Fysikk Kap 1 (Rettlinjet Bevegelse)

Posisjon, fart og akselerasjon

• Alt i naturen befinner seg i konstant bevegelse. Jorda beveger seg rundt sola med en fart på nesten $30\,\text{km/s}$, og atomer i lufta vibrerer og kolliderer kontinuerlig.

• Bevegelseslikninger for konstant akselerasjon:   

  • Fartslikningen: $v = at + v_0$   

  • Posisjonslikning 1: $s = \frac{v + v_0}{2}t$  

  • Posisjonslikning 2: $s = \frac{1}{2}at^2 + v_0t$  

  • Tidløs likning: $v^2 - v_0^2 = 2as$   

  • Her representerer $s$ posisjonen, $v$ farten ved tiden $t$, og $v_0$ startfarten (farten når $t = 0$).

• Derivasjon og momentanverdier:   

  • Momentanfart: Den deriverte av posisjonen med hensyn på tid. Grafisk tilsvarer dette stigningstallet til tangenten i et punkt på posisjonsgrafen.     

    • $v(t) = s'(t)$  

  • Momentanakselerasjon: Den deriverte av fartsfunksjonen med hensyn på tid, eller den andrederiverte av posisjonsfunksjonen.    

    •  $a(t) = v'(t) = s''(t)$   

    • For konstant akselerasjon er fartsfunksjonen en lineær funksjon, mens posisjonsgrafen er en parabel.

• Integrasjon og areal under grafer:   

  • Arealet under en fartsgraf ($v-t$-graf) tilsvarer den tilbakelagte strekningen ($s$).   

  • Arealet under en akselerasjonsgraf ($a-t$-graf) tilsvarer den totale fartsendringen ($\Delta v$).   

  • Når fartsfunksjonen ikke er en rett linje (ikke-konstant akselerasjon), beregnes forflytningen ved bruk av integralregning:     - $\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt$

Kraftvektorer og Newtons lover i to dimensjoner

• Vektorer vs. Skalarer:   

  • En vektor har både absoluttverdi (størrelse) og retning (f.eks. kraft $\vec{F}$, fart $\vec{v}$, akselerasjon $\vec{a}$).   

  • En skalar har bare en verdi uten retning (f.eks. masse, tid, energi).   - I skrift angis en vektor med en pil over symbolet ($\vec{F}$), mens symbolet uten pil ($F$) betegner vektorens absoluttverdi.

• Dekomponering av krefter:   

  • En kraftvektor $\vec{F}$ kan deles inn i to vinkelrette komponenter, $F_x$ og $F_y$, ved bruk av trigonometri og vinkelen $\theta$ mellom vektoren og x-aksen:     

    • $F_x = F \cos(\theta)$     

    • $F_y = F \sin(\theta)$   

  • Ved komponering av krefter ved regning, brukes Pytagoras' setning for å finne den totale kraftsummen:     

    • $\Sigma F = \sqrt{(\Sigma F_x)^2 + (\Sigma F_y)^2}$     

    • Retningen finnes ved $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x}\right)$.

• Newtons tre lover:   

  • Newtons 1. lov: En gjenstand forblir i ro eller i rettlinjet bevegelse med konstant fart hvis og bare hvis summen av kreftene er null.     

    • $\Sigma \vec{F} = \vec{0} \iff \vec{v} = \text{konstant}$  

  • Newtons 2. lov: En kraftsum som virker på en gjenstand gir den en akselerasjon i samme retning som kraftsummen.     

    • $\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$   

  • Newtons 3. lov: Når gjenstand A virker på gjenstand B med en kraft $\vec{F}$, virker B tilbake på A med en like stor og motsatt rettet kraft $\overrightarrow{F\ast}$.

  • $\overrightarrow{F\ast}=-\overrightarrow{F}$. Minustegnet forteller oss at kreftene er motsatt rettet.

• Bevegelse på skråplan:   

  • Det er ofte hensiktsmessig å legge x-aksen parallelt med skråplanet og y-aksen normalt på det.   

  • Tyngdekraften $\vec{G}$ må da dekomponeres:     

  • Parallellkomponent: $G_x = G \sin(\theta) = mg \sin(\theta)$     

  • Normalkomponent: $G_y = G \cos(\theta) = mg \cos(\theta)$   

  • Normalkraften $N$ er ofte lik $G_y$ dersom det ikke er andre krefter i y-retning.

Programmering og simulering av bevegelse

• For å simulere bevegelse med krefter som skifter retning (f.eks. friksjon), brukes funksjonen sign(v) i Python.   

  • sign(v) returnerer $-1$ hvis farten er negativ og $1$ hvis farten er positiv.   

  • Friksjonskraften kan derfor defineres som $R = -\text{sign}(v) \times \mu \times N$.

• Vinkelmål i Python: Funksjoner som sin() og cos() krever radianer.   

  • Konvertering fra grader til radianer: $\text{radianer} = \text{grader} \times \frac{2\pi}{360}$, eller bruk funksjonen radians(40).

Bevaringslover

• Arbeid ($W$):   

  • Definert som skalarproduktet av kraftvektoren og forflytningsvektoren:     

    • $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$  

  • Arbeid utført av en variabel kraft $F(x)$ finnes ved integrasjon:     

    • $W = \int_{A}^{B} F(x) \, dx$   

  • Setningen om kinetisk energi:

    • Arbeidet utført av summen av kreftene er lik endringen i kinetisk energi: $W_{\Sigma F} = \Delta E_k$.

• Mekanisk energi ($E$):   

  • Summen av kinetisk og potensiell energi: $E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$.   

