Propiedades de los polígonos

Polígonos

• Un polígono es una porción del espacio limitada por segmentos de recta.
• Estos segmentos se llaman lados del polígono.

Polígono Regular

• Tiene sus lados iguales y sus ángulos internos iguales.

Polígono Convexo

• El segmento de recta que une a cualesquiera de sus puntos se encuentra totalmente en su interior.
• Todos sus ángulos internos miden menos de $180°$.

Polígono Cóncavo

• Al menos un segmento de recta que une a cualesquiera de sus puntos se encuentra en su exterior.

Clasificación de polígonos según el número de lados:

• Triángulo: 3 lados
• Cuadrilátero: 4 lados
• Pentágono: 5 lados
• Hexágono: 6 lados
• Heptágono: 7 lados
• Octágono: 8 lados
• Nonágono: 9 lados
• Decágono: 10 lados
• Endecágono: 11 lados
• Dodecágono: 12 lados
• Tridecágono: 13 lados
• Tetradecágono: 14 lados
• Pentadecágono: 15 lados

Elementos de los polígonos

• Ángulos interiores: फॉर्मados por cada dos lados consecutivos.
• Ángulos exteriores: Ángulos adyacentes a los ángulos interiores, que se obtienen al prolongar los lados de estos.
• Diagonal: Segmento de recta que une un vértice con otro que no es consecutivo a él.
• Radio: Radio de la circunferencia circunscrita en un polígono y se obtiene mediante el segmento de recta que une al centro de esta última con uno de los vértices del polígono.
• Apotema: Segmento de recta perpendicular a cualquiera de los lados de un polígono regular, trazada desde el centro de la circunferencia inscrita en el mismo.
• Ángulo central: Ángulo que forman los radios que pasan por dos vértices consecutivos en un polígono regular.

Propiedades de los polígonos convexos (de $n$ lados)

• Suma de los ángulos interiores: $Sai = 180(n-2)$
• Suma de los ángulos exteriores: $Sae = 360°$
• Medida de cada ángulo interior: $Ai = \frac{Sai}{n} = \frac{180(n-2)}{n}$
• Número de diagonales: $d = \frac{n(n-3)}{2}$
• Medida de cada ángulo exterior: $Ae = \frac{Sae}{n} = \frac{360°}{n}$
• Medida de un ángulo central: $Ac = \frac{360°}{n}$

Ejemplo: Decágono Regular ($n=10$)

• Suma de ángulos interiores:
  $Sai = 180(10-2) = 180(8) = 1440°$
• Medida de cada ángulo interior:
  $Ai = \frac{1440}{10} = 144°$
• Medida de cada ángulo exterior:
  $Ae = \frac{360°}{10} = 36°$
• Número de diagonales:
  $d = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10(7)}{2} = \frac{70}{2} = 35$
• Medida de cada ángulo central:
  $Ac = \frac{360°}{10} = 36°$

Cuadriláteros

• Un cuadrilátero es un polígono de 4 lados.
• En todo cuadrilátero, la suma de sus ángulos interiores es $360°$.

Clasificación de cuadriláteros:

• Paralelogramos: Sus lados opuestos son paralelos.
• Trapecios: Sólo dos lados opuestos son paralelos.
• Trapezoides: No tiene lados paralelos.

Paralelogramo

• Propiedades:
  1. Lados opuestos paralelos.
  2. Lados opuestos congruentes.
  3. Ángulos opuestos congruentes.
  4. Ángulos consecutivos suplementarios (suman $180°$).
  5. Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos congruentes.
  6. Las diagonales se bisecan mutuamente.

