Matematik Aflevering 3

Opgave 2

• Baggrund: En tabel viser antallet af medlemmer i danske bowlingklubber fra 2014 til 2021.
• Data: Antal år efter 2014 (x) og antal medlemmer (y).
  • 2014 (x=0): 23628 medlemmer
  • 2015 (x=1): 21115 medlemmer
  • 2016 (x=2): 19723 medlemmer
  • 2017 (x=3): 18172 medlemmer
  • 2018 (x=4): 16742 medlemmer
  • 2019 (x=5): 16024 medlemmer
  • 2020 (x=6): 12890 medlemmer
  • 2021 (x=7): 10672 medlemmer
• Model: En lineær model beskriver antallet af medlemmer $f(x) = a \cdot x + b$, hvor $f(x)$ er antallet af medlemmer $x$ år efter 2014.

a) Bestem a og b vha. lineær regression.

• Lineær regression bruges til at bestemme konstanterne $a$ og $b$. Tabellen fra opgaven bruges.
• Resultat: $a = -1718.38$ og $b = 23385.1$

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

• Et residualplot viser forskellen mellem de observerede værdier og de værdier, der er forudsagt af den lineære model.
• Største residual: Punktet (5, 1231).
• Dette indikerer, at den største afvigelse mellem den faktiske værdi og den forudsagte værdi findes ved $x = 5$.

Grafen viser lineær regression, hvor:

• X-aksen repræsenterer antal år efter 2014.
• Y-aksen repræsenterer antal medlemmer.
• Den lineære regressionslinje er givet ved: $y = -1718.38x + 23385.1$

Opgave 3

• Emne: Modellering af delfiners længde som funktion af deres alder.
• Model: Funktionen $f(x) = 257 - 133 \cdot (0.748)^x$, hvor $f(x)$ er delfinens længde i cm, og $x$ er delfinens alder i år.
• Definitionsmængde: $0 \leq x \leq 35$ (delfinens alder).

a) Tegn grafen for f.

• Grafen er tegnet.
• X-aksen repræsenterer delfinens alder (fra 0 til 35 år).
• Y-aksen repræsenterer delfinens længde $f(x)$ i cm.

b) Bestem alderen af en delfin med længden 200 cm.

• Den vandrette linje $y = 200$ skærer grafen i punktet (2.92, 200).
• Konklusion: En delfin med en længde på 200 cm er ca. 3 år gammel.

c) Bestem $f'(7)$, og forklar hvad dette tal fortæller om delfinens længde.

• Udregning af den afledte funktion: $f'(x) = 38.6169 \cdot (0.748)^x$
• f'(x) udregnes:
• $f'(7) = 38.6169 \cdot (0.748)^7 \approx 5.05928$
• Fortolkning: Når delfinen er 7 år gammel, vokser den ca. 5.05928 cm pr. år.

Opgave 4

Opgave 8

• Givet: Vektorerne $\vec{a} = \begin{pmatrix} 6 \ 3 \end{pmatrix}$ og $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \ 7 \end{pmatrix}$.

a) Bestem skalarproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

• Beregning: Skalarproduktet findes ved at multiplicere de tilsvarende komponenter og summere resultaterne:
  $\vec{a} \cdot \vec{b} = (6 \cdot -2) + (3 \cdot 7) = -12 + 21 = 9$
• Konklusion: Skalarproduktet er 9.

b) Bestem koordinatsættet til projektionen $\text{proj}_{\vec{a}}(\vec{b})$ af vektor $\vec{b}$ på vektor $\vec{a}$.

• Formel: Projektionen af $\vec{b}$ på $\vec{a}$ er givet ved:
  $\text{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{a} \cdot \vec{a}} \cdot \vec{a}$
• Beregning af $\vec{a} \cdot \vec{a}$:
  $\vec{a} \cdot \vec{a} = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$
• Indsættelse i formlen:
  $\text{proj}_{\vec{a}}(\vec{b}) = \frac{9}{45} \cdot \begin{pmatrix} 6 \ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 6 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.2 \ 0.6 \end{pmatrix}$
• Konklusion: Projektionen af $\vec{b}$ på $\vec{a}$ har koordinatsættet $\begin{pmatrix} 1.2 \ 0.6 \end{pmatrix}$.