Examen National de Mathématiques : Étude Exhaustive des Nombres Complexes

Le problème se situe dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$ .
On définit quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ par leurs affixes respectives : * $a = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$ * $b = 1 + \sqrt{2} + i$ * $c = \bar{b} = 1 + \sqrt{2} - i$ * $d = 2i$

Calcul du module de a : * $|a| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ .
Détermination de l'argument de a : * On factorise $a$ par son module : $a = 2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ . * On cherche $\theta$ tel que $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . * La valeur principale de l'argument est $\theta = \frac{\pi}{4}$ .
Forme trigonométrique finale : * $a = 2 \left( \cos\left( \frac{\pi}{4} \right) + i\sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$ .

Vérification de l'égalité $b - d = c$ : * Partant de $b$ et $d$ : $b - d = (1 + \sqrt{2} + i) - 2i = 1 + \sqrt{2} - i$ . * Or, par définition, $c$ est le conjugué de $b$ ( $c = \bar{b}$ ). Puisque $b = (1+\sqrt{2}) + i$ , alors $c = 1+\sqrt{2} - i$ . * L'égalité $b - d = c$ est donc bien vérifiée.
Démonstration de $(\sqrt{2}+1)(b-a) = b-d$ : * Calcul de $b - a$ : $b - a = (1 + \sqrt{2} + i) - (\sqrt{2} + i\sqrt{2}) = 1 + i(1 - \sqrt{2})$ . * Développement du produit : $(\sqrt{2} + 1)(b - a) = (\sqrt{2} + 1) [1 + i(1 - \sqrt{2})] = (\sqrt{2} + 1) + i(\sqrt{2} + 1)(1 - \sqrt{2})$ . * Simplification de la partie imaginaire : $(\sqrt{2} + 1)(1 - \sqrt{2}) = (\sqrt{2} \times 1) - (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) + (1 \times 1) - (1 \times \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 2 + 1 - \sqrt{2} = -1$ . * On obtient donc $(\sqrt{2} + 1)(b - a) = 1 + \sqrt{2} - i$ . * Comme $b - d = 1 + \sqrt{2} - i$ , la relation est prouvée.
Déduction sur l'alignement des points A, B et D : * L'égalité $b - d = (\sqrt{2} + 1)(b - a)$ implique que le rapport $\frac{b - d}{b - a} = \sqrt{2} + 1$ . * Puisque $\sqrt{2} + 1$ est un nombre réel, les vecteurs $\vec{BD}$ et $\vec{BA}$ sont colinéaires. * Par conséquent, les points $A$ , $B$ et $D$ sont alignés.

Vérification de $ac = 2b$ : * Calcul direct : $ac = (\sqrt{2} + i\sqrt{2})(1 + \sqrt{2} - i)$ . * Développement : $ac = \sqrt{2} + 2 - i\sqrt{2} + i\sqrt{2} + 2i - i^2\sqrt{2}$ . * Simplification ( $i^2 = -1$ ) : $ac = (\sqrt{2} + 2 + \sqrt{2}) + 2i = 2\sqrt{2} + 2 + 2i = 2(1 + \sqrt{2} + i)$ . * On reconnaît l'expression de $b$ , d'où $ac = 2b$ .
Étude de l'argument de b : * De $ac = 2b$ , on déduit $\arg(ac) \equiv \arg(2b) \pmod{2\pi}$ . * Propriétés des arguments : $\arg(a) + \arg(c) \equiv \arg(2) + \arg(b) \pmod{2\pi}$ . * Comme $2$ est un réel positif, $\arg(2) = 0$ . Comme $c = \bar{b}$ , $\arg(c) \equiv -\arg(b) \pmod{2\pi}$ . * L'équation devient : $\arg(a) - \arg(b) \equiv \arg(b) \pmod{2\pi}$ , soit $2\arg(b) \equiv \arg(a) \pmod{2\pi}$ . * Comme $\arg(a) \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$ , on en conclut que $2\arg(b) \equiv \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$ .

Définition de la rotation R : * Centre : Origine $O$ . * Angle : $\frac{\pi}{4}$ . * Formule de transformation : $z' = e^{i\frac{\pi}{4}}z$ .
Lien entre l'expression de la rotation et l'affixe a : * On a montré que $a = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$ , donc $e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}a$ . * L'écriture complexe de la rotation est donc : $z' = \frac{1}{2}az$ .
Images des points C et A par R : * Pour C : L'affixe de l'image est $z'_C = \frac{1}{2}ac$ . D'après la question 3a ( $ac = 2b$ ), $z'_C = \frac{1}{2}(2b) = b$ . Donc $R(C) = B$ . * Pour A : L'affixe de l'image est $z'_A = \frac{1}{2}a^2$ . * Calcul de $a^2$ : $a^2 = (\sqrt{2} + i\sqrt{2})^2 = 2 + 2(2i) - 2 = 4i$ . * Ainsi, $z'_A = \frac{1}{2}(4i) = 2i$ , ce qui correspond à l'affixe $d$ . Donc $R(A) = D$ .

Rapport de distance et d'angle : * On doit montrer que $\frac{b-a}{c-a} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}a$ . * En utilisant cette relation, on déduit la mesure de l'angle entre les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ . * $(\vec{AC}, \vec{AB}) \equiv \arg\left( \frac{b-a}{c-a} \right) \pmod{2\pi}$ . * $(\vec{AC}, \vec{AB}) \equiv \arg\left( \frac{\sqrt{2}-1}{2} a \right) \pmod{2\pi}$ . * Puisque $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ est un nombre réel strictement positif, son argument est $0$ . * Ainsi, $(\vec{AC}, \vec{AB}) \equiv \arg(a) \pmod{2\pi} = \frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$ .