08_-_suites_et_series_de_fonctions_cours_complet

Chapitre 08 : Suites et séries de fonctions - Cours complet

1. Suites de fonctions : convergence simple et uniforme, continuité

• Définitions

  • Définition 1.1 : Suite de fonctions

    • Application ( u ) de ( \mathbb{N} ) (ou d'une partie de ( \mathbb{N} )) dans l'ensemble ( F(I,K) ) des fonctions de ( I ) dans ( K ).

    • Notation de la suite : ( (u_n) ) ou ( (u_n)_{n \geq n_0} ) ou plus simplement ( (u_n) ).

  • Définition 1.2 : Convergence simple d'une suite de fonctions

    • Convergence simple sur ( I ) si ( \forall t \in I, (u_n(t)) ) converge dans ( K ).

  • Définition 1.3 : Limite simple d'une suite de fonctions

    • Si ( (u_n) ) converge simplement sur ( I ), on a ( \forall t \in I, u(t) = \lim_{n \to +\infty} u_n(t) ).

    • La fonction ( u ) est appelée limite simple de la suite ( (u_n) ).

  • Définition 1.4 : Convergence uniforme

    • Convergence uniforme sur ( I ) si ( \exists u ) tel que :

      • Pour tout entier ( n ), ( |u_n - u| ) est borné sur ( I ).

      • ( \limsup_{n \to +\infty} \sup_{t \in I} |u_n(t) - u(t)| = 0 ).

    • La fonction ( u ) est la limite uniforme.

2. Théorèmes sur les suites de fonctions

• Théorème 1.1 :

  • La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

• Théorème 1.2 :

  • Si ( u_n ) est continue en ( a ) et ( (u_n) ) converge uniformément vers ( u ), alors ( u ) est continue en ( a ).

• Théorème 1.3 :

  • Si ( (u_n) ) est continue et converge uniformément sur tout segment ([\alpha, \beta] \subset I), alors ( u ) est continue sur ( I ).

• Théorème 1.4 :

  • Si ( I ) est ouvert en ( a ), convergence uniforme de ( (u_n) ) vers ( u ) et limite ( L_n ) finie, alors ( u ) admet ( L ) comme limite en ( a ).

3. Séries de fonctions : convergence simple, uniforme et normale

• Définitions

  • Définition 2.1 : Série de fonctions

    • ( (u_n) ) comme série de fonctions avec sommes partielles ( S_n(x) = \sum_{k=0}^{n} u_k(x) ).

  • Définition 2.2 : Convergence simple

    • La série converge simplement sur ( I ) si la suite ( (S_n) ) converge simplement sur ( I ).

  • Définition 2.3 : Convergence uniforme

    • La série converge uniformément sur ( I ) si ( (S_n) ) converge uniformément sur ( I ).

  • Définition 2.4 : Convergence normale

    • La série converge normalement si :

      • Pour tout ( n ), ( u_n ) est bornée sur ( I ).

      • La série( \sum \sup_{x \in I} |u_n(x)| ) converge.

4. Théorèmes sur les séries de fonctions

• Théorème 2.1 :

  • Liens entre les convergences : convergence normale implique convergence uniforme qui implique convergence simple.

• Théorème 2.2 :

  • Si ( (u_n) ) converge uniformément, alors la somme de la série est continue.

• Théorème 2.3 :

  • Convergence uniforme sur tout segment implique continuité de la somme sur ( I ).

• Théorème 2.4 :

  • Convergence uniforme ou normale sur ( I ) et limite finie de ( u_n ) en ( a ) implique que la somme converge vers cette limite.

5. Liens avec l'intégration ou la dérivation des fonctions

• Théorème 3.1 : Convergence uniforme et intégrales

  • Convergence uniforme de ( (u_n) ) continue sur ( [a,b] ) implique ( \int_{a}^{b} u_n \to \int_{a}^{b} u ).

• Théorème 3.2 : Convergence des séries et intégrales

  • Convergence uniforme ou normale implique ( \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} u_n \to \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} u_n ).

• Théorème 3.3 : ( C^1 ) de la limite d'une suite

  • Si la suite converge, alors la limite est ( C^1 ).

• Théorème 3.4 : ( C^k ) pour les suites de fonctions

  • Convergence simple des dérivées pour ( i < k ) à ( u^{(k)} ) uniformément mène à une fonction ( C^k ).

• Théorème 3.5 et 3.6 : ( C^1 ) et ( C^k ) pour les séries de fonctions

  • Conditions similaires aux précédentes aboutissent à une somme de classe ( C^1 ) et ( C^k ) respectivement.