Misure di Associazione e Analisi Statistica

Analisi dell’Associazione tra Variabili Quantitative

L'analisi dell’associazione tra variabili quantitative si fonda sul concetto di co-relazione. In questa fase, le variabili vengono poste sullo stesso piano, valutando reciprocamente cosa accada a una variabile all'aumentare o al diminuire dell'altra. In questo contesto, non viene ancora definito un modello causale, ma si osserva esclusivamente il tipo di relazione esistente. L'analisi di correlazione si focalizza specificamente sulla relazione di tipo lineare.

Per valutare tale relazione si utilizzano due strumenti principali:

Rappresentazione grafica: Il diagramma di dispersione (scatter plot).
Misure descrittive: Coefficienti numerici.

Rappresentazione Grafica: Lo Scatter Plot

Il diagramma di dispersione permette di visualizzare i punteggi di due variabili quantitative, $X$ e $Y$, sui rispettivi assi. Analizzando la disposizione dei punti, è possibile descrivere l'associazione:

Associazione Positiva: All'aumentare di $X$, aumenta anche $Y$. Nel grafico, i punti tendono a disporsi lungo una retta con pendenza positiva.
Associazione Inversa (Negativa): All'aumentare di $X$, $Y$ diminuisce.
Assenza di Associazione: I punti appaiono come una “nuvola” sparsa senza una direzione definita.

Un esempio riportato riguarda un test con associazione positiva evidente, dove è possibile tracciare una retta che attraversa i punti campionari.

Covarianza

La covarianza è una misura descrittiva che quantifica la relazione tra due variabili quantitative. Viene definita come la media dei prodotti degli scarti delle variabili dalle rispettive medie.

La formula generale è: $\text{Cov}(X,Y) = \frac{\sum (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y)}{n}$ (Si utilizza $n-1$ nel caso di dati campionari).

Interpretazione tramite Quadranti

Dividendo lo scatter plot in quattro quadranti basati sui valori medi di $X$ e $Y$:

1° Quadrante: Valori di $X$ e $Y$ entrambi minori delle medie. Gli scarti sono negativi per entrambi. Il prodotto degli scarti è positivo ($- \times - = +$).
3° Quadrante: Valori di $X$ e $Y$ entrambi superiori alle medie. Gli scarti sono positivi. Il prodotto è positivo ($+ \times + = +$).
2° e 4° Quadrante: Gli scarti hanno segni opposti (uno positivo, l'altro negativo). Il prodotto degli scarti è negativo.

Segno della Covarianza:

Covarianza Positiva: $X$ e $Y$ sono concordi (la relazione è positiva).
Covarianza Negativa: $X$ e $Y$ non sono concordi (la relazione è inversa).
Covarianza Nulla: L'andamento degli scarti è indipendente. A differenza della varianza (sempre positiva), nella covarianza il segno è l'elemento fondamentale.

Coefficiente di Correlazione ( $r$ )

Il coefficiente di correlazione di Pearson è il rapporto tra la covarianza e il prodotto delle deviazioni standard di $X$ e $Y$. Questo indice normalizza la covarianza, rendendola indipendente dall'unità di misura.

Il valore di $r$ è compreso nell'intervallo: $-1 \leq r \leq 1$

$r = 1$ : Perfetta correlazione lineare positiva.
$r = -1$ : Perfetta correlazione lineare negativa.
$r = 0$ : Assenza di relazione lineare.

Esempi di Interpretazione

$r=0,99$ : Indica una forte linearità con punti molto vicini alla retta.
$r=0,22$ : Indica una bassa relazione lineare positiva con punti molto sparsi.
$r=0,13$ : Può trarre in inganno. Sebbene il valore sia vicino a zero (suggerendo assenza di relazione), la rappresentazione grafica potrebbe mostrare una relazione quadratica perfetta. In questo caso, il coefficiente di correlazione lineare non è adatto perché la relazione non è una retta.

Nota per l'esame: È fondamentale partire sempre dalla rappresentazione grafica prima di interpretare $r$ , per verificare se l'associazione sia effettivamente lineare o di altro tipo (logaritmica, esponenziale, ecc.).

Modello di Regressione Lineare

A differenza della correlazione, l'analisi di regressione accerta una specifica forma della relazione lineare per prevedere o stimare il valore di una variabile dipendente ( $Y$ ) in funzione di una variabile indipendente ( $X$ ). Qui le variabili non sono più sullo stesso piano e si stabilisce un rapporto di causalità.

Caratteristiche principali:

Variabile Dipendente ( $Y$ ): Quella che si vuole spiegare (es. Colesterolo).
Variabile Indipendente ( $X$ ): Quella che spiega (es. Peso). I valori di $X$ sono considerati fissi con errore trascurabile.

