Matematika 2 – konspekt

Funkcije više promenljivih

  • Definicija funkcije: (x,y)\in D \subseteq \mathbb R^2 \;\xrightarrow{\;f\;}\; z \in \mathbb R. Za svaku uređenu $n$-torku (x1,\dots ,xn)\in G\subseteq \mathbb R^n postoji tačno jedna vrednost u=f(x1,\dots ,xn).
  • Oblast definisanosti (domain) $D$ – skup svih uređenih parova (x,y) za koje f ima definisanu vrednost.
  • Skup vrednosti – skup svih realnih $z$ koji se dobijaju primenom f na $D$.
  • Nivo-linija (nivo-površ): skup tačaka za koje je f(x,y)=z_0.
  • Mreža nivo-linija: unija više nivo-linija {z=zi}{i=1}^n.

Osnovne karakteristike skupa

  • Unutrašnja tačka $P0$: postoji \varepsilon-okolina $U{\varepsilon}(P_0)\subset D$.
  • Granična tačka: svaka \varepsilon-okolina sadrži i tačke iz $D$ i iz komplementa $\mathbb R^n\setminus D$.
  • Otvoren skup – svi njegovi elementi su unutrašnje tačke.
  • Zatvoren skup – sadrži sve svoje granične tačke.
  • Oblast (region) – neprazan otvoren skup koji se ne može razložiti na uniju dva disjunktna, neprazna, otvorena podskupa.

$\varepsilon$–$\delta$ okoline i rastojanja

  • Standardno (Euklidsko) rastojanje: d2(P,P0)=\sqrt{(x1-x^01)^2+\cdots +(xn-x^0n)^2}.
  • Ostale metrike: d1=\sum |xi-xi^0|, \quad d{\infty}=\maxi|xi-x_i^0|.

Granična vrednost i neprekidnost

  • Definicija granice: \displaystyle \lim{P\to P0} f(P)=L \iff \forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0:\;0<d(P,P_0)<\delta\Rightarrow |f(P)-L|<\varepsilon.
  • Kriterijum nizova: \lim{k\to\infty}Pk=P0\;\Rightarrow\;\lim{k\to\infty}f(P_k)=L.
  • Neprekidnost u tački P0: \displaystyle \lim{P\to P0}f(P)=f(P0).

Pravila neprekidnosti

  1. Zbir, razlika, proizvod i količnik (ako imenilac $\neq0$) neprekidnih funkcija su neprekidni.
  2. Kompozicija neprekidnih funkcija je neprekidna.
  3. Neprekidna na zatvorenom i ograničenom $D$ $\Rightarrow$ ograničena i dostiže $\min$ i $\max$.
  4. Ravnomerna neprekidnost: \forall\varepsilon\;\exists\delta:\;d(P1,P2)<\delta\Rightarrow|f(P1)-f(P2)|<\varepsilon.

Parcijalni priraštaji и parcijalni izvodi

  • Totalni priraštaj: \Delta z=f(x0+\Delta x,\,y0+\Delta y)-f(x0,y0).
  • Parcijalni priraštaji: \Deltax z=f(x0+\Delta x,y0)-f(x0,y0), \Deltay z=f(x0,y0+\Delta y)-f(x0,y0).
  • Parcijalni izvod: f'{xi}(P0)=\displaystyle \lim{\Delta xi\to0}\frac{f(x1^0,\dots ,xi^0+\Delta xi,\dots )-f(P0)}{\Delta xi}. U 2-D: f'x, f'y.

Diferencijabilnost i totalni diferencijal

  • Funkcija je diferencijabilna u P0 ako: \Delta u=\sum{i=1}^n f'{xi}(P0)\,\Delta xi+o!\left(\sqrt{\sum\Delta x_i^2}\right).
  • Totalni diferencijal: du=\sum{i=1}^n f'{xi}\,dxi.
  • Pravila diferenciranja: $d(c f)=c\,df$, $d(f\pm g)=df\pm dg$, $d(fg)=g\,df+f\,dg$, d!\left(\frac fg\right)=\frac{g\,df-f\,dg}{g^2}.

Složene funkcije (lančano pravilo)

  • Za $z=f(u,v)$, a $u=u(x,y)$, $v=v(x,y)$: g'x=f'u\,u'x+f'v\,v'x,\qquad g'y=f'u\,u'y+f'v\,v'y.
  • Diferencijalno: dg=f'u\,du+f'v\,dv.
  • Opšti vektor-oblik za $m$ parametara: g'{tj}=\sum{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial xi}\,\frac{\partial xi}{\partial tj}.

