Drehmoment, Gleichgewicht & Kraftwandler

Drehmoment

Eine Kraft, die auf einen starren Körper wirkt, kann sowohl Translation als auch Rotation verursachen. Für die Drehbewegung ist nur der Kraftanteil relevant, dessen Wirkungslinie senkrecht zur Linie zwischen Drehachse und Angriffspunkt der Kraft steht.

Definition: Drehmoment $M = s \times F$ , wobei $s$ der senkrechte Abstand der Kraft $F$ von der Drehachse ist.
$M = s \cdot F \cdot \sin(\alpha)$
Hierbei bezeichnet α den Winkel zwischen der Kraftrichtung und der Verbindungslinie vom Drehzentrum zum Angriffspunkt der Kraft.
Einheit: Newtonmeter (Nm). 1 Nm ist das Drehmoment, das eine Kraft von 1 N in einem Abstand von 1 m erzeugt.

Kräftepaar

Ein Sonderfall ist ein Kräftepaar, bei dem zwei gleich große, entgegengesetzt wirkende Kräfte auf den gleichen Gegenstand wirken. Der Abstand der Wirkungslinien sei $l$ . Die resultierenden Drehmomente sind:

$M1 = \frac{1}{2} \cdot l \cdot F1$

$M2 = \frac{1}{2} \cdot l \cdot F2$

Das resultierende Drehmoment ist:

$M = M1 + M2 = l \cdot F$

Solche Drehmomente sind wichtig für Schrauben, Windeisen, Kreuzschlüssel usw.

Gleichgewicht

Ein um eine Achse drehbarer Körper ist im Gleichgewicht, wenn sich alle wirkenden Drehmomente ausgleichen.

Schwerpunkt

Der Schwerpunkt eines starren Körpers ist der Punkt, an dem sich alle Drehmomente aufgrund der Gewichtskraft aufheben.

$\sum{i=1}^{n} \vec{si} \times \vec{F_i} = 0$

$\vec{F_i}$ : Gewichtskräfte der einzelnen Massestücke.
$\vec{s_i}$ : Abstände vom Schwerpunkt.

Arten des Gleichgewichts

Stabiles Gleichgewicht: Der Körper kehrt nach einer kleinen Auslenkung in seine ursprüngliche Lage zurück.
Labiles Gleichgewicht: Der Körper kippt bei einer minimalen Auslenkung um.
Indifferentes Gleichgewicht: Der Körper ist in jeder Lage gleich stabil (z.B. Kugel).

Der Schwerpunkt eines frei drehbaren Körpers nimmt die tiefstmögliche Stelle ein, senkrecht unterhalb der Drehachse bzw. des Aufhängepunktes. Sind Schwerpunkt, Aufhänge- und Drehpunkt identisch, so befindet sich der Körper im indifferenten Gleichgewicht.

Schwerpunkt und Auflagefläche

Ein freistehender Körper kippt nicht, solange sich sein Schwerpunkt oberhalb der Auflagefläche befindet. Bei einer Auslenkung wird der Schwerpunkt zunächst angehoben. Überschreitet die Lotlinie vom Schwerpunkt die Grenze der Auflagefläche, kippt der Körper.

Kippmoment und Standmoment

Wirkt eine Kraft $F$ in der Höhe $h$ waagrecht auf den Körper, so entsteht ein Kippmoment $F \cdot h$ . Die Gewichtskraft $FG$ im Schwerpunkt erzeugt ein Standmoment $FG \cdot l$ , wobei $l$ der Abstand der Kippkante von der Wirkungslinie der Gewichtskraft ist.

Im Gleichgewichtsfall gilt:

$F \cdot h = F_G \cdot l$

Die zum Kippen nötige Kraft beträgt:

$F = \frac{F_G \cdot l}{h}$

Die Standfestigkeit ist umso größer, je geringer $h$ , je größer $F_G$ und je größer $l$ ist.

Trägheitsmoment

Bei Rotationsbewegungen ist die Winkelbeschleunigung $\alpha$ , die ein Körper durch ein äußeres Drehmoment $M$ erfährt, umgekehrt proportional zum Trägheitsmoment $J$ .

Translationsbewegungen: $F = m \cdot a$
Rotationsbewegungen: $M = J \cdot \alpha$

Das Trägheitsmoment $J$ hängt von der Lage der Drehachse und der räumlichen Verteilung der Masse ab. Massestücke, die weit von der Drehachse entfernt liegen, tragen stärker bei.

Punktmasse: $J = m \cdot r^2$ , wobei $m$ die Masse und $r$ der Radius der Kreisbahn ist.

Berechnung des Trägheitsmoments

Für einen beliebig geformten Körper setzt man ihn aus vielen kleinen Massestücken $mi$ zusammen, die im Abstand $ri$ von der Drehachse liegen. Das Trägheitsmoment ist dann:

$J = \sum{i=1}^{n} mi \cdot r_i^2$

Für regelmäßig geformte Körper gibt es Formelsammlungen. Das Trägheitsmoment hängt von der Wahl der Rotationsachse ab.

