Planimetry: Basic Facts for EGE

Базовые факты о треугольниках и углах. Параллельность прямых

• Углы в треугольнике

  • Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.
  • Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, которые не являются смежными с ним: $\angle 4 = \angle 1 + \angle 2$.

• Признаки равенства треугольников

  • Первый признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Второй признак (по стороне и двум прилежащим углам): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • Третий признак (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

• Равнобедренный треугольник

  • Определение: Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.
  • Свойства медианы, биссектрисы и высоты: Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию равнобедренного треугольника, совпадают.
  • Углы при основании: Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой: $\angle A = \angle C$.

• Центр описанной окружности треугольника

  • Точка, являющаяся центром окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.
  • Важное замечание: в общем случае серединный перпендикуляр к стороне треугольника не проходит через противоположную вершину (это происходит только в равнобедренных и равносторонних треугольниках для перпендикуляра к основанию).

• Свойства и признаки параллельных прямых

  • Если прямые $a$ и $b$ параллельны и пересечены секущей $c$, то справедливы следующие утверждения:
  • Накрест лежащие углы равны: $\angle 1 = \angle 2$.
  • Соответственные углы равны: $\angle 1 = \angle 3$.
  • Сумма односторонних углов равна $180^\circ$: $\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$.

• Обобщенная теорема Фалеса

  • Параллельные секущие, пересекающие стороны угла (или две любые прямые), образуют на этих прямых пропорциональные отрезки:     $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

• Обратная обобщенная теорема Фалеса

  • Если прямые пересекают две другие прямые и отсекают на них пропорциональные отрезки, начиная от вершины (то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$), то такие прямые являются параллельными.

• Признаки подобия треугольников

  • Первый признак: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  • Второй признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Третий признак: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средние линии и медианы треугольника

• Средняя линия треугольника

  • Определение: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
  • Свойство параллельности: Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника: $MN \parallel AC$.
  • Свойство длины: Длина средней линии равна половине длины третьей стороны: $MN = \frac{1}{2} AC$.
  • Подобие: Средняя линия отсекает от исходного треугольника подобный ему треугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади исходного.
  • Разбиение площади: Три средние линии треугольника разбивают его на четыре равных по площади треугольника: $S_1 = S_2 = S_3 = S_4$.

• Медиана треугольника

  • Свойство площадей: Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (треугольника с равной площадью): $S_1 = S_2$.
  • Формула длины медианы: Длина медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$, вычисляется через длины сторон треугольника $a, b, c$ по формуле:     $m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$
  • Точка пересечения медиан (Центроид): Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины:     $\frac{AO}{OM} = \frac{2}{1}$
  • Разбиение на 6 частей: Все три медианы треугольника, пересекаясь, делят его на шесть равновеликих треугольников (площади всех шести маленьких треугольников равны).

Прямоугольный треугольник

• Медиана прямоугольного треугольника

  • Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $m_c = \frac{1}{2} c$.

• Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:     $a^2 + b^2 = c^2$

• Высота в прямоугольном треугольнике

  • Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два треугольника, которые подобны исходному и друг другу: $\triangle ABC \sim \triangle ACD \sim \triangle CBD$.
  • Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу (проекций катетов):     $h^2 = a_c \times b_c$
  • Проекции катетов на гипотенузу связаны со сторонами следующими соотношениями:     $a^2 = a_c \times c$$b^2 = b_c \times c$
  • Длина высоты через катеты и гипотенузу:     $h = \frac{a \times b}{c}$

• Вписанная окружность в прямоугольном треугольнике

  • Вершина прямого угла, точки касания вписанной окружности с катетами и центр вписанной окружности образуют геометрическую фигуру — квадрат.

• Свойство угла в 30 градусов

  • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

• Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

  • Определения тригонометрических функций для острого угла $\alpha$ (где $a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий катет, $c$ — гипотенуза):
  • Синус: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$
  • Косинус: $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
  • Тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$
  • Котангенс: $\cot(\alpha) = \frac{b}{a}$