Izvodi višeg reda и Hesijan

  • Drugi parcijalni izvodi: f''{xixj}=\frac{\partial}{\partial xj}!\left(\frac{\partial f}{\partial xi}\right). Za $n=2$ postoje $f''{xx},f''{yy},f''{xy},f''_{yx}$.
  • Mešoviti izvodi su jednaki ako su neprekidni (Clairaut).
  • Drugi diferencijal: d^2z=f''{xx}dx^2+2f''{xy}dx\,dy+f''_{yy}dy^2.
  • Hesijan H=[f''{xixj}], glavni minori $D1,\dots ,D_n$.

Teoreme o implicitnim funkcijama

  • Jedna promenljiva: F(x,y)=0,\;F'_y\neq0 \Rightarrow \exists\;y=\varphi(x) neprekidna i diferencijabilna.
  • Više promenljivih: sistem Fi(x,y)=0 ($i=1..m$) ima jedinstvene $yi(x)$ ako je Jakobi determinant \displaystyle \frac{\partial(F1,\dots,Fm)}{\partial(y1,\dots ,ym)}\neq0.

Vektorska funkcija skalarnog argumenta

  • Parametarski zapis: \mathbf r(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k.
  • Izvod (tangentni vektor): \dot{\mathbf r}=\displaystyle \frac{d\mathbf r}{dt}=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\mathbf r}{\Delta t}.
  • Dužina |\dot{\mathbf r}|=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}.
  • Jednačina tangente: \dfrac{x-x0}{x'}=\dfrac{y-y0}{y'}=\dfrac{z-z_0}{z'}.
  • Pravila derivacije: lin, skalarni i vektorski i mešoviti proizvodi.

Izvod u smeru i gradijent

  • Izvod u smeru jediničnog \mathbf v: f'\mathbf v=f'x vx+f'y vy+f'z v_z.
  • Gradijent: \nabla f=\bigl(f'x,\,f'y,\,f'_z\bigr). Najbrži rast u smeru \nabla f.
  • Tangentna ravan površi z=f(x,y) u M0: z-z0=f'x(x0,y0)(x-x0)+f'y(x0,y0)(y-y0). Normala proporcionalna (-f'x,-f'y,1).

Tejlor & Makloren za više promenljivih

  • Linearna aproksimacija (n=1): \Delta f=f'x\Delta x+f'y\Delta y.
  • Tejlorov polinom reda $n$: Tn=f(P0)+df+\dfrac{d^2f}{2!}+\cdots+\dfrac{d^nf}{n!}.
  • Ostatak (Lagranž): R{n}^{L}=\dfrac{d^{n+1}f(P0+\theta\Delta P)}{(n+1)!}.
  • Peanov ostatak: R{n}^{P}=o(\rho^{n}), \; \rho=\sqrt{\sum\Delta xi^2}.

Ekstremumi

  • Neophodan uslov: \nabla f(P_0)=0.
  • Dovoljni uslovi (2-D): neka A=f''{xx},B=f''{xy},C=f''_{yy}.
    • $AC-B^2>0,\;A<0$ – lokalni maksimum.
    • $AC-B^2>0,\;A>0$ – lokalni minimum.
    • $AC-B^2<0$ – nema ekstremuma.
  • Kvadratna forma Q=\sum a{ij}dxi dx_j i Silvestrovi kriterijumi za $n$ promenljivih.

Implicitni i uslovni ekstremum

  • Za F(x,u)=0: u'{xi}= -\dfrac{F'{xi}}{F'_u}.
  • Lagrangeova funkcija: L=f+\lambda\,\phi, uslovi \nabla_{x,\lambda} L=0.
  • Dovoljan uslov: znak kvadratne forme drugog diferencijala $d_x^2L$ pod uslovima.

Neodređeni integral

  • Primitivna funkcija F'(x)=f(x). Skup \int f(x)dx = F(x)+C.
  • Tabela osnovnih integrala (potencija, logaritam, eksponencijal, trigonometrijske, inverzne trigonometrijske…).
  • Tehnike: smena promenljive, parcijalna integracija (\int udv=u\,v-\int vdu), racionalne, trigonometrijske i iracionalne integracije (Eulerove smene).

Određeni integral (Riman)

  • Integralna suma Sn(f,P,\xi)=\sum f(\xii)\Delta x_i.
  • Rimanov integral: \displaystyle \inta^b f(x)dx = \lim{\lambda(P)\to0} S_n.
  • Svojstva: linearnost, aditivnost, monotonost, procena $m(b-a)\le\int\le M(b-a)$.
  • Veza sa izvodom (Newton–Leibniz): \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a).
  • Smena promenljive i parcijalna integracija za određene integrale.

