Mathematik (FHSR 1031) Prüfung Zusammenfassung

Mathematik Fachhochschulreife Prüfung Aufgaben

Aufgabe 1.1: Lösen einer Gleichung

• Die zu lösende Gleichung ist $x - 4x^2 - 5 = 0$.

Aufgabe 1.2: Hochpunkt einer Funktion

• Gegeben ist die Funktion $f(x) = -e^x + 2x + 1, x \in R$.
• Zu zeigen ist, dass das Schaubild von $f$ in $x = ln(2)$ einen Hochpunkt besitzt.
• Dies bedeutet, dass die erste Ableitung an der Stelle $ln(2)$ null sein muss, und die zweite Ableitung negativ.

Aufgabe 1.3: Schaubild und Wertemenge einer trigonometrischen Funktion

• Gegeben ist die Funktion $g(x) = -2sin(x) + 0.5, x \in R$.
• Skizzieren des Schaubilds von $g$ in einem Intervall von zwei Perioden.
• Angabe der Wertemenge von $g$. Da der Sinus zwischen -1 und 1 variiert, variiert $-2sin(x)$ zwischen -2 und 2. Somit variiert $g(x)$ zwischen -2+0.5 = -1.5 und 2+0.5 = 2.5. Die Wertemenge ist also $[-1.5, 2.5]$.

Aufgabe 1.4: Berechnung eines Integrals

• Berechnung des Werts des Integrals $\int g(x) dx$, wobei $g(x) = -2sin(x) + 0.5$.
• $\int g(x) dx = \int (-2sin(x) + 0.5) dx = 2cos(x) + 0.5x + C$.

Aufgabe 1.5: Lösung eines linearen Gleichungssystems

• Bestimmen der Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:
  $2x - z = 6$
  $-x + y - z = -1$
  $2y + z = 8$

Aufgabe 1.6: Analyse eines Funktionsgraphen

• Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion $h$.

• Begründen, welche der drei gegebenen Funktionsterme nicht als Ansatz für $h$ in Betracht kommen:
  (1) $h(x) = ax^2(x+2)(x-3)$
  (2) $h(x) = ax(x+2)^2(x-3)^2$
  (3) $h(x) = ax(x+3)^2(x-2)^2$

• Begründen mit Hilfe des gegebenen Schaubildes von $h$, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
  (1) $h(1) = 2$
  (2) h(1) > 0
  (3) $h'(-2) = 0$
  (4) \int_0^1 h(x) dx < 2