Capítulo 5: Fluxo Invíscido ao Redor do Casco, Geração de Ondas e Resistência de Ondas

Introdução à Resistência de Ondas e Viscosa

• No estudo da hidrodinâmica de navios, a decomposição da resistência total em resistência de ondas e resistência viscosa é a abordagem mais diretamente relacionada aos fenômenos físicos individuais.

• Embora esses fenômenos ocorram simultaneamente com diversas interações físicas (tornando a separação artificial em teoria), a distinção é extremamente útil na prática e está fundamentada em dois princípios consolidados:

  • Ensaios em Modelos: Devido à impossibilidade de igualar simultaneamente o número de Reynolds ($R_n$) e o número de Froude ($F_n$) entre o modelo e o navio real, os testes são realizados mantendo o $F_n$ idêntico. Isso garante que o padrão de ondas seja geometricamente similar. A geração de ondas mostra-se insensível a efeitos viscosos, mesmo com diferenças de $R_n$ da ordem de 100 vezes.

  • Teoria da Camada Limite: Em altos números de Reynolds, os efeitos viscosos confinam-se a uma camada limite fina e a uma esteira estreita na popa. Segundo a teoria da camada limite fina, o campo de pressão dentro da camada é igual ao campo logo fora dela, e a camada limite não afeta a distribuição de pressão em uma primeira aproximação.

• A resistência total ($C_T$) é frequentemente aproximada pela soma:   $C_T(F_n, R_n) \approx C_w(F_n) + C_v(R_n)$   Esta fórmula exclui o efeito viscoso na resistência de ondas e o efeito das ondas na resistência viscosa.

• Nesta análise, o fenômeno de geração de ondas é tratado como um fenômeno invíscido (sem viscosidade).

Escoamento Invíscido ao Redor de um Corpo

• O escoamento invíscido ao redor de um corpo submerso (sem superfície livre) fornece insights fundamentais para entender a resistência.

• Equações Governantes:

  • O escoamento é descrito pelas equações de Euler, que resultam da remoção dos termos viscosos das equações de Navier-Stokes, mantendo o balanço entre termos convectivos e gradientes de pressão.

  • Irrotacionalidade: Como o escoamento a montante é uniforme e invíscido, a vorticidade (o rotacional do vetor velocidade) permanece zero em todo o campo ($\nabla \times \mathbf{v} = 0$), conforme o teorema de Kelvin.

  • Potencial de Velocidade: Para fluxos irrotacionais, introduz-se uma função escalar $\phi(x, y, z)$ tal que $\mathbf{v} = \nabla \phi$. Isso garante que o fluxo seja irrotacional, pois o rotacional de um gradiente é sempre zero.

• Simplificações do Escoamento de Potencial:

  • As equações de Navier-Stokes e de continuidade são substituídas pela Equação de Bernoulli (derivada de Euler) e pela Equação de Laplace (derivada da continuidade).

  • Equação de Bernoulli: Em escoamento permanente, o gradiente total é constante ao longo de uma linha de corrente. Como todas as linhas de corrente origem em um campo uniforme upstream ($v = U$), a constante é a mesma para todo o campo:       $\frac{1}{2} |\nabla \phi|^2 + \frac{p}{\rho} + gz = \text{constante}$

  • Equação de Laplace: Para fluxos incompressíveis:       $\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0$

  • A Equação de Laplace é linear e homogênea, permitindo a superposição de soluções, o que facilita o estudo de ondas lineares.

Escoamento ao Redor de Corpos 2D e 3D

• Corpo Bidimensional (2D):

  • Ao se aproximar de um corpo, as linhas de corrente curvam-se. Existe uma relação direta entre a curvatura da linha de corrente e o gradiente de pressão normal a ela:       $\frac{\partial p}{\partial r} = \frac{\rho u^2}{r}$

  • A pressão aumenta na direção oposta ao centro da curvatura.

  • No bico (proa) e no espelho (popa), a curvatura é para longe do corpo, aumentando a pressão. Nos ombros (ombro de vante e ombro de ré), a curvatura é convexa (em direção ao corpo), reduzindo a pressão.

  • Em um ponto de estagnação (onde a velocidade cai a zero), a pressão atinge seu valor máximo (pressão de estagnação):       $p_{\text{max}} = \frac{1}{2} \rho U^2$

  • O coeficiente de pressão ($C_p$) é definido como:       $C_p = \frac{p - p_{\infty}}{\frac{1}{2} \rho U^2} = 1 - \frac{|\nabla \phi|^2}{U^2}$

  • Nos pontos de estagnação, $C_p = 1.0$.

• Corpo Tridimensional (3D) - Navio KVLCC2:

  • Em navios reais como o petroleiro KVLCC2, as linhas de corrente se curvam tanto em planos normais à superfície quanto paralelos a ela.

  • A distribuição de pressão mostra alta pressão na proa e na popa e baixas pressões nos ombros (especialmente no ombro de vante, que é mais acentuado) e na região do bojo (bilge).

