Kapitel 3 – Multivariate Zusammenhangsmaße

Bedingte empirische Momente

• Idee: Untersuche Kenngrößen einer Variablen $Y$ getrennt nach Ausprägungen einer zweiten Variablen $X$ ("Bedingung auf $X = \xi_i$").
• Bedingtes arithmetisches Mittel von $Y\mid X = \xi_i$
  • Aus Rohdaten (Urliste) – nur Wertepaaren mit $X = \xi_i$ verwenden:
  • $\bar y<em>{Y\mid X=\xi</em>i}=\dfrac{1}{n<em>i}\sum</em>{\nu : x<em>\nu = \xi</em>i} y_\nu$
  • Aus bedingter Verteilung $h<em>{Y\mid X}(y</em>j\mid X = \xi_i)$:
  • $\bar y<em>{Y\mid X=\xi</em>i}=\sum<em>{j=1}^l y</em>j\, h<em>{Y\mid X}(y</em>j\mid X = \xi_i)$
• Bedingte Varianz von $Y\mid X=\xi_i$
  • Aus Urliste:
  • $s^2<em>{Y\mid X=\xi</em>i}=\dfrac{1}{n<em>i}\sum</em>{\nu : x<em>\nu = \xi</em>i}\bigl(y<em>\nu-\bar y</em>{Y\mid X=\xi_i}\bigr)^2$
  • Aus bedingter Verteilung:
  • $s^2<em>{Y\mid X=\xi</em>i}=\sum<em>{j=1}^l\bigl(y</em>j-\bar y<em>{Y\mid X=\xi</em>i}\bigr)^2\,h<em>{Y\mid X}(y</em>j\mid X = \xi_i)$
• Analog bestimmbar: Bedingte Quantile, höhere bedingte Momente (Schiefe, Kurtosis), bedingte Kovarianz.
• Konzept übertragbar auf Datensätze beliebiger Dimension (mehrere bedingende Variablen).

Satz vom totalen Mittelwert

• Liefert Beziehung zwischen bedingten und unbedingten (marginalen) Mitteln.
• Beispiel Szenario Klausurleistung:
  • $Y$ = erreichte Notenpunkte.
  • $X$ = Termin (Haupt-Termin HT = 1, Nach-Termin NT = 0).
  • $n$ = Gesamtzahl, $n<em>{HT}$ bzw. $n</em>{NT}$ Teilnehmer je Termin.
• Ableitung:
  • $\bar y=\dfrac1n\sum<em>{\nu=1}^n y</em>\nu = \dfrac{n<em>{HT}}{n}\bar y</em>{Y\mid X=1}+\dfrac{n<em>{NT}}{n}\bar y</em>{Y\mid X=0}$
  • Alternativ in relativen Häufigkeiten $\operatorname{rel}<em>H(X=1)$ und $\operatorname{rel}</em>H(X=0)$.
• Interpretation: Gesamtmittelwert ist gewichtetes Mittel der bedingten Mittelwerte; Gewichte = Anteile der jeweiligen Gruppen.
• Verallgemeinerung: Für diskrete $X$ mit $k$ Kategorien: $\bar y = \sum<em>{i=1}^k \operatorname{rel}</em>H(X=\xi<em>i)\,\bar y</em>{Y\mid X=\xi_i}$.
• Fundamentales Prinzip der bedingten Erwartung in der theoretischen (stochastischen) Formulierung.

Value-at-Risk und Expected Shortfall

• Anwendung bedingter Mittelwerte in der Finanzwirtschaft.
• Datengrundlage: Historische tägliche DAX-Renditen $r_t$ eines 100.000 €-Portfolios, Länge (~20) Jahre.
• Empirisches $0{,}01$-Quantil der täglichen Renditen: $-3{,}87\%$.
  • Täglicher $\operatorname{VaR}_{0{,}99}$: $3{,}87\%\times100\,000€ = 3\,870€$.
• Expected Shortfall (Conditional VaR): Bedingtes Mittel aller Verluste, die schlimmer als das Quantil sind.
  • $ES<em>{0{,}99}=E\bigl[r</em>t\,\bigl|\,r<em>t\le q</em>{0{,}01}\bigr]$
  • Rechnerisch Analog zum bedingten Mittelwertkonzept.
• Relevanz:
  • $VaR$ = Grenzwert, $ES$ = durchschnittlicher Schaden dahinter.
  • Beide Größen Abschätzung des Marktrisikos.

Maßzahlen für lineare Zusammenhänge

Kovarianz

• Formale Definition für Stichprobe der Größe $n$:
  • $c<em>{XY}=\dfrac1n\sum</em>{\nu=1}^n \bigl(x<em>\nu-\bar x\bigr)\bigl(y</em>\nu-\bar y\bigr)$
• Eigenschaften:
  • Wertebereich -\infty < c_{XY} < \infty.
  • $|c_{XY}|$ gibt Stärke (und Vorzeichen) des linearen Zusammenhangs an.
  • Abhängig von Maßeinheiten (skaliert mit Einheiten von (X)·(Y)).
• Geometrische Interpretation: Fläche gemischter Rechtecke relativ zum Schwerpunkt $(\bar x,\bar y)$.
• Visualisierung (Slide 6): Quadranten-Analyse:
  • ++ und -- Quadrant tragen positiv bei, +- und -+ negativ.

