Matemáticas 3 - Actividad 4: Operaciones Combinadas

Información General y Datos de Identificación

• Materia: Matemáticas 3
• Nivel Educativo: Middle School CISQ
• Docente: Ms. Nuria A. Olvera B.
• Nombre de la Actividad: ACTIVIDAD 4. OPERACIONES COMBINADAS

Instrucciones y Criterios de Evaluación

• Instrucción Principal: Resuelve los siguientes ejercicios aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.
• Requisito Procedimental: Realiza procedimientos completos a lápiz y subraya el resultado con marca textos.
• Criterio de Invalidez: Si los procedimientos están incompletos o no se entienden, se consideran incorrectos y NO OTORGAN PUNTOS.

Fundamentos Teóricos: Jerarquía de Operaciones

• Definición de Jerarquía de Operaciones: Es el orden estricto en el que se deben ejecutar las operaciones matemáticas dentro de una expresión combinada para garantizar un resultado único y correcto.

• Orden Operatorio de Prioridad:

  • Primer Nivel (Símbolos de Agrupación): Operaciones contenidas dentro de paréntesis $()$, corchetes $[]$, llaves $\{\}$, y barras de valor absoluto $|x|$. Se resuelve siempre de adentro hacia afuera.
  • Segundo Nivel (Potencias y Raíces): Evaluación de exponentes $x^n$ y radicales $\sqrt{x}$.
  • Tercer Nivel (Multiplicación y División): Operaciones de multiplicaciones y divisiones, efectuadas en orden estricto de izquierda a derecha según aparezcan.
  • Cuarto Nivel (Suma y Resta): Adiciones y sustracciones, ejecutadas en orden estricto de izquierda a derecha.

• Reglas Operativas Clave:

  • Bases Negativas y Exponentes: Un número negativo elevado a una potencia par resulta en un valor positivo: $(-a)^n > 0$ cuando $n$ es par. Por ejemplo, $(-2)^2 = 4$.
  • Signo Negativo fuera de Potencia: En la expresión $-a^n$, el signo negativo no está afectado por el exponente, por lo que $-a^n = -(a^n)$. Por ejemplo, $-49^2 = -(49^2) = -2401$.
  • Propiedad del Exponente Cero: Cualquier cantidad diferente de cero elevada a la potencia cero es igual a uno: $a^0 = 1$ (donde $a \neq 0$).
  • Operación de Valor Absoluto: El valor absoluto $|x|$ devuelve la magnitud no negativa de $x$. Si $x \ge 0$, entonces $|x| = x$; si $x < 0$, entonces $|x| = -x$.

Solución Detallada de Ejercicios

Ejercicio 1

• Expresión Planteada:$12 - \{7 + 4(3) - [(-2)^2(2) - 6]\} + [2^2 + 6 - 5(3)] - |5 - 2^2 \div 2|$

• Paso 1: Resolver el corchete más interno $[(-2)^2(2) - 6]$

  • Calcular la potencia de base negativa: $(-2)^2 = 4$
  • Realizar la multiplicación: $4 \times 2 = 8$
  • Efectuar la resta interna: $8 - 6 = 2$
  • Valor simplificado del corchete interno: $2$

• Paso 2: Resolver la estructura de llaves $\{7 + 4(3) - 2\}$

  • Calcular la multiplicación: $4(3) = 12$
  • Sustituir y operar de izquierda a derecha: $7 + 12 - 2 = 17$
  • Valor simplificado de la llave: $17$

• Paso 3: Resolver el segundo corchete $[2^2 + 6 - 5(3)]$

  • Calcular la potencia: $2^2 = 4$
  • Calcular la multiplicación: $5(3) = 15$
  • Sustituir y operar de izquierda a derecha: $4 + 6 - 15 = 10 - 15 = -5$
  • Valor simplificado del corchete: $-5$

• Paso 4: Resolver el valor absoluto $|5 - 2^2 \div 2|$

  • Calcular la potencia dentro de las barras: $2^2 = 4$
  • Realizar la división: $4 \div 2 = 2$
  • Efectuar la resta interna: $5 - 2 = 3$
  • Obtener el valor absoluto: $|3| = 3$

• Paso 5: Consolidación y operaciones finales

  • Sustituir los valores obtenidos en la expresión principal: $12 - 17 + (-5) - 3$
  • Operar en orden secuencial de izquierda a derecha:
  • $12 - 17 = -5$
  • $-5 - 5 = -10$
  • $-10 - 3 = -13$

• Resultado Final:$-13$

Ejercicio 2

• Expresión Planteada:$-49^2 \div (-16^2 \div 4 + 57) - (15)|23(5) + 2^8 \div (-32)|$

• Paso 1: Resolver el paréntesis divisor $(-16^2 \div 4 + 57)$

  • Evaluar la potencia externa al signo negativo: $-16^2 = -(16^2) = -256$
  • Realizar la división: $-256 \div 4 = -64$
  • Efectuar la suma: $-64 + 57 = -7$
  • Valor simplificado del paréntesis divisor: $-7$

• Paso 2: Resolver la primera división $-49^2 \div (-7)$

  • Evaluar la potencia del dividendo: $-49^2 = -(49^2) = -2401$
  • Dividir entre el término simplificado: $-2401 \div (-7) = 343$

