Inecuaciones lineales y programación lineal

INTRODUCCIÓN A LAS INECUACIONES LINEALES EN ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN

• En el estudio de la Matemática aplicada a la economía y administración, se reconoce que la realidad raramente se ajusta a igualdades perfectas.
• Existen diversos escenarios que requieren modelar restricciones diferentes a la igualdad, tales como:
  • Limitación de recursos económicos.
  • Exigencias externas de mínimos a cumplir.
  • Imposiciones de demandas o de ofertas.
• Para reflejar estas situaciones de manera algebraica, se utiliza el concepto de inecuaciones.
• La unidad aborda desde la idea básica de desigualdad hasta aplicaciones complejas como la programación lineal.
• Los objetivos específicos de este estudio incluyen:
  • Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
  • Adquirir habilidades para la resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales identificando la región solución.
  • Transferir conocimientos de ecuaciones e inecuaciones a problemas básicos de programación lineal con dos incógnitas.

DESIGUALDADES E INECUACIONES

• Las relaciones de orden o de desigualdad entre números reales se basan en la posición natural en la recta numérica.
• Definiciones de orden:
  • Si un número $a$ está a la izquierda de $b$ en la recta numérica, entonces $a < b$.
  • Si un número $a$ está a la derecha de $b$ en la recta numérica, entonces $a > b$.
  • Si $a$ y $b$ ocupan la misma posición, entonces $a = b$.
• Casos de desigualdades en sentido amplio y estricto:
  • $a \leq b$: $a$ es menor o igual que $b$.
  • $a < b$: $a$ es menor que $b$.
  • $a \geq b$: $a$ es mayor o igual que $b$.
  • $a > b$: $a$ es mayor que $b$.

Propiedades fundamentales de las desigualdades

• Propiedad 1 (Suma): El sentido de la desigualdad no cambia si se suma o resta un mismo número a ambos miembros.
  • Ejemplo: Si $2 < 6$, entonces $2 + 3 < 6 + 3 \Rightarrow 5 < 9$.
  • Ejemplo con negativo: Si $2 < 6$, entonces $2 + (-3) < 6 + (-3) \Rightarrow -1 < 3$.
• Propiedad 2 (Multiplicación por número positivo): El sentido de la desigualdad no cambia si ambos miembros se multiplican por un mismo número positivo.
  • Ejemplo: Si $2 < 6$, entonces $3 \times 2 \leq 3 \times 6 \Rightarrow 6 \leq 18$.
• Propiedad 3 (Multiplicación por número negativo): El sentido de la desigualdad cambia (se invierte) si ambos miembros se multiplican por un mismo número negativo.
  • Ejemplo: Si $2 < 6$, entonces $(-3) \times 2 > (-3) \times 6 \Rightarrow -6 > -18$.

Definición formal de inecuación

• Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para algunos valores de sus letras, denominadas incógnitas.
• El objetivo es encontrar el conjunto de valores que verifican la desigualdad, conocido como conjunto solución.
• Ejemplos de inecuaciones:
  • $-\frac{x}{2} + 3 \leq 5$
  • $2x - y < 3$
  • $x^2 - x > 2$
  • $2x - 4y \geq 2 + 3x$

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

• Se define como una desigualdad entre expresiones algebraicas con una única variable elevada a la potencia uno.
• Estructuras básicas (donde $a \neq 0$):
  • $ax + b \leq 0$
  • $ax + b < 0$
  • $ax + b \geq 0$
  • $ax + b > 0$

Formas de expresar la solución

• La solución de una inecuación lineal con una incógnita se puede presentar de tres maneras:
  1. Como conjunto: $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}$.
  2. Gráficamente: Marcando sobre la recta real. Se usa un paréntesis $)$ para indicar que el extremo no pertenece al conjunto y un corchete $]$ para indicar que sí pertenece.
  3. Como intervalo: Utilizando notación de paréntesis o corchetes, por ejemplo $S = (-\infty, 2)$.

Ejemplos de resolución

• Ejemplo 1 ($x + 3 < 5$):
  • Se resta 3 en ambos miembros: $x + 3 - 3 < 5 - 3 \Rightarrow x < 2$.
  • Conjunto: $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}$.
  • Intervalo: $S = (-\infty, 2)$.
• Ejemplo 2 ($-2x + 3 \leq 7$):
  • Se resta 3: $-2x \leq 4$.
  • Se multiplica por $(-\frac{1}{2})$, invirtiendo la desigualdad por ser factor negativo: $x \geq -2$.
  • Conjunto: $S = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -2\}$.
  • Intervalo: $S = [-2, \infty)$.

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

• Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones cuya solución es el conjunto de puntos que verifican simultáneamente todas las expresiones.
• La solución final es la intersección de los conjuntos solución individuales de cada inecuación.
• Si no existen valores que verifiquen todas las inecuaciones a la vez, el sistema se denomina incompatible o inconsistente ($S = \emptyset$).

Procedimiento de resolución

1. Numerar cada inecuación del sistema.
2. Obtener la solución individual de cada una.
3. Graficar cada solución en una misma recta real.
4. Identificar la región común (donde se superponen todos los rayados/gráficos).