  • Paradoxo de d'Alembert: Em um fluido infinito sem viscosidade e sem superfície livre, a resultante longitudinal da pressão integrada sobre um corpo fechado é exatamente zero, ou seja, não há resistência.

Ondas de Superfície Livre

• Linearização e Condição de Kelvin:

  • Para permitir a superposição, as condições de contorno de superfície livre devem ser linearizadas assumindo pequenas amplitudes de onda (declividade da onda $\epsilon \ll 1$).

  • A Condição de Kelvin para escoamento não permanente é aplicada em $z = 0$:       $\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + g \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0$

• Propriedades das Ondas Senoidais:

  • Relação de Dispersão: A velocidade de propagação ($c$) depende do comprimento de onda ($\lambda$):       $c = \sqrt{\frac{g \lambda}{2\pi}}$ ou $\lambda = \frac{2\pi c^2}{g}$

  • Diferente de ondas sonoras, as ondas de água são dispersivas: componentes de comprimentos diferentes viajam a velocidades diferentes.

  • Distribuição Vertical: A perturbação decai exponencialmente com a profundidade conforme $F(z) = e^{kz}$, onde $k = 2\pi/\lambda$. A uma profundidade de meia onda ($\lambda/2$), a perturbação cai para apenas 4% do valor da superfície.

  • Campo de Velocidade: As partículas de água descrevem trajetórias circulares com raio proporcional a $A e^{kz}$. A velocidade média do fluido é zero na teoria linear.

  • Velocidade de Grupo ($c_g$): A energia das ondas não viaja na mesma velocidade que as cristas ($c$). Em águas profundas, a velocidade de grupo é exatamente metade da velocidade de fase:       $c_g = \frac{1}{2}c$

  • Isso explica por que, ao atirar uma pedra em um lago, as ondas individuais surgem na borda interna do grupo e desaparecem na borda externa.

Padrões de Ondas de Navios e a Cunha de Kelvin

• Ondas em 2D: Atrás de um objeto movendo-se a uma velocidade $V$, as ondas devem ser estacionárias em relação ao objeto, portanto $c = V$ e $\lambda = 2\pi V^2 / g$. A energia perdida como radiação de ondas resulta na resistência de ondas.$R_w = \frac{1}{4} \rho g A^2$.

• Ondas em 3D: O navio gera ondas em várias direções $\theta$, onde o ângulo $\theta$ é medido em relação à trajetória do navio.

  • A velocidade de fase efetiva é $c = V \cos(\theta)$.

  • O comprimento de onda é $\lambda(\theta) = 2\pi F_n^2 L \cos^2(\theta)$.

  • Ondas com $\theta$ pequeno são chamadas de transversais; com $\theta$ grande (limitado geralmente a 60-70 graus), são chamadas de divergentes.

• Cunha de Kelvin:

  • Devido à velocidade de grupo ($c_g = \frac{1}{2}c$), a energia das ondas geradas na proa fica para trás da crista da onda.

  • Toda a energia das ondas está contida em um setor Bound por raios saindo da proa.

  • O semi-ângulo máximo desse setor (Cunha de Kelvin) é calculado por cálculo diferencial como $\tan^{-1}(y_E/x_E)$, resultando em $19^{\circ} 28'$.

  • O limite do setor ocorre quando $\sin(\theta) = \sqrt{1/3}$, ou seja, $\theta \approx 35^{\circ}$.

  • Em grandes distâncias, a amplitude das ondas transversais e divergentes decai conforme $y^{-1/2}$, mas as ondas na borda da cunha ($\theta = 35^{\circ}$) decaem mais lentamente, conforme $y^{-1/3}$, tendendo a dominar o sistema visualmente no campo distante.

Interferência e Resistência de Ondas

• Componentes do Sistema de Ondas do Navio (Wigley, 1931):

  1. Perturbação Local (Onda de Bernoulli): Picos positivos na proa/popa e negativos nos ombros; não irradia energia no campo distante.

  2. Sistema da Proa: Inicia com uma crista.

  3. Sistema do Ombro de Vante: Inicia com um cavado.

  4. Sistema do Ombro de Ré: Inicia com um cavado.

  5. Sistema da Popa: Inicia com uma crista.

• Humps e Hollows (Saliências e Vales):

  • Ocorrem devido à interferência construtiva (cristas coincidindo) ou destrutiva (crista com cavado) entre os sistemas.

  • A interferência depende do Número de Froude ($F_n$). Quando o navio corre em velocidade favorável (hollow), a resistência é minimizada.

  • Método Z: Uma forma empírica de estimar humps focando no sistema da proa e do ombro de ré. A distância de geração de ondas $z \approx C_p L + \frac{\lambda}{4}$. Máximos de resistência ocorrem quando $z = (2k+1) \frac{\lambda}{2}$.

