Nombres Réels et Calculs : Définitions et Ensembles de Nombres

Définition de l'ensemble des nombres réels ( $\mathbb{R}$ ) :
- L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée est appelé l'ensemble des nombres réels.
- Il est noté $\mathbb{R}$ (ou $\text{IR}$ ).
La droite numérique :
- Une droite graduée est appelée « droite des réels » ou encore « droite numérique ».
- À chaque point de la droite est associé un unique nombre réel correspondant à son abscisse, et réciproquement.
Exemples de points et d'abscisses associées :
- Les points $A$ et $B$ ont pour abscisses respectives $0{,}5$ (soit $\frac{1}{2}$ ) et $-2$ .
- Au réel $\sqrt{2}$ , on associe le point $C$ .
- Au réel $\pi$ , on associe le point $D$ .
- Au réel $\frac{5}{2}$ , on associe le point $E$ .

L'ensemble des entiers naturels ( $\mathbb{N}$ ) :
- Définition : L'ensemble des entiers positifs ou nuls est appelé l'ensemble des entiers naturels.
- Notation : Cet ensemble se note $\mathbb{N}$ .
- Écriture en extension : $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ .
- Usage : Les entiers naturels servent notamment à compter des objets.
L'ensemble des entiers relatifs ( $\mathbb{Z}$ ) :
- Définition : L'ensemble des entiers relatifs est formé de tous les entiers naturels et de leurs opposés.
- Notation : Cet ensemble se note $\mathbb{Z}$ .
- Écriture en extension : $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ .
L'ensemble des nombres décimaux ( $\mathbb{D}$ ) :
- Définition : L'ensemble des nombres décimaux est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ .
- Conditions des variables :
  - $a$ est un entier relatif ( $a \in \mathbb{Z}$ ).
  - $n$ est un entier naturel ( $n \in \mathbb{N}$ ).
- Notation : Cet ensemble se note $\mathbb{D}$ .
L'ensemble des nombres rationnels ( $\mathbb{Q}$ ) :
- Définition : L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ .
- Conditions des variables :
  - $a$ est un entier relatif ( $a \in \mathbb{Z}$ ).
  - $b$ est un entier naturel ( $b \in \mathbb{N}$ ).
  - $b$ est non nul ( $b \neq 0$ ).
- Notation : Cet ensemble se note $\mathbb{Q}$ .