Notas de Estudo: Lógica Proposicional e Raciocínio Lógico

Introdução às Proposições

• Definição de Proposição Lógica: É uma oração declarativa à qual se pode atribuir um, e apenas um, dos dois possíveis valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F).

• Requisitos Fundamentais:

  • Oração: Deve possuir sentido completo e presença de verbo. Ex: "5 + 5 = 10" (verbo ser/igualar).

  • Declarativa: Deve afirmar ou negar algo. Sentenças exclamativas, interrogativas, imperativas (ordens) e optativas (desejos) não são proposições.

  • Bivalência: Admite apenas um valor lógico. Frases subjetivas ou opiniões (Ex: "Maria é formosíssima") não são proposições.

• Sentenças Abertas: Aquelas que possuem variáveis (Ex: $x + 9 = 10$ ou "Ele é médico") e cujo valor lógico depende da determinação dessa variável. Não são proposições.

• Quantificadores: Termos como "todo", "algum", "nenhum", "existe" transformam sentenças abertas em proposições.

• Paradoxos: Frases que entram em contradição consigo mesmas (Ex: "Esta frase é uma mentira"). Não podem ser proposições pois não admitem um valor lógico único.

• Leis do Pensamento (Lógica Aristotélica):

  • Princípio da Identidade: Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira; uma falsa é sempre falsa.

  • Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

  • Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo um terceiro valor.

Proposições Simples

• Definição: É aquela que não pode ser dividida em proposições menores, sendo formada por uma única parcela elementar.

• Representação: Geralmente utiliza-se letras minúsculas ($p$, $q$, $r$).

• Negação de Proposições Simples:

  • Símbolos: $\sim$ ou $\neg$.

  • Valor Lógico: Se $p$ é V, $\sim p$ é F. Se $p$ é F, $\sim p$ é V.

  • Técnica de Negação: Inserir o advérbio "não" antes do verbo principal ou usar expressões como "não é verdade que".

  • Negação de Sentença Negativa: Retirar a partícula negativa para transformá-la em afirmativa.

• Cuidado com Antônimos: Nem sempre o antônimo nega a frase (Ex: A negação de "venceu" não é necessariamente "perdeu", pois pode ter ocorrido um empate).

• Períodos Compostos por Subordinação: Para negar, deve-se negar o verbo da oração principal, não o da subordinada.

• Dupla Negação: A negação da negação equivale à afirmação original ($\sim(\sim p) \equiv p$).

  • Número par de negações: Equivale à original.

  • Número ímpar de negações: Equivale à negação da original.

Proposições Compostas e Conectivos Lógicos

• Definição: Resultam da combinação de duas ou mais proposições simples unidas por conectivos.

• Conjunção ($p \land q$):

  • Termo: "e", "mas", "nem" ($\land$ seguido de negação), "entretanto".

  • Regra: É verdadeira apenas quando todas as proposições simples forem verdadeiras.

• Disjunção Inclusiva ($p \lor q$):

  • Termo: "ou".

  • Regra: É falsa apenas quando todas as proposições simples forem falsas.

• Disjunção Exclusiva ($p \underline{\lor} q$):

  • Termo: "ou… ou…", "…ou…, mas não ambos".

  • Regra: É verdadeira quando as proposições têm valores lógicos diferentes.

• Condicional ($p \to q$):

  • Termo: "Se $p$, então $q$", "$p$ implica $q$", "$p$, logo $q$", "$q$ porque $p$".

  • Regra: É falsa apenas quando o antecedente (condição suficiente) é verdadeiro e o consequente (condição necessária) é falso (V $\to$ F).

  • Recíproca: Para $p \to q$, a recíproca é $q \to p$ (são proposições distintas).

• Bicondicional ($p \leftrightarrow q$):

  • Termo: "$p$ se e somente se $q$", "$p$ assim como $q$", "condição necessária e suficiente".

  • Regra: É verdadeira quando ambas as proposições têm o mesmo valor lógico.

Ordem de Precedência e Conversão de Linguagem

• Hierarquia de Execução (na ausência de parênteses):

  1. Negação ($\sim$)

  2. Conjunção ($\land$) e Disjunção Inclusiva ($\lor$)

  3. Disjunção Exclusiva ($\underline{\lor}$)

  4. Condicional ($\to$)

  5. Bicondicional ($\leftrightarrow$)

• Vírgulas: Atuam como delimitadores de escopo (como parênteses) na linguagem natural.

• Análise Semântica: O termo proposição refere-se ao significado; expressões diferentes com o mesmo sentido são a mesma proposição.

Tabela-Verdade

• Definição: Ferramenta para determinar o valor lógico de uma proposição composta com base em todas as combinações possíveis de suas partes.

• Número de Linhas: Calculado pela fórmula $2^n$, onde $n$ é o número de proposições simples distintas.

• Exemplo: 3 proposições ($p, q, r$) resultam em $2^3 = 8$ linhas.

• Processo de Construção:

  1. Definir número de linhas.

  2. Listar as combinações de V e F para as proposições simples.

  3. Resolver as negações e os conectivos internos (dentro dos parênteses).

  4. Resolver o conectivo principal.

Tautologia, Contradição e Contingência

• Tautologia: Proposição composta que é sempre verdadeira, independentemente dos valores das proposições simples (Ex: $p \lor \sim p$).

• Contradição: Proposição composta que é sempre falsa (Ex: $p \land \sim p$).

• Contingência: Proposição que pode ser verdadeira ou falsa, dependendo dos valores de suas componentes.

• Método da Prova por Absurdo:

  • Para verificar se é Tautologia: Tente forçar o valor Falso. Se chegar a um absurdo (como $p$ sendo V e F ao mesmo tempo), a frase é Tautológica.

  • Para verificar se é Contradição: Tente forçar o valor Verdadeiro. Se chegar a um absurdo, a frase é uma Contradição.

• Implicação Lógica ($p \Rightarrow q$): Ocorre quando a condicional $p \to q$ resulta em uma Tautologia.