Idealni Plini - zapiski

Idealno in Realno Obnašanje Plinov

Tipi Enačb Stanja

Kakšen Termodinamski Sistem Obravnavamo?

• Obravnavajo se preprosti, zaprti, enofazni in enosestavinski sistemi.

• Termodinamsko stanje je opisano z dvema neodvisnima intenzivnima spremenljivkama.

Enačbe Stanja

• Enačba stanja je termodinamska relacija, ki opisuje stanje snovi pri danih fizikalnih pogojih, kot so tlak, volumen, temperatura $(P-V-T)$ ali notranja energija.

Običajni Tipi Enačb Stanja

• Prva enačba stanja: $f(P, v, T) = 0$

• Kalorični enačbi stanja: $f(u, T) = 0$, $f(h, T, P) = 0$

• Temperaturno-entropijske (Gibbsove) enačbe stanja: $f(s, T, P) = 0$, $f(s, T, v) = 0$

Zakoni Obnašanja Idealnih Plinov

• Robert Boylov zakon (1662): Volumen določene mase plina je obratno sorazmeren s tlakom pri konstantni temperaturi.

  • $V \propto \frac{1}{P}$

  • $P \propto \frac{1}{V}$

  • $P<em>1V</em>1 = P<em>2V</em>2$

• Jacques Charlesov zakon (1780): Volumen plina določene mase pri določenem tlaku je premo sorazmeren absolutni temperaturi plina.

  • $V \propto T$

  • $\frac{V<em>1}{T</em>1} = \frac{V<em>2}{T</em>2}$

  • $V<em>1T</em>2 = V<em>2T</em>1$

• Joseph Louis Gay-Lussacov zakon (1800-1802): Tlak plina določene mase in volumna je premo sorazmeren absolutni temperaturi plina.

  • $P \propto T$

  • $\frac{P<em>1}{T</em>1} = \frac{P<em>2}{T</em>2}$

  • $P<em>1T</em>2 = P<em>2T</em>1$

• Amadeo Avogadrov zakon (1811): Enaki volumni vseh plinov pri enaki temperaturi in tlaku imajo enako število molekul.

  • $V \propto N$

  • $\frac{V<em>1}{N</em>1} = \frac{V<em>2}{N</em>2}$

• Splošna plinska enačba: $V = f(\frac{T}{P})$

Izpeljava Splošne Plinske Enačbe

• Spremembe glede na zakone idealnega obnašanja plinov:

  • Boyleov zakon: $V<em>2 = V</em>1 \frac{P<em>1}{P</em>2}$

  • Gay-Lussacov zakon: $P<em>3 = P</em>2 \frac{T<em>3}{T</em>2}$

  • Charlesov zakon: $V<em>3 = V</em>2 \frac{T<em>3}{T</em>2}$

  • Kombinacija idealnih plinskih zakonov:

    • $\frac{P<em>1V</em>1}{T<em>1} = \frac{P</em>3V<em>3}{T</em>3}$

    • Clapeyronova izpeljava iz empiričnih zakonov

Kombinacija Idealnih Plinskih Zakonov

• $\frac{P<em>1 V</em>1}{T_1} = \frac{P}{T} V \rightarrow \frac{P V}{T} = const \rightarrow \frac{P V}{T} = m R$

  • R - specifična plinska konstanta

  • Nekatere vrednosti za R:

    • $H_2O$ (vodna para): $461.5 J/(kgK)$

    • He (helij): $2077.1 J/(kgK)$

    • $H_2$ (vodik): $4124.2 J/(kgK)$

Definicije Vseh Uporabnih Enačb Stanja Za Idealne Plina

• Idealni plin je snov za katero velja spodnji izraz: $P v = R T$

  • P - absolutni tlak

  • v - specifični volumen

  • R - specifična plinska konstanta

  • T - absolutna temperatura

• $R = \frac{R_0}{M}$

  • $R_0$ - univerzalna plinska konstanta = $8314.472(15) J/(kmol K)$

  • M - molska masa

• Izrazi:

  • $P = \rho R T$ (gostota)

  • $P = \frac{N R_0 T}{V}$ (število molov)

  • $P = \frac{m R_0 T}{MV}$

Izpeljava Enačbe Stanja Za Idealne Plina

• Iz statistične termodinamike, s predpostavkami:

  • Molekule plina so točke brez volumna.

  • Molekule si izmenjujejo gibalno količino na podlagi idealnih trkov.

  • Kinetična energija je enakomerno razdeljena po vseh prostostnih stopnjah molekule.

  • Temperatura je sorazmerna s povprečno kinetično energijo molekul.

Enačba Stanja Realnega Plina

• Plin z nizko gostoto se obnaša kot idealni plin.

