Fysikk Kap 4 (Relativitetsteori)

Utforskning av Referansesystemer og Bevegelse

Bevegelse fra ulike ståsteder: Et mye brukt tankeeksperiment er et tog i konstant rettlinjet fart uten vinduer. Spørsmålet er om bevegelsen kan påvises gjennom forsøk inne i toget. Svaret er at det ikke er mulig å måle den absolutte farten fra innsiden når bevegelsen er rettlinjet og konstant.
Reise i tid: Fysikken antyder at tidsreiser er teoretisk mulige gjennom relativitet.
- Eksempel Vega: En reise til stjernen Vega ( $25\,\text{lysår}$ unna).
- Fremdrift: Romskipet akselererer med $10\,m/s^2$ halve veien og bremser med $-10\,m/s^2$ resten.
- Etter ett år har skipet nådd $78\,\%$ av lysfarten ( $c$ ).
- Opplevd reisetid: For den reisende tar turen litt over $13\,\text{år}$ .
- Tid på jorda: Venner på jorden vil ha blitt $54\,\text{år}$ eldre i samme tidsrom. Dette demonstrerer at tid er en relativ størrelse.
Definisjon av Referansesystem: Tid og sted oppgis alltid i forhold til et referansesystem.
- Referansegjenstand: En konkret gjenstand (f.eks. et kjøpesenter eller jordoverflaten).
- Referansetidspunkt: Et fast nullpunkt for tid (f.eks. midnatt).
- Koordinatsystem: Et system som er i ro i forhold til referansegjenstanden.
Galileitransformasjoner (Klassisk fysikk): Bevegelse regnes om mellom systemer ved enkel addisjon.
- Eksempel Knut og Sadia: Knut sitter på et tog ( $v = 30\,m/s$ i Sadias system). Knut går fremover i toget med farten $1.0\,m/s$ i sitt eget system.
- Addisjonsregelen: Knuts fart målt av Sadia er $30\,m/s + 1.0\,m/s = 31\,m/s$ .
- Baneform: Et eple som slippes av Knut vil falle rett ned i hans system, men følge en parabelbane i Sadias system.
Treghetssystemer: Et referansesystem der Newtons 1. lov (treghetsloven) gjelder.
- Dersom et system beveger seg med konstant fart i forhold til et treghetssystem, er det også et treghetssystem.
- Systemer som akselererer, svinger eller bremser er ikke treghetssystemer.
- I en akselererende togvogn vil en pendel henge på skrå; summen av kreftene ( $\sum \mathbf{F}$ ) er ikke null selv om pendelen er i ro relativt til toget.

Spesiell relativitetsteori og Einsteins postulater

Relativitetsprinsippet i mekanikken: Formlene i mekanikken har samme form i alle treghetssystemer. Det er umulig å skille ett treghetssystem fra et annet kun ved mekanikkforsøk.
Maxwell og Elektromagnetismen: James Clerk Maxwell (1831–1879) utviklet en teori som viste at lys har en bestemt fart $c$ , uavhengig av referansesystem. Dette skapte en konflikt med den klassiske addisjonsregelen for fart.
Michelson-Morley-eksperimentet (1887): Albert Michelson og Edward Morley forsøkte å påvise variasjoner i lysfarten ( $c_1$ og $c_2$ ) på tvers av jordbanen.
- Resultat: De fant ingen forskjell i lysfarten uavhengig av retning eller årstid.
- Konklusjon: Lysfarten er den samme i alle treghetssystemer. Dette utløste en krise i fysikken fordi det brøt med galileitransformasjonene.
Einsteins postulater (1905): Albert Einstein løste krisen med den spesielle relativitetsteorien basert på to setninger:
- 1. Postulat 1 (Det spesielle relativitetsprinsippet): Fysikkens lover har samme form i alle treghetssystemer.
- 2. Postulat 2: Lysfarten i vakuum har samme verdi ( $c$ ) i alle treghetssystemer, uavhengig av kildens eller observatørens bevegelse.
Samtidighetens relativitet: To hendelser som skjer samtidig i ett treghetssystem, skjer ikke nødvendigvis samtidig i et annet.
- Definisjon: To hendelser i punktene $A$ og $B$ er samtidige hvis lyssignaler fra dem møtes i midtpunktet mellom $A$ og $B$ .
- Eksempel: Sadia i et tog og Nora på perrongen. Når midten av toget passerer Nora, slår to lyn ned ( $A$ og $B$ ). For Nora er de samtidige. Sadia beveger seg mot lyset fra det fremre lynet og vil se dette først; hun konkluderer med at det fremre lynet slo ned først.

