Prueba II (Unidad 1) - Colegio Nocedal

Prueba II (Unidad 1)

Pregunta 1

Calcular $log_3 \sqrt{3}$.

• $log<em>3 \sqrt{3} = log</em>3 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} log_3 3 = \frac{1}{2} * 1 = \frac{1}{2}$

Pregunta 2

Si $2^{-4} = \frac{1}{16}$, entonces:

• La forma logarítmica equivalente es $log<em>2 \frac{1}{16} = -4$ o, equivalentemente, $log</em>2 16 = -4$.

  • $a^c = b \Leftrightarrow log_a b = c$

Pregunta 3

Respecto de la expresión $log_a b = c$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

• A. Si $b = 1$, entonces $c = 0$ (Verdadero, ya que $log_a 1 = 0$).

• B. $a$ debe ser un real positivo y distinto de 1 (Verdadero, por definición de logaritmos).

• C. $c$ siempre es un real positivo (Falso, $c$ puede ser negativo, como en $log_2 \frac{1}{2} = -1$).

• D. Si $a = b$, entonces $c = 1$ (Verdadero, ya que $log_a a = 1$).

Pregunta 4

¿Cuál de las siguientes equivalencias es o son verdaderas?

• I. $3^2 = 9 \rightarrow log_3 9 = 2$ (Verdadera).

• II. $2^{-3} = \frac{1}{8} \rightarrow log_{\frac{1}{2}} = -3$ (Falsa).

• III. $4^1 = 4 \rightarrow log_4 4 = 1$ (Verdadera).

Pregunta 5

Según la expresión $5^3 = 125$, se tiene que:

• La forma logarítmica equivalente es $log_5 125 = 3$.

Pregunta 6

Calcular $log_{}\left(\frac{1}{10}\right)^{-2}$

• (Calcúlala DeepSeek)

Pregunta 7

Si $log A = 3$, entonces $log A^{-1}$ es:

• $log A^{-1} = -log A = -3$

Pregunta 8

Si $log A = B$ y $log C = D$, con $D \neq 0$, entonces $log_C A$ es:

• $log_C A = \frac{log A}{log C} = \frac{B}{D}$

Pregunta 9

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

• I. $log A$ es equivalente a $log_{10} A$ (Verdadera, por convención).

• II. $log 10 = 1$ (Verdadera).

• III. $log_2 A$ es equivalente a $2 log A$ (Falsa).

Pregunta 10

Calcular $log_{(2+\sqrt{3})} (2+\sqrt{3})$.

• Como el argumento es igual a la base, el logaritmo es 1.

Pregunta 11

Calcular $log 3 + log 6 - 2 log 4$.

• $log 3 + log 6 - 2 log 4 = log 3 + log 6 - log 4^2 = log 3 + log 6 - log 16 = log \frac{3*6}{16} = log \frac{18}{16} = log \frac{9}{8}$

Pregunta 12

Si $log_a \sqrt{3} = 4$, entonces el valor de $a$ es:

• log_a \sqrt{3} = 4 <=> a^4 = \sqrt{3} <=> a = \sqrt[8]{3}

Pregunta 13

Si $log A + log B - log C = 3$, entonces $10^3$ es igual a:

• log A + log B - log C = 3 <=> log \frac{AB}{C} = 3 <=> \frac{AB}{C} = 10^3

Pregunta 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

• I. $log 1 = 0$ (Verdadera).

• II. $log_a 1 = 0$ (Verdadera).

• III. $log 0 = 1$ (Falsa, $log 0$ no está definido).

Pregunta 15

Calcular $log_{\frac13}(0,\overline{3})^2$ .

• (Calcúlala DeepSeek)

Pregunta 16

Calcular $log_{\sqrt{3}} (\sqrt{75} - 4\sqrt{3})$.

• $log<em>{\sqrt{3}} (\sqrt{75} - 4\sqrt{3}) = log</em>{\sqrt{3}} (5\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3}) = 1$

Pregunta 17

Si $log_3a=3^3$ , entonces el valor de $a$ es:

• (Calcúlala DeepSeek)

Pregunta 18

Si a > 0 distinto de 1 y $x$ e $y$ son reales positivos, ¿cuáles de las siguientes propiedades son verdaderas?

• I. $log<em>a (xy) = log</em>a x + log_a y$ (Verdadera).

• II. $l\log_a (x - y) = \frac{\log_a x}{\log_a}<em>$ (Falsa). La propiedad correcta es: $log</em>a (\frac{x}{y}) = log<em>a x - log</em>a y$

• III. $log<em>a \sqrt{x} = \frac{1}{2} log</em>a x$ (Verdadera).

Pregunta 19

Si $log A = -2$ y $log B = 3$, entonces $log_A B$ es igual a:

• $log_A B = \frac{log B}{log A} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$.

Pregunta 20

La expresión \(\frac{2 \log_5 1.75 + \log_5 16}{1 - \log_5 2.5}\) es igual a:

• (Calcúlala DeepSeek)