• Plin z visoko gostoto ima veliko neidealnih trkov med molekulami, kar povzroča neidealno obnašanje.

• Medmolekulske privlačne sile povzročajo nižji tlak kot pri idealnem plinu.

  • V idealnem plinu ni medmolekulskih sil.

  • Molekule v idealnem plinu so točke - nimajo volumna.

• Pri realnem plinu potrebujemo pri visokih tlakih večji tlak kot pri idealnem plinu, da ga stisnemo na isti volumen zaradi končne velikosti molekul plina.

• Pri realnem plinu potrebujemo pri nizkih tlakih manjši tlak kot pri idealnem plinu, da ga stisnemo na isti volumen zaradi medmolekulskih sil.

Realni Plin

• Desno od G: plin

• Levo od F: kapljevina

• F: vrelišče

• G: kondenzacijska točka

• FG: ravnotežje kapljevite in plinaste faze

• FA: pregreta kapljevina

• CG: podhlajeni plin

• F′A: raztegovana kapljevina

• Rdeča krivulja: kritična izoterma

• Točka K: kritična točka

• Svetlo modre črte: nadkritične izoterme

• Zeleno: metastabilna stanja

• Debela črna pika označuje kritično točko v grafu P-v-T za propan. Pri temperaturah in tlakih nad kritično vrednostjo Tc in Pc kapljevite in plinaste faze ne razlikujemo.

• Kritična točka je točka v P-v-T prostoru, definirana z najvišjo možno temperaturo in najvišjim možnim tlakom pri katerem lahko opazujemo kapljevito in plinasto fazo.

• V kritični točki so vse snovne lastnosti plina enake vsem snovnim lastnosti kapljevine.

  • $T_C$ - kritična temperatura

  • $P_C$ - kritični tlak

  • $v_C$ - kritični specifični volumen

• Odstopanja od vedenja idealnega plina se kažejo v odstopanju stisljivostnega faktorja $Z = \frac{Pv}{RT}$ od vrednosti 1.

  • idealen plin: $Z = \frac{P v}{R T} = 1$

  • realni plin: $Z = \frac{P v}{R T} \neq 1$

  • Stisljivostni faktor je odvisen samo od kritične temperature in tlaka.

    • Reducirane lastnosti plina: $P<em>R=\frac{P}{P</em>C}$, $T<em>R = \frac{T}{T</em>C}$

    • $Z = Z(P<em>R, T</em>R)$

• Primer 3: Določanje stisljivostnega faktorja za kisik

  • Podatki: $T = 250 K$, $P = 2500 kPa$

  • $T<em>C = 154.8 K$, $P</em>C = 5080.0 kPa$

  • $T<em>R = \frac{250.0 K}{154.8 K} = 1.61$, $P</em>R = \frac{2500.0 kPa}{5080.0 kPa} = 0.492$

  • $Z \approx 0.97$ (Iz grafa)

• Veljavnost izračuna z idealnim plinom:

  • Če je $0.95 \le Z \le 1.05$ lahko računamo z idealnim plinom!

Neidealno Obnašanje Plinov

• Van der Waalsova enačba stanja:

  • $(P + a(\frac{1}{v})^2)(v-b) = RT$

  • Korekcija zaradi privlačnih sil.

  • Korekcija specifičnega volumna zaradi končnega volumna molekul.

  • Preurejena oblika: $v^3-\frac{RT}{P}v^2+(a/P)v - ab/P$ Koeficienti v van der Waalsovi enačbi stanja:

    • $a = \frac{27 R^2 T<em>C^2}{64 P</em>C}$

    • $b = \frac{R T<em>C}{8 P</em>C}$

Druge Enačbe Stanja

• Dieterici, Redlich-Kwong, Beatie-Bridgeman, Benedict-Webb-Rubin, Virial

• Virusna oblika enačbe stanja: $P = \frac{RT}{v} + \frac{A(T)}{v^2} + \frac{B(T)}{v^3} + \frac{C(T)}{v^4}$

• Primer 4: Izračun tlaka pare

  • Podatki: $T = 500°C = 773 K$, $\rho = 24.0 kg/m^3$

  • Izračun iz enačbe za idealni plin: $P = \rho R T = 24 \frac{kg}{m^3} \times 461,5 \frac{J}{kgK} \times 773 K = 8571 kPa$

