Unidad 2: Números Decimales y Fracciones

Sistema de Numeración Decimal

En el sistema decimal, una unidad de cualquier orden equivale a diez unidades del orden inmediatamente inferior ($um$, $c$, $d$, $u$, $d$, $c$, $m$, $dm$, $cm$, $mm$).

Los números se representan de forma ordenada en la recta numérica. Entre dos decimales cualesquiera existen infinitos números decimales. Ejemplo de ordenación: $-1,263 < -0,4 < 0,6751 < 1,55 < 2,753$.

Clases de Números Decimales

• Decimales exactos: Poseen un número limitado de cifras decimales (ej. $4,75$).
• Decimales periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que se repiten.
  • Puro: El periodo comienza tras la coma (ej. $7,151515... = 7,\overline{15}$).
  • Mixto: Existe una parte decimal no periódica antes del periodo (ej. $8,24666... = 8,24\overline{6}$).
• Decimales no exactos y no periódicos: Infinitas cifras sin repetición periódica (ej. $\sqrt{2} = 1,4142135...$).

Aproximación y Redondeo

Para aproximar a un orden determinado:

1. Se eliminan las cifras a la derecha de dicho orden.
2. Si la primera cifra suprimida es $5$ o mayor, se suma uno a la cifra anterior.

Ejemplo: Redondeo de $1,8375$ a las décimas es $1,8$. El error cometido es $|1,8375 - 1,8| = 0,0375$.

Operaciones con Decimales

• Suma y resta: Alinear los órdenes de unidades.
• Multiplicación: El producto debe tener tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de los factores. Ejemplo: $0,418 \times 3,3 = 1,3794$.
• División con divisor decimal: Multiplicar dividendo y divisor por la unidad seguida de ceros hasta que el divisor sea entero. Ejemplo: $8,1 : 1,25 \rightarrow 810 : 125 = 6,48$.
• Raíz cuadrada: Se bajan las cifras decimales de dos en dos desde la coma, añadiendo ceros si es necesario. Ejemplo: $\sqrt{7,2000} \approx 2,68$.

Fracciones y Conversiones

• Fracciones equivalentes: Expresan el mismo valor ($\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4$). Se obtienen simplificando (dividir) o amplificando (multiplicar).
• Común denominador: Se utiliza el mín. c. m. de los denominadores. Ejemplo: Para $\frac{7}{12}$ y $\frac{11}{21}$, el mín. c. m. ($12, 21$) es $84$, resultando en $\frac{49}{84}$ y $\frac{44}{84}$.
• Conversión de decimal a fracción:
  • Exacto: $1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$.
  • Periódico puro: Se resta la parte entera y se divide entre tantos nueves como cifras tenga el periodo. Ejemplo: $1,\overline{2} = \frac{11}{9}$.
  • Periódico mixto: Se resta la parte no periódica y se divide entre nueves (periodo) y ceros (parte decimal no periódica). Ejemplo: $0,7\overline{2} = \frac{65}{90} = \frac{13}{18}$.

Operaciones Combinadas

Orden de prioridad:

1. Paréntesis.
2. Multiplicaciones y divisiones.
3. Sumas y restas.

Ejemplo: $1,5 - 0,5 \times (4,32 - 6) = 1,5 - 0,5 \times (-1,68) = 1,5 + 0,84 = 2,34$.