    • Bevaring: Dersom bare tyngdekraften gjør et arbeid, er den mekaniske energien bevart: $E = E_0$.   

    • Ikke-bevaring: Dersom andre krefter (som friksjon eller luftmotstand) gjør et arbeid $W_A$, er energien gitt ved: $E = E_0 + W_A$ .

• Bevegelsesmengde ($p$):   

• Definert som produktet av masse og fart: $\vec{p} = m\vec{v}$.   

• Bevaringsloven for bevegelsesmengde: Dersom summen av ytre krefter er null, er den totale bevegelsesmengden i systemet bevart.     

• For to gjenstander A og B: $m_{A}\overrightarrow{v}_{A}+m_{B}\overrightarrow{v}_{B}=m_{A}\overrightarrow{v}_{A0}+m_{B}\overrightarrow{v}_{B0}$.

Målinger og usikkerhet

• Feilkilder:   

  • Definisjonsusikkerhet: Uklarhet i hva som måles (f.eks. høyde med eller uten sko).

  • Systematiske feil: Feil ved måleutstyret eller metoden (påvirker nøyaktighet/accuracy).   

  • Tilfeldige feil: Variasjoner som oppstår selv med perfekt utstyr (påvirker presisjon/precision).

• Beregning av usikkerhet:   

  • Gjennomsnitt ($\bar{x}$): Summen av alle målinger delt på antallet.   

  • Absolutt usikkerhet ($\Delta x$): $\Delta x = \frac{x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}}{2}$.   

  • Resultatet oppgis som: $x = \bar{x} \pm \Delta x$.   

  • Relativ usikkerhet: Forholdet mellom absolutt usikkerhet og gjennomsnittsverdi, ofte i prosent: $\frac{\Delta x}{\bar{x}} \times 100\%$.

• Usikkerhet i sammensatte størrelser:   

  • Sum og differanse ($s = x + y$ eller $d = x - y$): Absolutt usikkerhet summeres: $\Delta s = \Delta d = \Delta x + \Delta y$.   

  • Produkt og kvotient ($p = x \times y$ eller $k = \frac{x}{y}$): Relativ usikkerhet summeres: $\frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta k}{k} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}$.

• Lineær grafisk tilpasning:   

  • Brukes for å finne sammenhengen mellom to variabler ved å trekke den best tilpassede rette linja gjennom målepunktene.   

  • Stigningstallet ($k$) representerer en fysisk konstant (f.eks. tyngdeakselerasjon $g$ eller fjærstivhet $k$).   

  • Usikkerheten i stigningstallet kan finnes ved å tegne linjer for maksimalt og minimalt mulig stigningstall basert på spredningen i målepunktene.

Bevegelseslikninger for konstant akselerasjon

• Fartslikningen:

  • $v = at + v_0$   - Brukes til: Å beregne fart $v$ ved en tid $t$, når en gjenstand har konstant akselerasjon $a$ og startfart $v_0$.
        - $v$: sluttfart     - $a$: akselerasjon     - $t$: tid     - $v_0$: startfart

• Posisjonslikning 1:

  • $s = \frac{v + v_0}{2}t$   - Brukes til: Å beregne posisjonen $s$ til en gjenstand etter en tid $t$.
        - $s$: posisjon     - $v$: sluttfart     - $v_0$: startfart     - $t$: tid

• Posisjonslikning 2:

  • $s = \frac{1}{2}at^2 + v_0t$   - Brukes til: Å beregne posisjonen $s$ av en gjenstand under konstant akselerasjon over tid $t$.
        - $s$: posisjon     - $a$: akselerasjon     - $t$: tid     - $v_0$: startfart

• Tidløs likning:

  • $v^2 - v_0^2 = 2as$   - Brukes til: Å relaterer fart, akselerasjon og posisjon uten tid.
        - $v$: sluttfart     - $v_0$: startfart     - $a$: akselerasjon     - $s$: posisjon

Newtons lover

• Newtons 1. lov:

  • $\Sigma \vec{F} = \vec{0} \iff \vec{v} = \text{konstant}$   - Brukes til: Beskriver at en gjenstand forblir i ro eller med konstant fart hvis summen av kreftene er null.

• Newtons 2. lov:

  • $\Sigma \vec{F} = m\vec{a}$   - Brukes til: Beskriver forholdet mellom kraft, masse og akselerasjon.
        - $\Sigma \vec{F}$: total kraft     - $m$: masse     - $\vec{a}$: akselerasjon

• Newtons 3. lov:

  • $\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{F}$
      - Brukes til: Beskriver at for hver kraft er det en lik og motsatt rettet kraft.
        - $\overrightarrow{F}$: kraft fra gjenstand A på B
        - $-\overrightarrow{F}$ : kraft fra gjenstand B på A

Arbeid og Energi

• Arbeid:

  • $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F \cdot s \cdot \cos(\theta)$   - Brukes til: Å beregne arbeidet utført av en kraft over en forflytning.     - $W$: arbeid     - $\vec{F}$: kraftvektor     - $\vec{s}$: forflytningsvektor     - $\theta$: vinkelen mellom kraft og forflytning

• Kinetisk Energi:

  • $E_k = \frac{1}{2}mv^2$   - Brukes til: Å beregne energien til en gjenstand i bevegelse.
        - $E_k$: kinetisk energi     - $m$: masse     - $v$: fart

• Potensiell Energi:

  • $E_p = mgh$   - Brukes til: Å beregne energien lagret i en gjenstand på høyde $h$.
        - $E_p$: potensiell energi     - $m$: masse     - $g$: tyngdeakselerasjon     - $h$: høyde