  • Izračun iz van der Waalsove enačbe: $P =$Izraz$</p></li></ul></li><li><p>Primer 5: Določitev specifičnega volumna kisika pri 250 K in 2500 kPa. * (a) z idealnim plinskim zakonom, (b) stisljivostnega faktorja in (c) van der Waals-ove enačbe.</p><ul><li><p>A comparison of the calculated specific volume of oxigen O2 found using the ideal gas law and the van der Waals equation. The differences between the two calculations are greater at higher pressures and lower temperatures, where the gas density is larger.</p></li></ul></li></ul><h3 id="4d71193f-7747-41c2-9b97-2190a986ff09" data-toc-id="4d71193f-7747-41c2-9b97-2190a986ff09" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Termodinamski Procesi</h3><h3 id="ffd9e5d8-fec4-4907-b6ec-713096ffb778" data-toc-id="ffd9e5d8-fec4-4907-b6ec-713096ffb778" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Termodinamski Procesi V P-v-T Prostoru</h3><ul><li><p>$P = \frac{R T}{v} \rightarrow xy$</p></li><li><p>Krivulje konstantne temperature so hiperbole, ki sledijo enačbi stanja idealnega plina.</p></li><li><p>Procesa pri konstantnem tlaku (1-2) in konstantnem volumnu (2-3) sta prikazana v P-v koordinatah za primer idealnega plina.</p></li><li><p>V T-v koordinatah so krivulje konstantnega tlaka premice, ki sledijo enačbi stanja idealnega plina.</p></li></ul><img src="https://knowt-user-attachments.s3.amazonaws.com/a58d02c4-789d-48e8-a2bd-d84de50f6ca6.png" data-width="75$\alphaV = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})P = \frac{1}{T}$</p></li><li><p>$\betaT = - \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial P})T = \frac{1}{P}$</p></li><li><p>Toplotna kapaciteta pri konstantnem volumnu:$cV = (\frac{\partial u}{\partial T})V$</p></li><li><p>Toplotna kapaciteta pri konstantnem tlaku:$cP = (\frac{\partial h}{\partial T})P$</p></li><li><p>Za monoatomske idealne pline je$cV = \frac{3}{2}R$,$cP = \frac{5}{2}R$</p></li><li><p>Za dvoatomske idealne pline je$cV = \frac{5}{2}R$,$cP = \frac{7}{2}R$</p></li><li><p>Za tri ali več atomske idealne pline je$cV = 3R$,$cP = 4R$</p></li><li><p>Razmerje specifičnih toplot:$\gamma=\frac{Cp}{Cv}$</p><ul><li><p>Monoatomni plini:$\gamma=1.667$</p></li><li><p>Dvoatomni plini:$\gamma=1.4$</p></li><li><p>Tri ali več atomni plini:$\gamma=1.33$</p></li></ul></li></ul><h3 id="b3a5ef0c-e2c6-44f5-aa15-4b4a09c374d9" data-toc-id="b3a5ef0c-e2c6-44f5-aa15-4b4a09c374d9" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Kalorične Enačbe Stanja</h3><ul><li><p>$du = c_V dT$(sprememba notranje energije)</p></li><li><p>$dh = c_P dT$(sprememba entalpije)</p></li></ul><img src="https://knowt-user-attachments.s3.amazonaws.com/9c1727a4-15ea-464b-9389-6d0df230af0a.png" data-width="75$dU = T dS - P dV$</p></li><li><p>Sprememba entalpije:$dH = T dS + V dP$</p></li><li><p>Izračun entropije idealnega plina:</p><ul><li><p>$\Delta S = \int{1}^{2} \frac{Cv}{T} \,dT + \int{1}^{2} \frac{R}{V}dV$</p></li><li><p>$\Delta s = \int \frac{c dT}{T} + R ln(\frac{v2}{V1})$</p></li></ul></li></ul><h3 id="23874140-a221-4e6f-9b6a-ff0554e77994" data-toc-id="23874140-a221-4e6f-9b6a-ff0554e77994" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Izentropni Procesi</h3><ul><li><p>Toplotno izoliran in povračljiv sistem.</p></li><li><p>Relacija med tlakom in temperaturo :$T V^{\gamma-1}=const.$</p></li></ul><img src="https://knowt-user-attachments.s3.amazonaws.com/9328c058-d1d6-48ad-9a73-4d206d5937e2.png" data-width="75$P V^n = const.$, kjer je n poljubna konstanta.</p></li><li><p>V primeru$n = 1$imamo izotermni proces</p></li><li><p>Če$n = 0$, imamo izobarni proces</p></li><li><p>Izohorni proces: volumen je konstanten,$V = const.$$ ,n = +

  

  Ekspanzija Idealnega Plina V Prazen Prostor

  • Adiabatno raztezanje v prazen prostor je nepovračljiv proces, zato se entropija spreminja.

  • V this range of we K can c 1 alcu e la m te j daj velja: / w 0.95 Z .05 V t m ob oč u lahko računamo z idealnim plinom! / v p p i r th v ideal rimerih / i primer / : gas! in cases first case 0 R Z T Z     
    1 1