Guía Definitiva de Álgebra Lineal: Sistemas, Matrices y Transformaciones

Fundamentos de Sistemas de Ecuaciones Lineales

• Definición de Ecuación: Se entiende como un predicado cuyo valor de verdad (Verdadero o Falso) depende de los valores asignados a las variables involucradas.
• Sistemas de Ecuaciones Lineales: Un sistema puede representarse gráficamente como un conjunto de líneas en el plano real $\mathbb{R}^2$. La solución del sistema corresponde al punto de intersección de estas líneas.
• Representación Gráfica:
  • Para una ecuación como $-x_1 + 3x_2 = 3$, se pueden determinar los interceptos:
    • Si $x_1 = 0$, entonces $3x_2 = 3 \Rightarrow x_2 = 1$. Punto: $(0, 1)$.
    • Si $x_2 = 0$, entonces $-x_1 = 3 \Rightarrow x_1 = -3$. Punto: $(-3, 0)$.
  • Para $x_1 - 2x_2 = -1$:
    • Si $x_1 = 0$, alors $-2x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$. Punto: $(0, 1/2)$.
    • Si $x_2 = 0$, alors $x_1 = -1$. Punto: $(-1, 0)$.
• Tipos de Soluciones en Sistemas Lineales:
  • Solución Única: Las rectas se cruzan en un solo punto (ej. el sistema anterior tiene solución única en $(3, 2)$).
  • Inconsistencia (Cero soluciones): Ocurre cuando las rectas son paralelas y no tienen puntos en común. Algebraicamente, esto se manifiesta como una contradicción (ej. $0 = 2$ o $0 = 5$).
  • Soluciones Infinitas: Ocurre cuando las ecuaciones representan la misma recta.

Matrices y Operaciones Elementales de Fila

• Matriz de Coeficientes y Matriz Aumentada:
  • Una matriz de coeficientes captura solo los multiplicadores de las variables.
  • Una matriz aumentada incluye los términos independientes (resultados) del sistema, usualmente denotada como $[A|b]$ de dimensión $2 \times 3$ o $n \times (n+1)$.
• Operaciones Elementales de Fila: Son herramientas para transformar la matriz sin alterar el conjunto solución:
  1. Reemplazo: Sumar a una fila el múltiplo de otra fila ($f_j \leftarrow f_j + k f_i$).
  2. Intercambio: Cambiar de posición dos filas ($f_i \leftrightarrow f_j$).
  3. Escalamiento: Multiplicar todos los elementos de una fila por una constante distinta de cero ($f_i \leftarrow k f_i$).
• Concepto de Pivote: Es la primera entrada distinta de cero en una fila, posicionada lo más a la izquierda posible. En la forma escalonada, cada pivote debe estar en una columna a la derecha del pivote de la fila superior.

Vectores y Combinaciones Lineales

• Definición de Vector: Se entiende como una lista ordenada de números. En $\mathbb{R}^n$, un vector es un punto, pero se visualiza como una flecha para mostrar dirección y longitud (fuerza).
  • Vector Columna: Se escribe verticalmente, ej. $u = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$.
  • Vector Fila: Se escribe horizontalmente, ej. $(3, 4)$.
• Suma de Vectores y Producto por Escalar:
  • La suma se realiza componente a componente.
  • El producto escalar $k u$ escala el vector. Si $k \in \mathbb{R}$, se pueden generar infinitos vectores que forman una línea recta.
• Combinación Lineal: Un vector $w$ es combinación lineal de $u$ y $v$ si existen escalares $c, d$ tales que $w = cu + dv$.
• El Generado (Span): Es el conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de un conjunto de vectores.
  • $\text{Gen}\{v_1, v_2, ..., v_n\} = \{c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n \mid c_i \in \mathbb{R}\}$.
  • Geométricamente, el generado por un vector es una línea; el generado por dos vectores no paralelos en $\mathbb{R}^3$ es un plano.