Korrelationskoeffizient nach Bravais – Pearson

• Normierte Kovarianz:
  • $r<em>{XY}=\dfrac{c</em>{XY}}{s<em>X\,s</em>Y}$
• Eigenschaften:
  • Wertebereich $-1\le r_{XY}\le1$.
  • Einheitenfrei, erlaubt Vergleich über Skalen.
  • $r_{XY}=\pm1$ → perfekte lineare Beziehung $Y=a+bX$.

Eigenschaften von Kovarianz und Korrelation (zusammengefasst)

• Ungleichung: $c<em>{XY}^2\le s</em>X^2 s<em>Y^2$ entspricht $|r</em>{XY}|\le1$.
• Alternative Kovarianzform: $c<em>{XY}=\dfrac1n\sum</em>{\nu=1}^n x<em>\nu y</em>\nu-\bar x\bar y$.
• Lineare Transformation: Für $U=a+bX$, $V=c+dY$ gilt $c<em>{UV}=b\,d\,c</em>{XY}$ (Skalierungs-Multiplikator).
• Sensitivität: Beide Maße stark ausreißerempfindlich (Quadrate).
• Faustregel (Interpretation $|r_{XY}|$):
  • $=0$ → keine lineare Korrelation.
  • 0<|r|<0{,}5 → schwach.
  • 0{,}5\le|r|<0{,}8 → mittel.
  • 0{,}8\le|r|<1 → stark.

Vorsicht bei Interpretation

• Linearität vs. Nichtlinearität:
  • Beispiel Datenpaar $x<em>v=-4,\dots,4$ und $y</em>v=x<em>v^2$: $r</em>{XY}=0$ trotz perfektem quadratischen Zusammenhang.
• Korrelation ist nicht Kausalität:
  • Dritte Variable könnte verantwortlich sein.
  • Spurious Correlation (Data Mining Fallstricke).
  • Bei echter Kausalität: $r_{XY}$ verrät nicht Richtung (Ursache-Wirkung).

Arithmetische Mittel messbarer Funktionen (Verbindet Konzepte)

• Allgemeines Funktionsmittel: Für $Z=g(X,Y)$
  • $\bar z=\dfrac1n\sum<em>{\nu=1}^n g(x</em>\nu,y_\nu)$.
• Beispiele:
  • Kreuzmoment: $Z=XY\Rightarrow \bar z=\dfrac1n\sum x<em>\nu y</em>\nu$.
  • Kovarianz: $g=(X-\bar x)(Y-\bar y)$.
  • Linearkombination: $Z=aX+bY\Rightarrow \bar z=a\bar x+b\bar y$.
• Sichtweise: Auch Histogramm-Dichten $h<em>{XY}[\xi</em>i,\eta_i]$ oder Kerndichten sind gewichtete arithmetische Mittel.

Rankkorrelationskoeffizient nach Spearman

• Ziel: Stärke einer monotonen Beziehung zwischen ordinalskalierten oder rangierbaren Variablen erfassen.
• Vorgehen:
  • Ersetze ursprüngliche Werte $x<em>\nu,y</em>\nu$ durch ihre Ränge $\operatorname{rank}(x<em>\nu),\operatorname{rank}(y</em>\nu)$.
  • Berechne Quadratsumme der Rangdifferenzen.
• Formel:
  • $r<em>{XY}^{Sp}=1-\dfrac{6\sum</em>{\nu=1}^n\bigl(\operatorname{rank}(x<em>\nu)-\operatorname{rank}(y</em>\nu)\bigr)^2}{n^3-n}$
• Eigenschaften:
  • Wertebereich wie Pearson $[-1,1]$.
  • Robust gegenüber Ausreißern, weil nur Ordnung zählt.
  • Erkennt beliebige monotone, nicht notwendigerweise lineare Zusammenhänge.

Verknüpfungen zu früheren Kapiteln / Praxis:

• Kapitel 2 behandelte univariate Momente; Kapitel 3 erweitert auf multivariate Beziehungen.
• Konzepte wie bedingte Erwartung sind zentral für inferenzstatistische Methoden (Regression, ANOVA, Bayes).
• Finanz-Kennzahlen wie $VaR$/$ES$ illustrieren, wie statistische Theorie unmittelbar in Regulierung (Basel III) oder Risikomanagement mündet.
• Warnung vor Fehlinterpretationen (Korrelation ≠ Kausalität) wichtig für wissenschaftliche Ethik und Evidenzbasierung.