula: $\epsilon = \frac{L<em>i - L</em>0}{L<em>0} = \frac{\Delta L}{L</em>0}$, donde:
    • $L_i$ es la longitud final.
    • $L_0$ es la longitud inicial.
    • $\Delta L$ es el cambio en la longitud.
  • Adimensional.
  • Positiva en tracción, negativa en compresión.

1.2. Ley de Hooke

• Relación lineal entre tensión y deformación en la región elástica:
  • Fórmula: $\sigma = E \epsilon$, donde:
    • $E$ es el Módulo de Elasticidad o Módulo de Young.
    • Unidades de $E$: MPa o GPa.
• Rigidez: Resistencia de un material a la deformación elástica.
  • Un material con mayor valor de $E$ es más rígido.
  • A mayor $E$, menor deformación ($\epsilon$) para una tensión ($\sigma$) dada.
• Módulo de Elasticidad (E) vs. Temperatura:
  • El módulo de elasticidad generalmente disminuye al aumentar la temperatura.
• Deformación Elástica: No permanente; el material vuelve a su forma original al retirar la carga.
• Coeficiente de Poisson ($\nu$): Relación entre la deformación lateral y la deformación axial.
  • Fórmula: $\nu = -\frac{\epsilon<em>x}{\epsilon</em>z} = -\frac{\epsilon<em>y}{\epsilon</em>z}$
  • Valores típicos para metales y aleaciones: 0.25 ≤ $\nu$ ≤ 0.35.
  • $\epsilon<em>x = -\nu \epsilon</em>z = - \frac{\nu \sigma_z}{E}$
  • $\epsilon<em>y = -\nu \epsilon</em>z = - \frac{\nu \sigma_z}{E}$
• Compresión y Cizalladura Elástica:
  • La rigidez del material es la misma en compresión que en tracción, pero con signo opuesto en las deformaciones.
  • Cizalladura: $\tau = G \gamma$, donde $G$ es el Módulo de Cizalla.
  • Relación entre E y G: $E = 2G(1 + \nu)$
• Ley de Hooke Global (3D - Carga Multiaxial):
  • $\epsilon<em>z = \frac{\sigma</em>z}{E} - \frac{\nu \sigma<em>x}{E} - \frac{\nu \sigma</em>y}{E}$
  • $\epsilon<em>x = \frac{\sigma</em>x}{E} - \frac{\nu \sigma<em>z}{E} + \frac{\nu \sigma</em>y}{E}$
  • $\epsilon<em>y = \frac{\sigma</em>y}{E} - \frac{\nu \sigma<em>z}{E} - \frac{\nu \sigma</em>x}{E}$

