MANOVA en Repeated Measures – Kernpunten

MANOVA: introductie en basisidee

• Doel
  • Multivariate uitbreiding van ANOVA: meerdere afhankelijke variabelen (Y’s) tegelijk analyseren.
  • Test of groepen/condities verschillen op een set van $p$ afhankelijke variabelen.
  • Houdt rekening met onderlinge correlaties tussen afhankelijke variabelen.
• Opzet­voorbeelden
  • One-way MANOVA:
  • Onafhankelijke variabele (factor): Opleidingsniveau (High School, College, Graduate).
  • Afhankelijke variabelen: Testscore & Jaar­inkomen.
  • Two-way MANOVA:
  • Factor 1: Opleidingsniveau.
  • Factor 2: Sterrenbeeld.
  • Afhankelijke variabelen: Testscore & Jaar­inkomen.
• Nulhypothesen
  • Univariate ANOVA: $H<em>0: \mu</em>1 = \mu<em>2 = \dots = \mu</em>k$
  • MANOVA: $H<em>0: \boldsymbol\mu</em>1 = \boldsymbol\mu<em>2 = \dots = \boldsymbol\mu</em>k$ (vectoriële gelijkheid)

MANOVA-assumpties (naast de standaard ANOVA-eisen)

• Lineaire relatie tussen afhankelijke variabelen
  • Controleren met scatterplot­matrix.
• Geen multicollineariteit
  • Pearson-correlaties mogen niet extreem hoog zijn (vuistregel r < .90).
• Gelijke variantie-covariantie­matrices
  • Box’ $M$-test, kritisch $p$-niveau < .001.

Univariate vs. multivariate toetsing

• Twee univariate ANOVA’s: verwerpen $H_0$ als één van beide Y’s buiten de rechthoek valt (onafhankelijkheids­aanname).
• Wanneer Y’s positief correleren ontstaat een ellips-vormige kritieke regio:
  • Multivariate toets verwerpt trager bij gelijke richtingsafwijkingen, sneller bij tegengestelde afwijkingen.
  • Voorbeeld: ‘Resultaat Q’ werd verworpen in univariate test, maar niet in MANOVA; ‘Resultaat P’ vice-versa.
• Voordeel MANOVA: beschermt tegen inflatie van Type-I-fout en gebruikt gezamenlijke patrooninformatie.

Waarom niet gewoon meerdere ANOVA’s?

• Type-I-fout inflatie door meervoudig toetsen.
  • MANOVA levert één omnibus- $p$-waarde.
• Controle voor onderlinge correlaties tussen Y’s: unieke variantie per afhankelijke variabele wordt geëvalueerd.
• Mogelijkheid om verschillen in patroon te detecteren zelfs als elke Y afzonderlijk niet significant is.

MANOVA vs. Discriminant Analyse (DA)

• Spiegelbeeld:
  • MANOVA → categorische predictor(s), kwantitatieve uitkomst(en).
  • DA → kwantitatieve predictor(en), categorische uitkomst.

Voorbeeld: Engelse & Wiskunde-scores (SPSS-bestand one-way-manova.sav)

• Stappenplan
  1. Data-inspectie & assumptiecheck.
  2. Uitvoeren MANOVA (SPSS GLM → Multivariate).
  3. Eventuele post-hoc analyses.
  4. Resultaten interpreteren & rapporteren.
• Assumptie­bevindingen
  • Lineair verband Eng. – Wisk. in School A & B; niet in C (overtreding geaccepteerd maar benoemd).
  • Geen univariate uitbijters (boxplots; >1.5 IQR).
  • Geen multicollineariteit: $r = .393, p = .002$.
• Box’ $M$-test: niet significant ⇒ gelijkheid variantie-covariantie aanvaard.
• Omnibus­resultaat
  • F(4,112)=17{.}675,\; p<.0005;\; \Lambda=.376;\; \eta^2_p=.387.
  • Betekenis: 38.7 % van de gecombineerde variantie in scores verklaard door School.
• Univariate follow-ups
  • Engels: F(2,57)=30{.}875, p<.001; \eta^2_p=.520.
  • Wiskunde: F(2,57)=14{.}295, p<.001; \eta^2_p=.334.
• Tukey-post-hoc
  • Engels: School A > B ( $p<.0005$ ) en A > C ( p<.0005 ); B ≈ C ( $p=.169$ ).
  • Wiskunde: School C < A ( p<.0005 ) en C < B ( $p=.001$ ).
• Effectgroottes
  • Populaire multivariate statistiek: Wilks’ Lambda $\Lambda = \frac{\det E}{\det(E+H)}$ (kleiner = groter effect).
  • Univariate effectgroottes:
  • $\eta^2 = \frac{SS<em>{effect}}{SS</em>{total}}$
  • $\eta^2<em>p = \frac{SS</em>{effect}}{SS<em>{effect}+SS</em>{error}}$.

Paradox Box’s M & Levene

• Krachtig (power) bij grote $N$, maar ongelijke varianten/covarianten vooral problematisch bij kleine $N$.
• Moeilijk om precies dán een overtreding vast te stellen waar die het meest telt.
• Veel ANOVA-uitbreidingen (contrasten, pair-wise) gelden eveneens voor MANOVA.