Relativistisk tid og lengde

Tidsforlengelse (Tidsdilatasjon): Fordi lysfarten $c$ er konstant for alle, må tiden bevege seg annerledes for objekter i bevegelse.
- Utledning via lystog: Et lysglimt beveger seg vertikalt ( $h$ ) i et tog. Sett fra bakken beveger lyset seg langs en lengre vei ( $s$ ).
- Pytagoras gir: $s^2 = (\frac{1}{2}vt)^2 + h^2$ .
- Lorentzfaktoren ( $\gamma$ ): $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}$
- Tidsformel: $t = \gamma t_0$ , der $t_0$ er hviletiden (målt i ro med hendelsen).
- Når v > 0, er \gamma > 1 og t > t_0. Klokker i bevegelse går langsommere.
Eksempel Myoner: Myoner dannes $10\,km$ oppe i atmosfæren.
- Hviletid: $t_0 = 2.20\,\mu s$ .
- Fart: $v = 0.998c$ .
- Klassisk rekkevidde: $s = vt_0 \approx 659\,m$ .
- Relativistisk (jordas system): $\gamma \approx 15.82$ . Levetid $t = 15.82 \times 2.20\,\mu s \approx 34.8\,\mu s$ . Rekkevidde $s = vt \approx 10.4\,km$ . De når dermed bakken.
Lengdeforkortelse: En gjenstand i bevegelse måles som kortere i fartsretningen.
- Formel: $L = \frac{L_0}{\gamma}$ , der $L_0$ er hvilelengden.
- For myonet er avstanden ned til jorden forkortet: $L = \frac{10\,km}{15.82} \approx 0.63\,km$ .
- Lengdeforkortelse skjer kun i fartsretningen; vertikale mål forblir uendret.

Relativistisk bevegelsesmengde og energi

Bevegelsesmengde ( $p$ ): I relativistisk fart må formelen justeres for å opprettholde bevaringsloven.
- Formel: $p = \gamma m v$ .
- Når $v \rightarrow c$ , vil $p \rightarrow \infty$ . Dette forklarer hvorfor ingenting med masse kan nå lysfarten; det ville kreve uendelig stor kraft.
Relativistisk Kinetisk Energi ( $E_k$ ):
- Formel: $E_k = E - E_0$ .
- Total energi ( $E$ ): $E = \gamma m c^2$ .
- Hvileenergi ( $E_0$ ): $E_0 = m c^2$ .
- Leddvis uttrykk: $E_k = \frac{mc^2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}} - mc^2$ .
Energi-masse-loven: Masse og energi er to sider av samme sak. Den totale energien, inkludert hvileenergien, er bevart i alle prosesser. Partikkelkollisjoner viser at masse kan forsvinne og bli til kinetisk energi i form av en skur av nye partikler.
Sammenhengen mellom energi og bevegelsesmengde: $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ * Dette brukes ofte i partikkelfysikk med enheten elektronvolt ( $1\,eV = 1.60 \times 10^{-19}\,J$ ).

Fra spesiell til generell relativitetsteori

Ekvivalensprinsippet: Einsteins grunnlag for en ny gravitasjonsteori fordi Newtons teori var i strid med at informasjon (gravitasjon) ikke kan gå raskere enn lyset.
- Del 1: Et referansesystem i fritt fall er ekvivalent med et treghetssystem (man føler ingen tyngde).
- Del 2: Det er umulig å avgjøre om man er i et gravitasjonsfelt ( $g$ ) eller i et akselerert system ( $a = g$ ).
Krummet tidrom: Einstein brukte tankeeksperimentet med en roterende skive.
- Langs omkretsen ( $O$ ) vil klinkekuler oppleve lengdeforkortelse, som krever flere kuler ( $n_O$ øker).
- Langs diameteren ( $d$ ) er det ingen forkortelse ( $n_d$ er konstant).
- Forholdet \frac{n_O}{n_d} > \pi. Dette indikerer ikke-euklidsk (krum) geometri.
Definisjon av Gravitasjon: Gravitasjon er ikke en kraft, men en geometrisk egenskap ved tidrommet. Masse og energi krummer tidrommet, og objekter følger "rettest mulige baner" (geodetiske kurver) i dette krumme rommet.
Det generelle relativitetsprinsippet: Fysikkens lover har samme form i alle referansesystemer, inkludert akselererte.

