Notes on Proportionality, Algebra, and Fractions

Proporcionalidad

Definición de Proporción

• Una proporción es la igualdad de dos razones.
• Se puede expresar como: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ o $a:b = c:d$
  • Donde:
    • $a$ y $d$ son los términos extremos.
    • $b$ y $c$ son los términos medios.
• Se lee: "$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$".

Ejemplos de Proporcionalidad

Chocolates vs. Precio

• Proporción: $\frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ (Esto parece ser un ejemplo de otra tabla, no de la tabla de chocolates).

Paletas vs. Precio

• Constante: $\frac{y}{x} = 3$
• Ecuación: $y = 3x$

Dulces vs. Precio

• Constante: $\frac{y}{x} = 2$
• Ecuación: $y = 2x$
• Ejemplo de Proporción dado: $\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$

Gráficas de Ecuaciones Lineales

Ecuación: $y = 2x$

Ecuación: $y = 3x$

Puntos para Graficar

• A: (1, 2)
• B: (-3, -1)
• C: (0, 0)
• D: (2, 4)
• E: (-2, -4)
• F: (-2, +1)
• G: (1, 3)
• H: (-1, -3)
• I: (3, -2)
• J: ($x$, $y$)

Reducción de Términos (Álgebra)

Ejemplos de reducción de términos semejantes:

• $2x - 3x + 8x - 16x = 10x - 19x = -9x$
• $5y - 4y - y - 2y + 7y = 18y - 7y = 5y$
• $-10a - 3a + 14a + 2a = 16a + 13a = 3a$
• $9b + 5b + 9b = 14b + 9b = 5b$
• $-7ax - 3x + 5x + 3x - 7x - 13x + 8x = -5x$ (Aquí parece haber un error en la transcripción de las variables, asumiendo ax es x en el resultado final)
• $-35y + 14y - 1y + 5y = 19y - 49y = 30y$ (El resultado 30y es incorrecto, debería ser -31y)
• $3x + 2y - 9x - 5y - 3x - 2y = 3x - 9x - 3x + 2y - 5y - 2y = -9x - 5y$
• $-9b + 2xy + 3b + xy + 5xy - 9b = -9b - 9b + 3b + 2xy + xy + 5xy = -15b + 8xy$ (Reorganizando y corrigiendo el cálculo)
• $4x - 2y - 4x + 5y + 4x^2 - 7x^2 = 3y - 3x^2$
• $15x + 10x + 8y - 2y + 10x = 35x + 6y$
• $19y + 7y + 7y = 19y$ (El resultado 19y es incorrecto, debería ser 33y)
• $25x + 12x - 12x = 25x$

Ecuaciones con Paréntesis (Propiedad Distributiva)

Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva:

• $3(2x - 8) = 6x - 24$
• $-8(5a + 6) = -40a - 48$
• $7(b - 4) = 7b - 28$
• $-4(6x - 7) = -24x + 28$
• $-5(-y - 9) = +5y + 45$
• $2x(9x - 3y) = 18x^2 - 6xy$
• $-7a(2a + 3) = -14a^2 - 21a$
• $6b(5a - 8) = 30ab - 48b$
• $x(-2x + 5y) = -2x^2 + 5xy$
• $-x(4 - 2y) = -4x + 2xy$

Fracciones Suma y Resta de Fracciones

Ejemplo 1:

$\frac{3}{7} + \frac{5}{6} - \frac{7}{8}$

• Encontrar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores (7, 6, 8):
  • MCM(7, 6, 8) = 168 (Calculado por ejemplo: $2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 168$)
• Convertir las fracciones a un denominador común:
  • $\frac{3}{7} = \frac{3 \times 24}{7 \times 24} = \frac{72}{168}$
  • $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 28}{6 \times 28} = \frac{140}{168}$
  • $\frac{7}{8} = \frac{7 \times 21}{8 \times 21} = \frac{147}{168}$
• Realizar la operación:
  • $\frac{72}{168} + \frac{140}{168} - \frac{147}{168} = \frac{72 + 140 - 147}{168} = \frac{212 - 147}{168} = \frac{65}{168}$

Ejemplo 2:

