Relative Numbers and Addition Rules

Définition et propriétés des nombres relatifs Un nombre relatif est défini comme un nombre qui porte un signe. Les nombres relatifs sont largement catégorisés en nombres positifs et nombres négatifs. Les nombres positifs sont définis comme des nombres supérieurs ou égaux à $0$. Les nombres négatifs sont définis comme des nombres strictement inférieurs ou égaux à $0$. Dans les applications pratiques, les nombres relatifs servent à représenter des grandeurs physiques ou des concepts possédant deux directions ou sens opposés. Les exemples courants du monde réel incluent les gains et pertes financiers, les mouvements physiques tels qu'une montée (déplacement vers le haut) par opposition à une descente (déplacement vers le bas), et les mesures de température enregistrées au-dessus de zéro degré par opposition à celles en dessous de zéro degré. Dans le programme officiel, comme la Fiche n° 1 du Lycée Pasteur (2020), la maîtrise des propriétés et des opérations élémentaires sur les nombres relatifs constitue le socle des calculs algébriques ultérieurs. ### Addition de nombres relatifs de même signe Lors de l'addition de deux nombres relatifs qui partagent le même signe, la somme obtenue obéit à deux principes fondamentaux. Premièrement, le signe de la somme est identique au signe commun partagé par les deux nombres initiaux. Deuxièmement, pour déterminer la distance à zéro (la valeur absolue) de la somme, on calcule la somme des distances à zéro individuelles des deux nombres. Afin de respecter la syntaxe mathématique standard et d'éviter que deux symboles d'opération ou de signe consécutifs ne se suivent, des parenthèses doivent être utilisées autour des termes négatifs (par exemple, en écrivant $-3 + (-5)$ plutôt que $-3 + -5$). Considérons l'exemple illustratif du calcul de la somme $-3 + (-5)$. Dans ce calcul, $-3$ et $-5$ sont tous deux des nombres négatifs. Comme les deux termes partagent le même signe négatif, leur somme est nécessairement négative. Les distances individuelles à zéro de ces termes sont $3$ et $5$. L'addition de ces distances donne $3 + 5 = 8$. La combinaison du signe négatif avec cette valeur donne la somme finale évaluée : $-3 + (-5) = -8$. ### Exemples d'application et évaluations algébriques La règle d'addition des nombres relatifs de même signe s'applique aussi bien aux valeurs entières qu'aux nombres décimaux relatifs. La première évaluation nécessite de calculer l'expression $A = -3 + (-8)$. Dans cette expression, $-3$ et $-8$ sont tous deux des nombres négatifs. En appliquant la règle pour les nombres de même signe, le résultat prend le signe négatif commun, et les distances à zéro sont additionnées comme $3 + 8 = 11$. La résolution étape par étape est donnée par : $A = -3 + (-8)$ $A = -(3 + 8)$ $A = -11$ La seconde évaluation nécessite de calculer l'expression $B = -5,2 + (-8,4)$. $-5,2$ et $-8,4$ sont tous deux des nombres décimaux relatifs négatifs. Comme les deux nombres partagent le même signe négatif, le résultat est négatif. La somme de leurs distances à zéro donne $5,2 + 8,4 = 13,6$. La résolution étape par étape est donnée par : $B = -5,2 + (-8,4)$ $B = -(5,2 + 8,4)$ $B = -13,6$