Metodo dei Minimi Quadrati

Per trovare la retta migliore ( $y = \alpha + \beta x$ ), si utilizza il metodo dei minimi quadrati, che minimizza la somma dei quadrati degli scarti tra i valori osservati e i valori stimati dalla retta. $\sum (Y_{osservato} - Y_{predetto})^2$

Componenti della retta:

$\beta$ (Coefficiente di regressione/Pendenza): Rappresenta la variazione di $Y$ per un incremento unitario di $X$ . Si calcola come: $\beta = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\text{Var}(X)}$
$\alpha$ (Intercetta): Valore atteso di $Y$ quando $X = 0$ . In ambito clinico spesso non ha significato pratico se zero non è un valore plausibile per $X$. Si calcola come: $\alpha = \bar{Y} - \beta \bar{X}$

Test d'Ipotesi nella Regressione

Nel modello di regressione, l'assenza di associazione è indicata da $\beta = 0$ . Se la covarianza è nulla, allora $\beta$ sarà zero e la retta sarà orizzontale, indicando che il miglior stimatore per $Y$ è la sua media $\bar{Y}$ , indipendentemente da $X$. L'ipotesi nulla è $H_0: \beta = 0$ .

Variabili Categoriche nella Regressione

Quando la variabile indipendente $X$ è qualitativa (es. pazienti trattati vs non trattati), si utilizzano le variabili indicatrici (dummy variables).

Si inseriscono nel modello $k-1$ variabili per $k$ modalità.
Una categoria viene scelta come categoria di riferimento.
$\alpha$ rappresenta il valore atteso di $Y$ nella categoria di riferimento.
$\beta$ rappresenta la differenza tra il valore atteso della categoria analizzata e quello della categoria di riferimento.

In una regressione multipla, i coefficienti vanno interpretati come l'effetto della variabile "a parità delle altre variabili esplicative" (es. l'effetto del trattamento sul colesterolo al netto del peso corporeo).

Coefficiente di Determinazione ( $R^2$ )

L' $R^2$ valuta quanto il modello (la variabile $X$) spieghi bene l'andamento della variabile $Y$. È il quadrato del coefficiente di correlazione ( $r^2$ ) ed è dato dal rapporto tra la varianza spiegata dal modello e la varianza totale di $Y$.

$R^2 = 0$ : $X$ non spiega affatto $Y$.
$R^2 = 1$ : $X$ spiega perfettamente $Y$. Esso misura l'adattamento (fitting) del modello ai dati.

Analisi dell’Associazione tra Variabili Categoriali

In clinica, le variabili categoriali quantificano fenomeni come malattie o decessi. Per confrontare gruppi diversi, si utilizzano:

Proporzioni: Comprese tra 0 e 1 (0-100%). Il numeratore è incluso nel denominatore: $\frac{a}{a+b}$ .
Rapporti: Relazione tra due quantità indipendenti: $\frac{a}{b}$ (es. rapporto maschi/femmine).
Tassi: Includono la variabile tempo: $\frac{a}{(a+b) \times \text{tempo}}$ .

Misure di Frequenza

Prevalenza: Malattia intesa come stato in un dato istante (Casi totali / Popolazione totale).
Incidenza: Malattia come nuovo evento in un intervallo di tempo (Nuovi casi / Popolazione a rischio).

Studi Clinici e Misure di Associazione

Si distinguono due tipi di studi osservazionali:

Studio Prospettico (di Coorte): Si parte dall'esposizione (esposti vs non esposti) e si osserva l'insorgenza della malattia nel tempo.
Studio Retrospettivo (Caso-Controllo): Si parte dalla risposta (malati vs sani) e si indaga l'esposizione passata.

Rischio Relativo (RR)

Utilizzato negli studi di coorte. È il rapporto tra il rischio negli esposti e il rischio nei non esposti.

$RR = 1$ : Nessuna associazione.
$RR > 1$ : Associazione positiva (fattore di rischio).
$0 < RR < 1$ : Associazione negativa (fattore protettivo).

Esempio numerico: Studio su 455 soggetti (238 esposti, 217 non esposti).

$RR = 1,11$ .
Differenza di rischio: $0,009$ .
Intervallo di Confidenza (IC): $[0,62; 2,02]$ .
$p-value = 0,72$ . Conclusione: Poiché l'IC contiene il valore 1 e il $p > 0,05$, non si può rifiutare l'ipotesi nulla di assenza di associazione.

Odds Ratio (OR)

L'Odds Ratio è una misura trasformata della probabilità utilizzata soprattutto negli studi retrospettivi. L'Odds è il rapporto tra la probabilità che un evento accada ( $p$ ) e la probabilità che non accada ( $1-p$ ). $\text{Odds} = \frac{p}{1-p}$

$OR = 1$ : Associazione nulla.
$OR > 1$ : Associazione positiva (quota maggiore di malati tra gli esposti).
$0 < OR < 1$ : Associazione negativa.

Esempio Fumo e Infarto:

$OR = 3,82$ : La quota di infarti tra i fumatori è 3,8 volte superiore rispetto ai non fumatori.
IC: $[2,8; 5,23]$ .
$p = 0,001$ : Evidenza statistica molto forte della relazione.

Differenza tra RR e OR: L'OR e il RR tendono a coincidere solo quando la malattia è rara. Quando l'evento è comune, i due valori divergono significativamente.