Mechanické kmitání a vlnění

MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ

1. KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

• Kmitavý pohyb je opakující se periodický pohyb.
• Mechanický oscilátor je zařízení, které volně kmitá bez vnějšího zásahu.

1.1 Kmitavý pohyb

• Mechanické oscilátory:

  • Při kmitání zůstává těleso stále v okolí určitého bodu - rovnovážná poloha.
  • Na těleso působí dvě stejně velké síly opačného směru: tíhová síla $F<em>G$ a síla pružnosti $F</em>p$.
  • Kyvadlo: těleso zavěšené na pevném vlákně.
  • Kmit: periodicky se opakující část kmitavého pohybu.
  • Kyv: polovina kmitu.
  • Pružinový oscilátor: těleso zavěšené na pružině.

• Časový průběh kmitavého pohybu:

  • Časový průběh je sinusoida.
  • Závislost okamžité výchylky y na čase t.
  • Rychlost se mění, tedy jde o nerovnoměrný pohyb.

• Veličiny charakterizující kmitání:

  • Perioda T: doba, za kterou oscilátor vykoná jeden kmit.
  • Frekvence f (kmitočet): počet kmitů za jednu sekundu.

1.2 Harmonické kmitání

• Kinematicky popsat kmitavý pohyb znamená vyjádřit okamžitou polohu mechanického oscilátoru v závislosti na čase.

• Okamžitá poloha mechanického oscilátoru je určena souřadnicí y, nazývanou okamžitá výchylka.

• Kmitavý pohyb je analogický rovnoměrnému pohybu po kružnici promítnutého do časové osy.

  • Úhlová rychlost.
  • Úhlová dráha.
  • Perioda = doba jednoho oběhu.
  • Frekvence = počet oběhů za jednotku času.

• Příklad:

  • Graf závislosti výchylky na čase kyvadla, s periodou 2 sekundy a maximální výchylkou 10 cm (harmonický pohyb).
  • Graf pohybu kyvadla se stejnou periodou 2 s, ale s poloviční maximální výchylkou 5 cm.

1.3 Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu

• Vztah pro okamžitou rychlost lze získat na základě analogie mezi kmitavým pohybem a rovnoměrným pohybem po kružnici.
• Časový diagram rychlosti kmitavého pohybu.
  • Maximální rychlost: při průchodu rovnovážnou polohou (y = 0).
  • Minimální rychlost: v amplitudách (výchylkách $y_m$).
• Zrychlení kmitavého pohybu:
  • Zrychlení je přímo úměrné výchylce.
  • Má vždy opačný směr než okamžitá výchylka.
  • Platí:
    a = - \omega^2 y
    

1.4 Fáze kmitavého pohybu

• Dosud sledováno harmonické kmitání, kde těleso bylo v čase 0s v rovnovážné poloze. Nemusí to tak být vždy.
• $t_0$: čas, který uplynul od průchodu rovnovážnou polohou, než jsme začali kmitání sledovat.
• Lze určit i rychlost a zrychlení pohybu.

1.4 Složené kmitání

• Složené kmitání je kmitání, které vzniká skládáním (superpozicí) několika kmitavých pohybů v jeden pohyb.

• Mají-li jednotlivé harmonické kmitavé pohyby okamžité výchylky $y<em>1, y</em>2, …, y_N$, je okamžitá výchylka výsledného kmitání rovna:

  • $y = y<em>1 + y</em>2 + … + y_N$

• Časový průběh výsledného kmitání závisí na amplitudě okamžité výchylky, frekvenci a počáteční fázi jednotlivých jeho složek.

• Skládáme-li 2 harmonická kmitání stejné frekvence (izochronní), vzniká opět harmonické kmitání stejné frekvence.

  • Amplituda výchylky závisí na fázovém rozdílu složek.
  • Mohou nastat 2 speciální případy (podle fázového rozdílu skládaných kmitavých pohybů).

• Skládáme-li 2 harmonická kmitání různé frekvence, vzniká kmitání, které není harmonické, ale je periodické.

• Zvláštní případ: skládáme-li harmonická kmitání blízkých frekvencí, pak vznikají tzv. rázy.