EMS8-Sampling-Redux (2)

Einführung in die Stichprobenverteilungen

• Besprechung von Stichproben und deren Verteilungen als Grundlage.

• Rückblick auf die vorherige Diskussion zur Wahrscheinlichkeitstheorie.

• Ziel: Den Zusammenhang zwischen der Stichprobe und der Stichprobenverteilung verstehen.

Was wir gelernt haben

• Die Stichprobenverteilung wird angenommen, als würden alle Stichproben einer bestimmten Größe genommen.

• In der Praxis ziehen wir jedoch nur eine Stichprobe.

• Fragestellung: Wie können wir die Eigenschaften der Stichprobenverteilung erkennen?

Zukünftige Themen

• Die Wahrscheinlichkeitstheorie bietet die notwendigen Werkzeuge für diese Analyse.

• Der Fokus wird zunächst auf Stichproben aus einer Normalverteilung liegen, gefolgt von einer Verallgemeinerung auf beliebige Verteilungen.

• Wichtige Konzepte:

  • Verzerrung (Bias)

  • Standardfehler (Standard Error)

  • Punktschätzung (Point Estimate)

  • Konfidenzintervall (Confidence Interval)

  • Fehlermarge (Margin of Error)

  • Asymptotische Theorie (Asymptotic Theory)

  • Zentraler Grenzwertsatz (Central Limit Theorem)

Stichproben aus einer Normalverteilung

• Annahme: Zielpopulation Y ∼ N (µ, σ) mit bekanntem σ und unbekanntem µ.

• Ziehen einer Stichprobe von n Einheiten aus der Zielpopulation.

• „epsem“ = „equal probability selection mechanism“

• Berechnung des Stichprobenmittelwerts y¯ zur Schätzung von µ und Untersuchung der Eigenschaften dieser Verteilung.

Schritt 1: Berechnung des Stichprobenmittelwertes

• Formel: y¯ = (1/n) * Σ(yi) für i=1 bis n.

• Da jedes y normalverteilt ist, folgt, dass die Summe n Normalverteilungen auch normalverteilt ist.

• Erkenntnis: y¯ hat eine Normalverteilung, was die Stichprobenverteilung darstellt.

Schritt 2: Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes

• Verwendung der Eigenschaften von Erwartungen:

• Resultat: E[y¯] = µ, was bedeutet, dass der Erwartungswert des Schätzers µ entspricht.

Schritt 3: Varianz des Stichprobenmittelwertes

• Annahme: Var[y¯] = σ²/n, was eine große oder unendliche Zielpopulation voraussetzt.

Stichprobenverteilung

• Definition: Die Stichprobenverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die die Werte eines Schätzers beschreibt, die man bei wiederholten Stichproben der Größe n erwarten würde.

Verzerrung

• Definition: Die Verzerrung eines Schätzers ist die Differenz zwischen dem Erwartungswert des Schätzers und dem wahren Wert.

• Im Fall der Normalverteilung gilt E[y¯] = µ, somit ist der Schätzer unverzerrt, da es keine Diskrepanz gibt.

Standardfehler

• Definition: Der Standardfehler ist die Standardabweichung eines Schätzers. Für die Normalverteilung gilt SE[y¯] = σ / √n.

Fehlermarge und Konfidenzintervalle

• Punktschätzung: Beispiel für eine Punktschätzung von µ aus einer Normalverteilung (mean(y)).

• Nachteil der Punktschätzung: Ignoriert die Variabilität zwischen verschiedenen Stichproben.

• Konfidenzintervall: Intervallschätzung, die einen bestimmten Anteil (z.B. 95%) der berechneten Intervalle beinhaltet. Es hat eine untere und eine obere Grenze.

Konfidenzintervall für den Mittelwert

• Annahme von Y ∼ N(µ, σ) bei bekanntem σ.

• Verteilung: y¯ ∼ N(µ, σ/√n) und z = (y¯ - µ) / (σ/√n) ∼ N(0, 1).

• Berechnung des 95%-Konfidenzintervalls mit Hilfe von Quantilen in der Standardnormalverteilung.

Beispiel für ein Konfidenzintervall

• Berechnung des Konfidenzintervalls: y¯ - 1.96 * SE[y¯] ≤ µ ≤ y¯ + 1.96 * SE[y¯].

Fehlermarge

• Definition: Die Fehlermarge (MoE) ist die Größe des Zufallsstichprobenfehlers.

• Berechnung: MoE = z * SE[y¯].

• Beispiel: Umfrage mit 51% Unterstützung, Berechnung der Fehlermarge = 1.96 * √(Varianz).

Fehlermargen und Stichprobenumfang

• Strategie zur Reduzierung der Fehlermarge: Erhöhung der Stichprobengröße, da der Standardfehler proportional zur Quadratwurzel der Stichprobengröße ist.

Stichproben aus anderen Verteilungen

• Aussage: Die Verteilung des Stichprobenmittelwertes aus anderen Verteilungen kann komplex sein.

• Zentraler Grenzwertsatz: Unabhängig von der Ursprungverteilung hat der Stichprobenmittelwert bei unendlich großem Stichprobenumfang eine Normalverteilung.

Fazit

• Zusammenfassung: Die Konzepte der Stichprobenverteilung, Verzerrung, Standardfehler, Punktschätzung, und Konfidenzintervalle sind crucial für die Statistikauswertung.