Konsekvenser av den generelle relativitetsteorien

Lysavbøyning: Arthur Eddington beviste i 1919 at solmassen avbøyer lyset fra stjerner bak solen under en solformørkelse.
Gravitasjonell tidsforlengelse:
- Tiden går saktere jo lenger ned i et gravitasjonsfelt man befinner seg.
- I Pund-Rebka-eksperimentet (1959) ble dette bekreftet; frekvensen på lys øker (blåforskyves) når det faller nedover.
Svarte hull: Områder der gravitasjonen er så sterk at unnslippingsfarten overstiger $c$ .
- Hendelseshorisont: Grensen der ingenting kan unnslippe.
- Singularitet: Punktet der all masse er samlet.
- Spagettifisering: Tidevannskrefter som strekker gjenstander nær et svart hull.
- Sett utenfra vil en klokke som faller mot et svart hull se ut til å sakne inntil den står stille ved hendelseshorisonten.
Tvillingparadokset: Løses ved at den reisende tvillingen (Aron) akselererer (snur). Den generelle relativitetsteorien viser at på grunn av akselerasjonen og gravitasjonell tidsdilatasjon, vil Nora på jorda eldes raskere.
GPS (Global Positioning System): Krever korreksjon for begge teorier.
- Spesiell relativitet: Satellittens fart får klokken til å gå saktere ( $\approx 7\,\mu s$ per dag).
- Generell relativitet: Satellitten er høyere oppe i gravitasjonsfeltet, som får klokken til å gå raskere ( $\approx 45\,\mu s$ per dag).
- Nettoeffekt: Satellittklokkene går for fort i forhold til bakken og må korrigeres.
Gravitasjonsbølger: Bølger i tidrommet utløst av dramatiske hendelser som kollisjoner av svarte hull.
- LIGO (2015): Målte bølger fra to svarte hull ( $35$ og $30$ solmasser) som kolliderte $1.6\,\text{milliarder lysår}$ unna.

Questions & Discussion

Spørsmål 4.4:
- a) Forklar samtidighet: To hendelser er samtidige om lyset fra dem møtes midt mellom hendelsene.
- b) Har Nora eller Sadia rett? Begge har rett i sitt treghetssystem; det finnes ingen absolutt samtidighet.
Spørsmål 4.11: I hvilken etasje i en høyblokk bør du bo for å leve lengst?
- Svar: Du bør bo i nederste etasje fordi tiden går saktere nærmere bakken (gravitasjonell tidsforlengelse). Du vil likevel ikke ha "glede" av den ekstra tiden siden dine biologiske prosesser også går tilsvarende saktere.
Oppgave 4.13 (Ekvator):
- Farten ved ekvator i forhold til jordas sentrum er høyere enn i Norge på grunn av rotasjonen.
- Beste tid for løping i forhold til sola er når jordas rotasjonsfart adderes til banefarten.
Sammendrag av gravitasjonsteorier (Newton vs Einstein):
- Newton: Gravitasjon er en øyeblikkelig kraft mellom masser.
- Einstein: Gravitasjon er krumning av tidrommet; ingenting (heller ikke gravitasjonell info) går raskere enn $c$ .

Lorentzfaktoren
1. Formel: $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}$
2. Brukes til: Beregning av tidsforlengelse og lengdeforkortelse i relativistisk bevegelse.
  1. $\gamma$ : Lorentzfaktoren
  2. $v$ : Hastighet til det bevegelige objektet
  3. $c$ : Lysfarten ( $c \approx 3.00 \times 10^8 \ m/s$ )
Tidsformel
1. Formel: $t = \gamma t_0$
2. Brukes til: Kalkulere den opplevde tiden for et objekt i bevegelse i forhold til hviletid.
  1. $t$ : Tiden opplevd av den bevegelige observatøren
  2. $t_0$ : Hviletid (tiden målt i ro med hendelsen)
Lengdeforkortelse
1. Formel: $L = \frac{L_0}{\gamma}$
2. Brukes til: Beregning av lengden til et objekt i bevegelse i fartsretningen.
  1. $L$ : Målt lengde av det bevegelige objektet
  2. $L_0$ : Hvilelengden (lengden målt i ro)
Bevegelsesmengde
1. Formel: $p = \gamma mv$
2. Brukes til: Beregning av bevegelsesmengde for objekter som beveger seg med relativistiske hastigheter.
  1. $p$ : Bevegelsesmengde
  2. $m$ : Massens hvileverdi
  3. $v$ : Hastigheten til objektet
Relativistisk Kinetisk Energi
1. Formel: $E_k = \gamma mc^2 - mc^2$
2. Brukes til: Beregning av den kinetiske energien til et objekt når hastigheten nærmer seg lysfarten.
  1. $E_k$ : Relativistisk kinetisk energi
  2. $m$ : Massens hvileverdi
  3. $c$ : Lysfarten
  4. $E$ : Total energi
Energi-masse-loven
1. Formel: $E = mc^2$
2. Brukes til: Relasjonen mellom masse og energi.
  1. $E$ : Energi
  2. $m$ : Masse
  3. $c$ : Lysfarten
Sammenheng mellom energi og bevegelsesmengde
1. Formel: $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$
2. Brukes til: Analysering av energi og bevegelsesmengde i partikkelfysikk.
  1. $E$ : Energi
  2. $p$ : Bevegelsesmengde
  3. $m$ : Masse
  4. $c$ : Lysfarten