La Ecuación Matricial $Ax = b$

• Equivalencia Fundamental: El sistema de ecuaciones lineales, la ecuación vectorial $x_1a_1 + x_2a_2 + ... + x_na_n = b$ y la ecuación matricial $Ax = b$ tienen el mismo conjunto solución.
• Multiplicación Matriz-Vector: Se define como una combinación lineal de las columnas de la matriz $A$ utilizando los elementos del vector $x$ como pesos (ponderados).
• Teorema de Existencia de Soluciones: El sistema $Ax = b$ es consistente si y solo si $b$ puede escribirse como una combinación lineal de las columnas de $A$. En términos de matrices, esto significa que la última columna de la matriz aumentada no es una columna pivote.

Independencia Lineal

• Definición: Un conjunto de vectores $\left\{ v_1, v_2, ..., v_n \right\}$ es Linealmente Independiente (LI) si la ecuación vectorial $x_1v_1 + x_2v_2 + ... + x_nv_n = 0$ tiene únicamente la solución trivial ($x_1 = x_2 = ... = x_n = 0$).
• Dependencia Lineal (LD): Si existe una solución no trivial (donde al menos un $x_i \neq 0$).
• Propiedades y Observaciones:
  • Si un conjunto contiene más vectores que entradas en cada vector (más columnas que filas en la matriz de coeficientes), el conjunto es LD.
  • Un conjunto es LD si uno de los vectores es un múltiplo escalar de otro o si el vector cero $\vec{0}$ pertenece al conjunto.

Transformaciones Lineales

• Definición de Transformación: Una función $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ que mapea un vector de entrada $x$ a un vector de salida $T(x) = Ax$.
  • Dominio: $\mathbb{R}^n$ (espacio de entrada).
  • Codominio: $\mathbb{R}^m$ (espacio de llegada).
  • Rango: El conjunto de todas las imágenes de los vectores del dominio bajo $T$. Es el generado de las columnas de la matriz $A$.
• Condiciones de Linealidad: Una transformación es lineal si cumple:
  1. $T(u + v) = T(u) + T(v)$
  2. $T(cu) = cT(u)$, para todo escalar $c$.
  3. Combinada: $T(c_1v_1 + c_2v_2) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2)$.
• Matrices Especiales de Transformación:
  • Rotación (Ángulo $\alpha$): $A_{rot} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$.
  • Reflexión (Eje Horizontal): $A_{ref} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
• Propiedad de Composición: Si se realizan varias transformaciones seguidas, la matriz resultante es el producto de las matrices individuales. Sin embargo, el producto de matrices no es conmutativo ($AB \neq BA$).

Geometría y Magnitudes Vectoriales

• Norma de un Vector: Se define como la longitud del vector, calculada como $\lVert v \rVert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}$.
• Producto Punto (Escalar): Para $u, v \in \mathbb{R}^n$, $u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n$.
• Ortogonalidad: Dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a cero ($u \cdot v = 0$).
• Bases Ortonormales: Un conjunto de vectores que son mutuamente ortogonales y cada uno tiene una norma igual a 1. La matriz identidad $I$ contiene las columnas de la base ortonormal estándar $e_1, e_2, ..., e_n$.

Ejemplos Prácticos y Discusión

• Problema de Distribución de Temperatura: En una placa metálica con temperaturas fijas en los bordes, la temperatura en un nodo interno es el promedio de sus cuatro vecinos. Esto genera un sistema de ecuaciones lineales:
  • $T_1 = \frac{90 + 20 + T_2 + T_4}{4} \Rightarrow 4T_1 - T_2 - T_4 = 110$
  • $T_2 = \frac{20 + 40 + T_1 + T_3}{4} \Rightarrow 4T_2 - T_1 - T_3 = 60$
  • $T_3 = \frac{40 + 30 + T_2 + T_4}{4} \Rightarrow 4T_3 - T_2 - T_4 = 70$
  • $T_4 = \frac{10 + 30 + T_1 + T_3}{4} \Rightarrow 4T_4 - T_1 - T_3 = 40$
• Sistemas Sobredeterminados vs. Subdeterminados:
  • Sobredeterminado: Más ecuaciones que incógnitas. Puede ser consistente solo si las ecuaciones adicionales son redundantes.
  • Subdeterminado: Menos ecuaciones que incógnitas. Si es consistente, generalmente tiene soluciones infinitas debido a la presencia de variables libres.
• Notas sobre el Parcial: Se deben estudiar los primeros 16 ejercicios del libro (Sección I), enfocándose en la matriz aumentada, reducción de filas y consistencia.