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

• Son expresiones que pueden llevarse a la forma:
  • $ax + by + c \leq 0, ax + by + c < 0, ax + by + c \geq 0, ax + by + c > 0$ ($a, b \neq 0$).
• La solución está conformada por pares ordenados $(x, y)$.

Representación gráfica y pasos de resolución

1. Despejar la variable $y$: Esto facilita la interpretación gráfico-analítica.
2. Trazar la recta de referencia: Se obtiene igualando la expresión (reemplazando el signo de desigualdad por $=$). Para graficar basta con dos puntos, usualmente las intersecciones con los ejes ($x=0$ y $y=0$).
3. Determinar el semiplano solución:
   • La recta divide al plano en dos semiplanos.
   • Técnica del punto de ensayo: Se elige un punto ajeno a la recta (frecuentemente $(0,0)$). Si el punto satisface la inecuación, el semiplano que lo contiene es la solución; de lo contrario, es el semiplano opuesto.
   • Regla práctica: Si $y \leq ax + b$, la solución son los puntos por debajo de la recta. Si $y \geq ax + b$, son los puntos por encima.
4. Tipo de línea:
   • Desigualdad estricta ($<, >$): Se usa una línea discontinua (la recta no pertenece a la solución).
   • Desigualdad con igualdad ($\leq, \geq$): Se usa una línea sólida (la recta pertenece a la solución).

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

• La solución es la región del plano que satisface simultáneamente todas las restricciones.
• Gráficamente corresponde a la intersección de los semiplanos.
• En problemas prácticos, es común que una región esté contenida dentro de otra o que se formen polígonos cerrados o abiertos.
• Se recomienda indicar la dirección de cada solución con flechas antes de realizar el sombreado final de la zona común.

APLICACIÓN: OPTIMIZACIÓN LINEAL (PROGRAMACIÓN LINEAL)

• La programación lineal busca encontrar el valor de variables de decisión, no negativas, que maximicen o minimicen una función lineal sujeta a restricciones lineales.

Elementos de un problema de programación lineal

• Función Objetivo ($Z$): Función lineal que se desea optimizar (ej. beneficios, ingresos, costos). Estructura: $\max(Z) = C_1x_1 + C_2x_2 + \dots + C_nx_n$.
• Variables de Decisión ($x_i$): Las incógnitas del problema.
• Restricciones: Ecuaciones o inecuaciones lineales que limitan los recursos.
• Hipótesis de No Negatividad: $(x_i \geq 0)$. Gráficamente, esto sitúa la solución en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Procedimiento de resolución gráfica

1. Plantear la función objetivo y el sistema de restricciones.
2. Graficar las rectas de restricción e identificar la Región Factible (donde se cumplen todas las condiciones).
3. Identificar los Vértices de la región factible.
4. Inspección de vértices: Evaluar la función objetivo en cada vértice.
5. Teorema: Si existe un óptimo, este se encontrará en la frontera de la región factible, específicamente en un vértice.

Caso de estudio 1: Compañía Aérea

• Datos:
  • Capacidad total: 5000 plazas máximo de tipos $T$ (Turista) y $P$ (Primera).
  • Ganancia $T$: 30 euros; Ganancia $P$: 40 euros.
  • Límites: $T \leq 4500$. $P \leq \frac{1}{3} T$.
• Modelo:
  • $\max(Z) = 30x_1 + 40x_2$
  • Sujeto a:
    • $x_1 + x_2 \leq 5000$
    • $x_1 \leq 4500$
    • $x_2 \leq \frac{1}{3} x_1$
    • $x_1, x_2 \geq 0$
• Vértices y Evaluación:
  • $A(0, 0) \Rightarrow Z = 0$
  • $B(3750, 1250) \Rightarrow Z = 162500$
  • $C(4500, 500) \Rightarrow Z = 155500$
  • $D(4500, 0) \Rightarrow Z = 135000$
• Resultado: El óptimo se alcanza ofreciendo 3750 plazas Turista y 1250 de Primera.

Caso de estudio 2: Producción de Juguetes

• Datos:
  • Juguete Clásico: 10 h moldeo, 6 h maquinaria, beneficio $8.
  • Juguete Moda: 5 h moldeo, 7 h maquinaria, beneficio $6.
  • Disponibilidad: 40 h moldeo, 32 h maquinaria.
• Modelo:
  • $\max(Z) = 8x_1 + 6x_2$
  • Sujeto a:
    • $10x_1 + 5x_2 \leq 40$
    • $6x_1 + 7x_2 \leq 32$
    • $x_1, x_2 \geq 0$
• Resultado: El vértice de intersección de las restricciones es $(30, 20)$ considerando una escala diferente en el ejercicio, resultando en un $Z = 360$.

RESUMEN DE ACTIVIDADES Y RESPUESTAS DETERMINANTES

• Significado de no negatividad: Gráficamente implica trabajar exclusivamente en el primer cuadrante.
• Intersección nula: Cuando no hay puntos comunes, el sistema es inconsistente y no hay solución.
• Existencia de múltiples óptimos: Si dos vértices dan el mismo valor máximo de $Z$, todos los puntos del segmento que los une son también óptimos.