Integration and Differentiation Basics

  • مفاهيم أساسية

    • التكامل: العثور على دالة التكامل من مشتقة.

    • التكامل غير المحدد: يمثل عائلة من الدوال ويشمل ثابت التكامل.

  • صيغ التكامل

    • ∫a dx=ax+C\int a \, dx = ax + C

    • ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (لـ n≠−1n \neq -1)

    • ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)+C\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C

    • ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)+C\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C

    • ∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C

  • أمثلة محددة على التكامل

    • ∫ax+b dx=(ax+b)22a+C\int ax+b \, dx = \frac{(ax+b)^2}{2a} + C

    • ∫tan⁡(x) dx=−ln⁡∣cos⁡(x)∣+C\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C

    • ∫11+x2 dx=tan⁡−1(x)+C\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \tan^{-1}(x) + C

    • ∫1−x2 dx=12(x1−x2+sin⁡−1(x))+C\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}(x)) + C

  • التكامل المحدد

    • يمثل المساحة تحت المنحنى بين نقطتين a و b.

    • الصيغة: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) حيث F هو الدالة المضادة لـ f.

  • التفاضل والتكامل

    • يربط نظرية الأعداد الأساسية بين التفاضل والتكامل.

    • إذا كانت F هي دالة مضادة لـ f، فإن ddx[F(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[F(x)] = f(x).

  • أخطاء شائعة

    • تذكر تضمين ثابت التكامل (C) في التكاملات غير المحددة.

    • انتبه للحدود التكاملية في التكاملات المحددة.

    • تأكد من الاستخدام الصحيح للصيغ، خاصة للدوال المثلثية والأسية.