• Paso 3: Resolver el valor absoluto $|23(5) + 2^8 \div (-32)|$

  • Realizar la primera multiplicación: $23 \times 5 = 115$
  • Calcular la potencia: $2^8 = 256$
  • Realizar la división con divisor negativo: $256 \div (-32) = -8$
  • Sumar los términos dentro del valor absoluto: $115 + (-8) = 107$
  • Obtener el valor absoluto: $|107| = 107$

• Paso 4: Multiplicar el escalar externo por el resultado del valor absoluto

  • $(15) \times 107 = 1605$

• Paso 5: Consolidación y resta final

  • Restar los resultados de los bloques principales: $343 - 1605 = -1262$

• Resultado Final:$-1262$

Ejercicio 3

• Expresión Planteada:$7(3) + [6 + 2(2^3) \div 4 + 3(2) - 7\sqrt{4}] + 9 \div 3$

• Paso 1: Evaluar el primer bloque multiplicativo

  • $7(3) = 21$

• Paso 2: Resolver el contenido del corchete $[6 + 2(2^3) \div 4 + 3(2) - 7\sqrt{4}]$

  • Evaluar la potencia: $2^3 = 8$
  • Multiplicar por el coeficiente: $2(8) = 16$
  • Dividir el resultado: $16 \div 4 = 4$
  • Evaluar el segundo término multiplicativo: $3(2) = 6$
  • Calcular la raíz cuadrada: $\sqrt{4} = 2$
  • Multiplicar el radical por su coeficiente: $7(2) = 14$
  • Consolidar los términos internos del corchete: $6 + 4 + 6 - 14 = 16 - 14 = 2$
  • Valor simplificado del corchete: $2$

• Paso 3: Evaluar el bloque final de división

  • $9 \div 3 = 3$

• Paso 4: Sumar los tres bloques resultantes

  • $21 + 2 + 3 = 26$

• Resultado Final:$26$

Ejercicio 4

• Expresión Planteada:$5 - \{[24 \div (-2)^2] - [(-3)^2]^0\} - |4^2 - 12 + 9|$

• Paso 1: Resolver el primer corchete interno $[24 \div (-2)^2]$

  • Evaluar la potencia de base negativa: $(-2)^2 = 4$
  • Realizar la división: $24 \div 4 = 6$
  • Valor simplificado del primer corchete: $6$

• Paso 2: Resolver el segundo corchete interno $[(-3)^2]^0$

  • Evaluar la potencia interna: $(-3)^2 = 9$
  • Aplicar la regla del exponente cero: $9^0 = 1$
  • Valor simplificado del segundo corchete: $1$

• Paso 3: Resolver la estructura de llaves $\{6 - 1\}$

  • Restar los términos obtenidos: $6 - 1 = 5$
  • Valor simplificado de la llave: $5$

• Paso 4: Resolver el valor absoluto $|4^2 - 12 + 9|$

  • Calcular la potencia: $4^2 = 16$
  • Operar en orden secuencial de izquierda a derecha: $16 - 12 = 4$
  • Continuar con la adición: $4 + 9 = 13$
  • Obtener el valor absoluto: $|13| = 13$

• Paso 5: Consolidación y restas finales

  • Unir todos los componentes de la expresión: $5 - 5 - 13$
  • Operar de izquierda a derecha: $5 - 5 = 0$
  • $0 - 13 = -13$

• Resultado Final:$-13$

Ejercicio 5

• Expresión Planteada:$(5 - 4)^3(6 - 2)^0 + \sqrt{5 + 10^2 + 20} - 2[8 - 2(-2)^2]$

• Paso 1: Resolver el primer término multiplicativo $(5 - 4)^3(6 - 2)^0$

  • Operar dentro del primer paréntesis: $5 - 4 = 1 \rightarrow 1^3 = 1$
  • Operar dentro del segundo paréntesis: $6 - 2 = 4 \rightarrow 4^0 = 1$
  • Multiplicar ambos resultados: $1 \times 1 = 1$

• Paso 2: Resolver el radical continuo $\sqrt{5 + 10^2 + 20}$

  • Calcular la potencia subradical: $10^2 = 100$
  • Sumar todas las cantidades bajo el radicando: $5 + 100 + 20 = 125$
  • Factorizar y simplificar la raíz cuadrada: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$
  • Valor decimal aproximado: $5\sqrt{5} \approx 11.1803$

• Paso 3: Resolver el término con corchete $-2[8 - 2(-2)^2]$

  • Evaluar la potencia de base negativa: $(-2)^2 = 4$
  • Multiplicar por el coeficiente interno: $2(4) = 8$
  • Operar la resta dentro del corchete: $8 - 8 = 0$
  • Multiplicar por el factor externo: $-2(0) = 0$

• Paso 4: Consolidación final de la expresión

  • Expresión Simplificada Exacta: $1 + 5\sqrt{5} - 0 = 1 + 5\sqrt{5}$
  • Expresión Decimal Aproximada: $1 + 11.1803 = 12.1803$

• Resultado Final:   Forma Exacta Radical: $1 + 5\sqrt{5}$   Forma Decimal Aproximada: $12.1803$