$\frac{5}{6} + \frac{7}{9} - \frac{3}{12}$

• MCM de (6, 9, 12):
  • MCM(6, 9, 12) = 36
• Convertir y operar:
  • $\frac{5 \times 6}{6 \times 6} + \frac{7 \times 4}{9 \times 4} - \frac{3 \times 3}{12 \times 3} = \frac{30}{36} + \frac{28}{36} - \frac{9}{36} = \frac{30 + 28 - 9}{36} = \frac{58 - 9}{36} = \frac{49}{36} = 1 \frac{13}{36}$

Ejemplo 3:

$\frac{2}{7} + \frac{3}{14} + \frac{10}{21}$

• MCM de (7, 14, 21):
  • MCM(7, 14, 21) = 42
• Convertir y operar:
  • $\frac{2 \times 6}{7 \times 6} + \frac{3 \times 3}{14 \times 3} + \frac{10 \times 2}{21 \times 2} = \frac{12}{42} + \frac{9}{42} + \frac{20}{42} = \frac{12 + 9 + 20}{42} = \frac{41}{42}$

Ejemplo 4:

$\frac{9}{10} - \frac{7}{15} + \frac{11}{20} - \frac{3}{5}$

• MCM de (10, 15, 20, 5):
  • MCM(10, 15, 20, 5) = 60
• Convertir y operar:
  • $\frac{9 \times 6}{10 \times 6} - \frac{7 \times 4}{15 \times 4} + \frac{11 \times 3}{20 \times 3} - \frac{3 \times 12}{5 \times 12} = \frac{54}{60} - \frac{28}{60} + \frac{33}{60} - \frac{36}{60} = \frac{54 - 28 + 33 - 36}{60} = \frac{26 + 33 - 36}{60} = \frac{59 - 36}{60} = \frac{23}{60}$

Ejemplo 5:

$\frac{7}{12} - \frac{11}{18} + \frac{8}{9}$

• MCM de (12, 18, 9):
  • MCM(12, 18, 9) = 36
• Convertir y operar:
  • $\frac{7 \times 3}{12 \times 3} - \frac{11 \times 2}{18 \times 2} + \frac{8 \times 4}{9 \times 4} = \frac{21}{36} - \frac{22}{36} + \frac{32}{36} = \frac{21 - 22 + 32}{36} = \frac{-1 + 32}{36} = \frac{31}{36}$

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Cómo calcular el MCM

• El MCM de un conjunto de números se encuentra descomponiendo cada número en sus factores primos y luego multiplicando los factores primos comunes y no comunes con sus mayores exponentes.

Ejemplo 1: MCM de (4, 8, 16)

• Descomposición:
  • $4 = 2^2$
  • $8 = 2^3$
  • $16 = 2^4$
  • MCM(4, 8, 16) = 2^4 = 16

Ejemplo 2: MCM de (12, 14, 21)

• Descomposición:
  • $12 = 2^2 \times 3$
  • $14 = 2 \times 7$
  • $21 = 3 \times 7$
  • MCM(12, 14, 21) = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 3 \times 7 = 84

Ejemplo 3: MCM de (28, 35)

• Descomposición:
  • $28 = 2^2 \times 7$
  • $35 = 5 \times 7$
  • MCM(28, 35) = 2^2 \times 5 \times 7 = 4 \times 5 \times 7 = 140

Ejemplo 4: MCM de (15, 26, 30)

• Descomposición:
  • $15 = 3 \times 5$
  • $26 = 2 \times 13$
  • $30 = 2 \times 3 \times 5$
  • MCM(15, 26, 30) = 2 \times 3 \times 5 \times 13 = 30 \times 13 = 390

Lenguaje Algebraico

Traducir expresiones verbales a expresiones algebraicas:

• Un número cualquiera: $x$
• El doble de un número: $2x$
• El triple de un número: $3y$
• El cuadrado de un número: $x^2$
• El cubo de un número: $x^3$
• La mitad de un número: $\frac{n}{2}$
• La tercera de un número: $\frac{m}{3}$
• La diferencia de dos números: $x - y$

Despejar la Incógnita

Ejercicio 2: Despejar la incógnita

Ejemplo 1:

$6a + 8 = 2$

• $6a = 2 - 8$
• $6a = -6$
• $a = \frac{-6}{6}$
• $a = -1$

Ejemplo 2:

$10b - 3 = 47$

• $10b = 47 + 3$
• $10b = 50$
• $b = \frac{50}{10}$
• $b = 5$

Ejemplo 3:

$2x - 8 = 32$

• $2x = 32 + 8$
• $2x = 40$
• $x = \frac{40}{2}$
• $x = 20$