Repeated Measures (RM) ANOVA: basisidee

• Wanneer dezelfde kwantitatieve variabele herhaald wordt gemeten (tijd- of conditielijnen) binnen dezelfde proefpersonen.
• Voor­beeld­schema’s
  • 3 tijdronden bloeddruk (Time 1–3).
  • 3 taart­smaken geproefd door dezelfde personen.
• Verschil t.o.v. MANOVA
  • Zelfde schaal, meerdere meetmomenten → RM ANOVA.
  • Verschillende schalen → MANOVA.

Voordelen en nadelen RM-design

• Proefpersonen dienen als hun eigen controle; individuele verschillen weggefilterd → minder errorvariantie.
  • Vaak minder deelnemers nodig voor dezelfde power.
• Mogelijke carry-over & volgorde-effecten.
• Extra assumptie: Sphericity
  • Gelijke varianties van alle verschil­paren tussen herhaalde metingen.
  • Toets: Mauchly’s $\chi^2$.

Partitionering van variantie (visueel)

• Onafhankelijke ANOVA: $SS<em>{total}=SS</em>{between}+SS_{within}$.
• RM-ANOVA: $SS<em>{within}=SS</em>{subjects}+SS<em>{error}$ ⇒ kleiner $SS</em>{error}$ en dus groter $F$-waarde.
• Illustratie: slechts $8\%$ error in RM vs $92\%$ in independent design (voorbeeldslide).

Crossover-design (RM-variant)

• Twee groepen ontvangen condities in tegengestelde volgorde (A→B, B→A) met pre-/post­metingen.
• Minimaliseert volgorde-effecten en maakt directe behandeling-vergelijkingen.

Sphericity (ε-correctie)

• Wanneer overtreden → Type I-fout ↑.
• Correctie door vrijheidsgraden × $ε$ waar 0<ε≤1.
  • SPSS geeft Greenhouse-Geisser, Huynh-Feldt & Lower-bound.
  • Sterkere correctie ⇒ kleinere df ⇒ minder snel significant.

Voorbeeld RM-ANOVA: CRP-concentraties (6-maanden training)

• Situatie
  • 10 deelnemers, metingen: pre (0 mnd), mid (3 mnd), post (6 mnd).
  • Doel: effect van training op CRP (mg/L).
• Assumpties
  • Geen uitbijters (boxplot) & normaal verdeelde residuen (Shapiro-Wilk p>.05).
  • Sphericity geschonden: Mauchly $\chi^2(2)=6.270, p=.043$ ⇒ Greenhouse-Geisser $ε=.648$.
• Resultaat
  • F(1.298,11.663)=26.938, p<.001; \eta^2_p=.750.
  • CRP daalde:
  • Pre: $M=4.33$ → Mid: $M=3.94$ → Post: $M=3.65$.
• Bonferroni-gecorrigeerde pair-wise
  • Pre vs Mid: $\Delta=0.39$ mg/L, p<.001.
  • Pre vs Post: $\Delta=0.68$ mg/L, $p=.001$.
  • Mid vs Post: $p=.054$ (niet sig.).
• Rapportagevoorbeeld (volledige paragraaf zie transcript, slide 40).

Contrasten in RM-ANOVA

• Eenvoudige contrast (voorbeeld): $\mu<em>1=\mu</em>3 \Rightarrow \mu<em>3-\mu</em>1=0$.
• Complexe contrast (voorbeeld): $\mu<em>1=\tfrac12\mu</em>2+\tfrac12\mu<em>3 \Rightarrow \tfrac12\mu</em>2+\tfrac12\mu<em>3-\mu</em>1=0$.
• Contrasten kunnen a-priori (gepland) of post-hoc worden getest.

Twee-weg RM-ANOVA: CRP & Behandeling

• Opzet
  • 12 proefpersonen, twee condities: Controle vs Interventie (intensieve training), 3 tijdronden (0–1–2 weken).
  • Counterbalancing om volgorde-effecten te beperken.
• Resultaten (samenvatting SPSS-tabel)
  • Hoofdeffect Behandeling: $F(1,11)=16.745, p=.002$.
  • Hoofdeffect Tijd: F(≈25.6), p<.001.
  • Interactie Behandeling × Tijd: F(≈30.2), p<.001 ⇒ patroon over tijd verschilt per conditie.
• Interpretatie
  • Interventie vermindert CRP sneller/sterker dan controle; grafiek marginal means bevestigt divergentie.

Uitbreidingen & verdere richtingen

• Repeated Measures MANCOVA (covariaten toevoegen).
• Twee-weg (of hogere) RM-MANOVA’s met binnen- en tussen-subject factoren.
• Combinaties met contrastrijke designs, crossover-varianten enz.

Praktische implicaties & ethiek

• Multivariate methoden geven rijker beeld bij complexe uitkomsten (bv. onderwijs­prestaties, medische biomerkers).
• Correct omgaan met assumpties voorkomt misleidende conclusies (Type I-fout).
• Rapportage-standaarden (effectgroottes, CI’s, epsilon-correcties) bevorderen transparantie en reproduceerbaarheid.

Verdere studie

• Warner, hoofdstukken over MANOVA & Repeated Measures (oefeningen inbegrepen).
  • Matrixalgebra niet tentamen­stof.
• Formatieve quiz week 6.
• Werkgroep week 7 & responsiecollege (Q&A).