• Comportamento por Faixa de Fn:

  • F_n < 0.10: Resistência de ondas quase insignificante.

  • $F_n \approx 0.15$: Início da elevação da onda de proa e depressão do ombro; comum em VLCCs.

  • $F_n \approx 0.25$: Faixa típica de navios de contêineres e balsas de passageiros; a resistência de ondas torna-se importante.

  • $F_n \approx 0.30$: Ponto onde a interferência entre proa e popa é crítica; navios precisam ser mais esbeltos.

  • $F_n \approx 0.40$: O comprimento da onda transversal se torna igual ao comprimento do navio.

  • $F_n \approx 0.50$: Ocorre o Hump Principal da resistência. O navio "sobe na própria onda". Apenas navios com espelho (transom) plano conseguem ultrapassar esse ponto.

  • F_n > 0.50: Faixa de semi-planeio; a sustentação dinâmica começa a elevar o navio.

  • $F_n \approx 1.0$: Faixa de planeio total; o padrão de ondas reduz-se a um V estreito.

Quebra de Ondas e Efeitos Viscosos

• Tipos de Quebra de Ondas:

  • Plunging (Mergulhante): A crista se torna íngreme e forma um jato que cai livremente para frente.

  • Spilling (Deslizante): Uma mancha de água aerada que "desliza" pela face frontal da onda.

• Vórtice em Colar (Necklace Vortex): A quebra da onda de proa converte energia de onda em energia turbulenta e cria um par de lóbulos de esteira adicionais, podendo representar até 15% da resistência total em formas de cascos cheios (Baba, 1969).

• Respingos (Spray): Em altas velocidades, uma folha fina de água pode subir pelo casco. Trilhos de spray (spray rails) são usados para defletir essa água e reduzir o arrasto.

• Efeitos Viscosos na Popa: A camada limite e a esteira alteram o campo de pressão na popa, geralmente reduzindo o sistema de ondas de popa. Esse efeito é mais pronunciado em modelos de pequena escala devido à camada limite proporcionalmente mais grossa.

Efeitos de Águas Rasas e Canais

• Alteração nas Propriedades das Ondas:

  • A presença do fundo muda o potencial para a forma $\cosh k(z+h)$.

  • Relação de Dispersão em Águas Rasas:       $c = \sqrt{\frac{g \lambda}{2\pi} \tanh\left(\frac{2\pi h}{\lambda}\right)}$

  • Existe um limite superior para a velocidade de propagação: $c_{\text{max}} = \sqrt{gh}$.

• Regimes de Velocidade em Águas Rasas:

  • Subcrítico (F_{n_h} < 1): As ondas viajam mais devagar que $\sqrt{gh}$. O ângulo da cunha de Kelvin aumenta à medida que $F_{n_h}$ se aproxima de 1.

  • Crítico ($F_{n_h} \approx 1$): A velocidade do navio iguala $\sqrt{gh}$. A energia das ondas não fica para trás (velocidade de grupo = velocidade de fase), causando um acúmulo massivo de água à frente do navio e um aumento drástico na resistência.

  • Supercrítico (F_{n_h} > 1): O navio viaja mais rápido que a velocidade máxima da onda. Ondas transversais não podem existir. O padrão de ondas torna-se um V estreito definido por $\cos(\theta) = 1/F_{n_h}$.

• Estimativa de Resistência (Método de Schlichting):

  • Baseia-se na ideia de que a resistência de ondas em águas rasas é igual à de águas profundas a uma velocidade reduzida, onde os comprimentos de onda coincidem.

  • Usa o parâmetro $\sqrt{A_x}/h$, onde $A_x$ é a área da seção mestra.

• Efeitos de Canal (Restrição Lateral):

  • Introduz-se o conceito de Bloqueio ($\beta$): razão entre a área da seção mestra e a seção do canal.

  • Raio Hidráulico ($R_H$): $R_H = \frac{bh - A_M}{b + 2h + p}$. Usado para corrigir a resistência viscosa aumentada pela proximidade das paredes.

  • Teoria de Kreitner (1934): Descreve o excesso de velocidade (overspeed) da água passando pelo navio no canal. Existe uma região inacessível ao redor de $F_{n_h} = 1$ onde não há solução de fluxo permanente; o fluxo torna-se instável e forma ondas de translação que se movem à frente do navio.

Wave Wash (Nuisance de Ondas)

• O sistema de ondas gerado por embarcações rápidas (ferries) pode causar erosão de margens e perigo a banhistas.

• Balsas rápidas produzem ondas com períodos muito longos (7 a 10 segundos), aos quais embarcações ancoradas respondem mais fortemente.

• Efeito de Shoaling: À medida que essas ondas longas se aproximam da costa, sua altura aumenta drasticamente, muitas vezes resultando em quebras mergulhantes (plunging) perigosas.

• No regime supercrítico, os períodos de onda aparentes no campo distante podem chegar a 20-40 segundos a 3 km de distância.