1.3. Curvas σ - ε

• Ensayos de Tracción: Utilizados para determinar las curvas σ-ε.
• Límite Elástico ($\sigma_Y$): Punto donde comienza la deformación plástica.
  • Deformación plástica: Deformación permanente; el material no vuelve a su forma original al retirar la carga.
  • Determinación del límite elástico: Se trazan rectas paralelas con deformaciones de 0.2% para metales, 1% para polímeros y 0.5% para compuestos.
• Curvas σ - ε para Diferentes Materiales:
  • Metales y Aleaciones: Presentan zona de endurecimiento por deformación entre $\sigma_Y$ y la resistencia a la tracción (TS), seguido de una zona de estricción.
  • Polímeros:
    • Frágil: A temperaturas muy bajas (T << Tg).
    • Plasticidad limitada: T ≈ 0.8 · Tg.
    • Flujo viscoso: T >> Tg.
  • Cerámicas: Comportamiento frágil, mayor resistencia a la compresión que a la tracción.
• Otros Parámetros:
  • Ductilidad: Capacidad de un material para deformarse plásticamente antes de la fractura. Se mide como el alargamiento relativo porcentual a rotura (%EL).
    • Fórmula: $\%EL = \frac{L<em>F - L</em>0}{L_0} · 100$
    • Materiales dúctiles tienen alta ductilidad, mientras que los materiales frágiles tienen baja ductilidad.
  • Resiliencia: Capacidad de un material para absorber energía elástica durante la deformación y liberarla al retirar la carga.
    • Módulo de resiliencia: $U<em>r = \int</em>0^{\epsilon<em>Y} \sigma d\epsilon \approx \frac{1}{2} \sigma</em>Y \epsilon_Y$
  • Tenacidad: Capacidad de un material para absorber energía antes de la fractura.
    • $T = \int<em>0^{\epsilon</em>F} \sigma d\epsilon$
    • Materiales tenaces absorben mucha energía antes de fracturarse; materiales frágiles absorben poca energía.
• Tensión y Deformación Reales vs. Nominales:
  • Tensión nominal ($\sigma$): Calculada usando el área inicial (A0).
  • Tensión real ($\sigma_T$): Calculada usando el área instantánea (Ai) durante la deformación.
  • Fórmulas:
    • $\sigma_T = \sigma (1 + \epsilon)$
    • $\epsilon_T = \ln(1 + \epsilon)$
  • Ecuación de Hollomon: $\sigma<em>T = K \epsilon</em>T^n$, donde K y n son constantes del material.
• Recuperación Elástica Tras Deformación Plástica: Al retirar la carga después de la deformación plástica, una parte de la deformación se recupera elásticamente.
• Factores de Seguridad: Se utilizan para diseñar componentes estructurales, teniendo en cuenta la dispersión en las propiedades mecánicas y las incertidumbres en las cargas.
  • Fórmula: $\sigma<em>W = \frac{\sigma</em>Y}{N}$, donde $\sigma<em>W$ es la tensión de trabajo, $\sigma</em>Y$ es el límite elástico y N es el factor de seguridad (típicamente entre 1.2 y 4.0).
• Dureza: Resistencia de un material a la deformación plástica localizada.
  • Escala de Mohs: Escala ordinal que clasifica los materiales según su resistencia al rayado (del 1 al 10).
  • Existen otras escalas como Vickers, Brinell y Rockwell, que proporcionan mediciones cuantitativas de la dureza.
  • Relación aproximada entre la dureza Vickers (HV) y la resistencia a la tracción (TS) para aleaciones de aluminio: TS ≈ 3.05 · HV.

1.4. Torsión

• Torsión: Carga aplicada que tiende a retorcer un objeto.
• Par de Torsión (T): Momento de fuerza que causa la torsión.
  • Fórmula: $T = F \cdot d$, donde F es la fuerza aplicada y d es la distancia perpendicular entre el par de fuerzas.
  • Unidades: N·m.
• Torsión Elástica:
  • Ley de Hooke para esfuerzo cortante (a cizalla): $\tau = G \gamma$, donde:
    • $\tau$ es el esfuerzo cortante.
    • $G$ es el módulo de cizalladura.
    • $\gamma$ es la deformación de cizalla.
    • $\gamma = \tan(\phi)$, donde $\phi$ es el ángulo de torsión.
  • El esfuerzo cortante varía linealmente con la distancia desde el eje de la barra.
    • $\tau = \frac{r}{r<em>{max}} \tau</em>{max}$
    • $\tau<em>{max} = \frac{T \cdot r</em>{max}}{J}$
    • $\tau = \frac{T \cdot r}{J}$
    • Donde J es el segundo momento polar de inercia de la sección transversal.
  • Para una sección circular:
    • Sólida: $J = \frac{\pi}{2} r^4$
    • Hueca: $J = \frac{\pi}{2} (r<em>0^4 - r</em>i^4)$
    • Aproximación para pared delgada: $J \approx 2\pi r^3 t$
  • Esfuerzos Cortantes y Normales:
    • En torsión, se generan esfuerzos cortantes puros y esfuerzos axiales (tracción y compresión) en diferentes orientaciones.
    • Materiales dúctiles fallan por cortante a lo largo de un plano perpendicular al eje longitudinal.
    • Materiales frágiles fallan por tracción a lo largo de interfases a 45°.
  • Ángulo de Giro ($\phi$):
    • $\phi = \frac{TL}{JG}$
    • El ángulo de giro es proporcional al par de torsión aplicado.
  • Diseño de Ejes de Transmisión:
    • Potencia de transmisión: $P = T \cdot \omega = T \cdot 2 \pi f$, donde $\omega$ es la velocidad angular y f es la frecuencia de rotación.
    • $T = \frac{P}{2 \pi f}$
    • $J/r = \frac{T}{\tau_{max}}$