Geometrijske primene

  • Dužina krive y=f(x): l=\int_a^b \sqrt{1+f'^2}\,dx.
  • Zapremina rotacionog tela oko $Ox$: V=\pi\int_a^b f^2(x)dx.
  • Površina omotača: S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2}\,dx.

Nesvojstveni integrali

  • Definicija sa sing. u granici ili beskonačnosti: \inta^{b} f(x)dx=\lim{\beta\to b^-}\int_a^{\beta}f(x)dx.
  • Apsolutna konvergencija: konvergencija \int |f|.
  • Poredbena pravila (majoranta, $\lim f/g=c$), Dirichlet, Abel kriterijumi.

Dvostruki i trostruki integral

  • Dvojni: \iintD f\,dxdy=\lim{\lambda(P)\to0}\sum f(xk,yk)\Delta v_k.
  • Osobine: linearnost, aditivnost, srednja vrednost \exists (x0,y0):\;\iintD f= f(x0,y_0)\,\sigma(D).
  • Svođenje na iterirane integrale (Fubini): \displaystyle \iintD f\,dxdy=\inta^b!dx\int{y1(x)}^{y_2(x)}f\,dy.
  • Smena promenljivih: \iintD f\,dxdy=\iintG f(\varphi1,\varphi2)|J|\,dudv, J=\det\begin{pmatrix}\partial\varphi1/\partial u & \partial\varphi1/\partial v\ \partial\varphi2/\partial u & \partial\varphi2/\partial v\end{pmatrix}.
  • Polarne koordinate: x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi,\; J=\rho.

Trojni integral

  • Definicija kao granična vrednost zapreminskih suma.
  • Iterirano izvođenje i smene (cilindrične $x=\rho\cos\varphi$, $y=\rho\sin\varphi$, $z=z$, J=\rho; sferne $x=\rho\cos\theta\cos\varphi$, $y=\rho\cos\theta\sin\varphi$, $z=\rho\sin\theta$, J=\rho^2\cos\theta).

Primene dvostrukog/trostrukog integrala

  • Površina ravne oblasti: P=\iint_D dxdy.
  • Zapremina cilindričnog tela: V=\iint_D f(x,y)dxdy.
  • Površina parametarski zadate površi: P(S)=\iintD \sqrt{1+p^2+q^2}\,dxdy, gde p=f'x,\;q=f'_y.

Brojni redovi

  • Red \sum an konvergira ako niz parcijalnih suma Sn konvergira.
  • Koši kriterijum: \forall\varepsilon\;\exists N:\;|a{n+1}+\dots+am|
  • Potreban uslov: \lim a_n=0.

Redovi nenegativnih članova – poredbeni kriterijumi

  1. Ako 0\le an\le bn i \sum bn konvergira $\Rightarrow \sum an$ konvergira.
  2. Ako an\sim bn tada redovi ekvikonvergiraju.
  3. D’Alembert: ako \displaystyle \lim \frac{a{n+1}}{an}=l
  4. Koreni (Cauchy): \lim \sqrt[n]{a_n}=l
  5. Integralni kriterijum: $an=f(n)$, $f$ pozitivna, opada – konvergencija reda $\Leftrightarrow$ konvergencija \int1^{\infty}f(x)dx.

Alternativni redovi

  • Oblik \sum (-1)^{n-1}bn,\;bn>0.
  • Leibnitz: ako $b_n\searrow0 \Rightarrow$ red konvergira (uslovno).
  • Riman: uslovno konvergentan red se može permutovati ka proizvoljnoj sumi.

Stepeni redovi

  • Opšti oblik \sum an(x-x0)^n. Radijus konvergencije R:
    • D’Alembert R=\displaystyle \lim{n\to\infty}\left|\frac{an}{a_{n+1}}\right|.
    • Cauchy–Hadamard R=1/\limsup \sqrt[n]{|a_n|}.
  • Konvergencija apsolutna za |x-x0|
  • Unutar $|x|<R$ dozvoljena član-po-član integracija i derivacija, uz isti radijus.

Kratke formule referisane u tekstu

  • du=\sum f'{xi}dx_i
  • d^2z=f''{xx}dx^2+2f''{xy}dxdy+f''_{yy}dy^2
  • l=\int_a^b\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}dx
  • V{rot}=\pi\inta^b f(x)^2 dx
  • S{rot}=2\pi\inta^b f(x)\sqrt{1+f'^2}\,dx
  • \iintD f(x,y)dxdy = \inta^b dx\int{y1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy
  • \iiint{\Omega} f\,dV = \iiint{\Gamma} f(\varphi1,\varphi2,\varphi_3)|J|\,dudvdt

Napomena: sve formule su date u skladu са прописаном \LaTeX синтаксом.