Experimentelle Bestimmung des Trägheitsmoments

Ein Objekt wird oberhalb seines Schwerpunkts frei drehbar aufgehängt und ausgelenkt. Die Schwingungsdauer $T$ wird gemessen. Das Trägheitsmoment um den Schwerpunkt ist dann:

$J = m \cdot a \cdot \left( \frac{T^2 \cdot g}{4 \cdot \pi^2 \cdot a} - 1 \right)$

$g = 9,81 \frac{m}{s^2}$ (Erdbeschleunigung)
$m$ : Masse des Objekts
$a$ : Abstand zwischen Schwerpunkt und Aufhängepunkt

Kraftwandler und Getriebe

Einfache Einrichtungen wie Hebel, Rollen, Flaschenzüge und schiefe Ebenen können die Richtung und/oder den Betrag von Kräften ändern. In komplexeren Maschinen werden diese Techniken oft kombiniert. Getriebe (Drehmomentwandler) ändern die Drehmomente, da die rotierenden Objekte unterschiedliche Radien haben.

Hebel

Ein Hebel ist ein starrer Körper, der sich um eine feste Achse drehen lässt. Er wird verwendet, um mit einer kleinen Kraft ein großes Gewicht zu heben. Der Abstand der Wirkungslinie der Kraft zur Drehachse ist der Kraftarm. Für zwei Kräfte $F1$ und $F2$ gilt im Gleichgewicht:

$\vec{s1} \times \vec{F1} = \vec{s2} \times \vec{F2}$

(Hebelgesetz)

Zweiseitige Hebel

Die Angriffspunkte der Kräfte liegen auf verschiedenen Seiten der Drehachse. Im Gleichgewicht müssen die Drehmomente auf beiden Seiten gleich sein.

Einseitige Hebel

Die Drehachse liegt am Rand der Hebelstange, so dass alle Angriffspunkte auf der gleichen Seite liegen. Die Summe der linksdrehenden Drehmomente muss gleich der Summe der rechtsdrehenden Drehmomente sein. Die Kräfte müssen in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Wellrad und Kurbel

Ein Wellrad besteht aus zwei verschieden großen, verbundenen Rädern auf einer Achse. Es ist ein Hebel, für den das Hebelgesetz gilt:

$\vec{s1} \times \vec{F1} = \vec{s2} \times \vec{F2}$

Die Kraftverstärkung ist gleich dem Verhältnis der Radien. Eine Kurbel ist eine einzelne Speiche eines Wellrades.

Flaschenzüge und Rollen

Feste Rolle

Eine feste Rolle (Umlenkrolle) ändert die Richtung einer Kraft, aber nicht ihren Betrag. Sie ermöglicht es, die eigene Gewichtskraft als Zugkraft zu nutzen oder einen günstigeren Standort einzunehmen.

Lose Rolle

Eine lose Rolle ändert den Betrag der Kraft, aber nicht die Richtung. Sie halbiert die nötige Zugkraft (bei vernachlässigbarem Rollengewicht).

Schiefe Ebenen

Auf einer schiefen Ebene wird ein Körper durch die Hangabtriebskraft $FH$ hangabwärts beschleunigt. Die Gewichtskraft $FG$ wird in Normalkraft $F_N$ (senkrecht zur Ebene) und Hangabtriebskraft zerlegt.

Hangabtriebskraft: $FH = FG \cdot \sin(\alpha)$ , wobei $\alpha$ der Winkel der schiefen Ebene ist.
Normalkraft: $FN = FG \cdot \cos(\alpha)$

Der Zusammenhang zwischen Hangabtriebskraft und Gewichtskraft ist:

$\frac{FH}{FG} = \frac{h}{l}$

Je länger die schiefe Ebene ist, desto kleiner ist die Hangabtriebskraft. Daher werden Straßen in Serpentinen angelegt.

Winkelberechnung

Der Winkel $\alpha$ kann über das Verhältnis von Höhe $h$ zu Breite $b$ berechnet werden:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{b} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{h}{b}\right)$

Schiefe Ebenen mit Reibung

Die Reibungskraft $F_R$ wirkt der Hangabtriebskraft entgegen:

$FR = \mu \cdot FN = \mu \cdot F_G \cdot \cos(\alpha)$

$\mu$ : Reibungskoeffizient

Ein Körper gleitet, wenn die Hangabtriebskraft die Reibungskraft übersteigt.

Für die Haftreibung gilt:

$\mu_H = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \tan(\alpha)$

Der maximale Böschungswinkel, ab dem ein Objekt zu rutschen beginnt, ist:

$\alpha{max} = \arctan(\muH)$

Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Hangabtriebskraft gleich der Gleitreibungskraft.