Notas sobre matrices cuadradas: identidad, inversa y GL(n)

Espacios de matrices cuadradas y el producto

• Espacio considerado: Mn( K) con K = R o C. Son matrices de tamaño n por n; el producto entre dos matrices de este espacio está siempre definido y el resultado es otra matriz en el mismo espacio: si A,B ∈ Mn(K) entonces AB ∈ M_n(K).
• En general, el producto de matrices no es conmutativo, es decir, en la mayoría de los casos no se tiene AB = BA.
• Para estas matrices, se puede estudiar la estructura algebraica de M_n(K) junto con la multiplicación: es un anillo (conjuntamente cerrado) y, en caso de invertibilidad, forma un grupo bajo la multiplicación.

Identidad, coeficiente delta y ejemplo de neutro

• Matriz identidad In: es la matriz cuadrada que actúa como elemento neutro para el producto; es decir, para toda A ∈ Mn(K), AIn = A y InA = A.
• Composición de la identidad con A se verifica a nivel de entradas: el coeficiente genérico (In){kj} es δ{kj}, donde \, \delta{kj} = \begin{cases} 1, & \text{si } k=j, \ 0, & \text{si } k\neq j. \end{cases}
  
• Demostración de AIn = A (a nivel de entradas): $(AI</em>n)<em>{ij} = \sum</em>{k=1}^n A<em>{ik} (I</em>n)<em>{kj} = \sum</em>{k=1}^n A<em>{ik} \delta</em>{kj} = A_{ij}.$
• De manera análoga, (InA){ij} = A_{ij}.

Propiedades básicas del producto de matrices

• Propiedad de asociatividad: para A,B,C ∈ M_n(K),
  $(AB)C = A(BC).$
• Propiedades distributivas (derecha e izquierda):
  $A(B+C) = AB + AC, \quad (A+B)C = AC + BC.$
• Estas propiedades valen cuando las operaciones están definidas; para matrices cuadradas, se cumplen de forma general.

Elemento neutro y demostraciones básicas

• Identidad como neutro: para A ∈ Mn(K), el coeficiente i,j de AIn es
  $(AI<em>n)</em>{ij} = \sum<em>{k=1}^n A</em>{ik} (I<em>n)</em>{kj} = \sum<em>{k=1}^n A</em>{ik} \delta<em>{kj} = A</em>{ij},$
  igual que para (InA){ij}.
• Concluimos que In es el elemento neutro para el producto en Mn(K).

Matrices invertibles y GL(n,K)

• Definición: una matriz A ∈ Mn(K) es invertible si existe B ∈ Mn(K) tal que
  $AB = I<em>n \,\text{ y } \, BA = I</em>n.$
  En ese caso, a B se le llama la inversa de A y se denota
  $A^{-1}$.
• Unicidad de la inversa: si existen B y C tales que AB = In y AC = In, entonces B = C. (La inversa, si existe, es única.)
• Notación y conjuntos: el conjunto de matrices invertibles de tamaño n x n con entradas en K se denota
  $\mathrm{GL}(n,K)$ (grupo lineal de orden n sobre el cuerpo K).
• Casos especiales: para K = R se obtiene $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ y para K = C se obtiene $\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$.
• Propiedad trivial de la identidad: In es invertible y su inversa es In, es decir, $(I<em>n)^{-1} = I</em>n.$

Inversa de un producto

• Si A,B ∈ GL(n,K), entonces el producto AB también es invertible y su inversa es
  $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}.$
• Demostración rápida:
  • Multiplicamos (AB)(B^{-1}A^{-1}):
    $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A (BB^{-1}) A^{-1} = A I<em>n A^{-1} = I</em>n.$
  • De modo análogo, (B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1} (A^{-1}A) B = B^{-1} In B = In.
• Por lo tanto, AB es invertible y su inversa es exactamente $B^{-1}A^{-1}$.
• Consecuencia: el conjunto GL(n,K) es cerrado bajo la multiplicación y, de hecho, forma un grupo: la inversa existe para todo elemento invertible, la operación es asociativa y el elemento neutro es I_n.

Notas y comparación con otros productos (ejemplo de no asociatividad fuera del marco matricial)

• En algunos contextos, otros productos no son asociados; un ejemplo clásico es el producto vectorial en R^3, que no es asociativo en general: para tres vectores a,b,c ∈ R^3, por lo general
  (a \times b) \times c \neq a \times (b \times c).
• Demostración concreta de no asociatividad (un ejemplo explícito):
  • Tomemos $a=(1,0,0)$, $b=(0,1,0)$ y $c=(1,1,0)$.
  • Entonces, $a \times b = (0,0,1) = e3$ y (a \times b) \times c = e3 \times (1,1,0) = (-1,1,0).
  • Por otro lado, $b \times c = (0,1,0) \times (1,1,0) = (0,0,-1) = -e3$ y a \times (b \times c) = a \times (-e3) = (0,1,0).
  • Como se ve, $(-1,1,0) \neq (0,1,0)$, por lo que la operación no es asociativa en general.

Resumen conceptual

• Las matrices cuadradas permiten definir un producto que es cerrado, asociativo y distributivo, con un elemento neutro dado por la matriz identidad $I_n$.
• La invertibilidad es una propiedad clave: una matriz invertible tiene una inversa única y el conjunto de matrices invertibles forma un grupo bajo la multiplicación, denominado GL(n,K).
• El inverso de un producto se invierte en orden: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
• En contextos fuera del álgebra de matrices (p. ej., producto vectorial), las propiedades de asociatividad pueden fallar, lo que contrasta con las matrices.

Notas de enlace con principios fundamentales

• La identidad funciona como neutral en el producto; su comprobación se realiza a través de la definición de producto (con suma de entradas) y del delta de identidad.
• La unicidad del inverso se apoya en la estructura de la matriz identidad y en las propiedades del producto; en particular, si existiera más de una inversa, se obtendrían contradicciones con la definición de identidades.
• La caracterización de GL(n,K) mediante el determinante: A ∈ GL(n,K) ⇔ det(A) ≠ 0. (Esta equivalencia es una forma común de identificar inversibilidad, aunque en la nota original no se abordó con detalle.)

Notas finales sobre la demostración de propiedades

• La demostración de la neutralidad de In se puede escribir como: para todo A ∈ Mn(K), AIn = InA = A, con la verificación de entradas dada por
  (AIn){ij} = \sum{k=1}^n A{ik} (In){kj} = A{ij} $$ y de forma análoga para InA.
• La propiedad de que la inversa es única se puede plantear y demostrar con argumentos basados en la definición AB = In y BA = In, o empleando det(A) ≠ 0 para mostrar que A tiene inversa y que ésta coincide con la matriz que satisface AB = I_n.