Ejemplo: Paralelogramo

• Si ABCD es un paralelogramo, determina los valores de “x” y “z”
  • $B = D$ (ángulos opuestos congruentes) $(2x+3) = 118°$ $2x = 115$ $x = 57.5$
  • $A + D = 180°$ (ángulos consecutivos suplementarios) $(6x+5z) + 118° = 180°$ $(6(57.5) + 5z)° + 118° = 180°$ $345 + 5z + 118° = 180°$ $5z = -283$ $z = -56.6$

Ejemplo: Medidas de ángulos interiores de un cuadrilátero

• Determina las medidas de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD, si $A=(x +10)°$, $B=(7x-5)°$, $C=(8x) °$, $D=(9x + 5)°$
  • La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es $360°$.
  • $(x + 10)° + (7x − 5)° + (8x)° + (9x + 5)° = 360°$
  • $x + 10 + 7x - 5 + 8x + 9x + 5 = 360$ $x+7x+8x+9x= 360-10+5-5$ $25x = 350$ $x = 14$
  • $A = (14 + 10)° = 24°$
  • $B = (7(14) - 5)° = 93°$
  • $C = (8(14))° = 112°$
  • $D = (9(14) + 5)° = 131°$

Casos Particulares de Paralelogramos:

Rectángulo

• Propiedades:
  1. Todos los ángulos internos miden $90°$.
  2. Cada diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes.
  3. Las diagonales se bisecan mutuamente y son congruentes.

Ejemplo: Rectángulo

• Si ABCD es un rectángulo, determina la medida del segmento AC.
  • Las diagonales de un rectángulo se bisecan mutuamente y son congruentes.
  • $3x+15 = 2x + 34$ $3x - 2x = 34 - 15$ $x = 19$
  • $AE = 3x + 15 = 3(19) + 15 = 57 + 15 = 72 = EC$
  • $AC = AE + EC = 72 + 72 = 144$

Cuadrado

• Propiedades:
  1. Paralelogramo con cuatro lados congruentes y todos sus ángulos interiores rectos.
  2. Cada diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos e isósceles congruentes.
  3. Las diagonales se bisecan mutuamente, son congruentes y perpendiculares entre sí.

Rombo

• Propiedades:
  1. Paralelogramo con cuatro lados congruentes.
  2. Cada diagonal divide al rombo en dos triángulos congruentes e isósceles.
  3. Las diagonales se bisecan mutuamente y son perpendiculares entre sí.
  4. Los ángulos interiores de un rombo en general…

Ejemplo: Rombo

• Si ABCD es un rombo, determina los valores de "x" and "y", y el valor de sus ángulos interiores.
  • El rombo tiene sus cuatro lados congruentes.
  • Cada diagonal de un rombo lo divide en dos triángulos congruentes e isósceles.
  • $2x = 33$ $x= \frac{33}{2} = 16.5$
  • $5y - 12 = 33$ $5y = 33 + 12$ $5y = 45$ $y = \frac{45}{5} = 9$
  • $A = C = 60°$
  • $A + B = 180°$ $B = 180° - 60° = 120°$ $B = D = 120°$

Trapecio

• Cuadrilátero con solo dos lados opuestos paralelos.

Trapecio Isósceles

• Los lados no paralelos tienen igual longitud.

• Propiedades:

  1. Los ángulos contiguos a cada uno de los lados no paralelos son suplementarios.
  2. Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son congruentes.
  3. La longitud de la media paralela es: $MN = \frac{AB + DC}{2}$

Ejemplo: Trapecio

• Para el siguiente trapecio, determina los valores de “a” y “b”.
  • Los ángulos contiguos a cada uno de los lados no paralelos son suplementarios.
  • Aunque la figura pareciera un trapecio isósceles, si el problema no lo especifica, no se puede tomar como tal.
  • $3a + 120° = 180°$ $3a = 180 - 120$ $3a = 60$ $a = \frac{60}{3} = 20$
  • $(4b+30) + 2b = 180°$ $4b + 2b = 180 - 30$ $6b = 150$ $b = \frac{150}{6} = 25$

Ejemplo: Media paralela de un trapecio

• Para el siguiente trapecio, si el segmento MN es la media paralela, determina el valor de "m" si b=40 y b'=30.
  • La media paralela es la semisuma de sus bases.
  • $m = \frac{b+b'}{2} = \frac{40+30}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Áreas

Áreas de Polígonos

• Rectángulo: $A = b \cdot h$
• Cuadrado: $A = l^2$
• Paralelogramo: $A = b \cdot h$
• Triángulo: $A = \frac{b \cdot h}{2}$
• Rombo: $A = \frac{D \cdot d}{2}$
• Trapecio: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$
• Polígono regular: $A = \frac{P \cdot a}{2}$, donde P es el perímetro
• Círculo: $A = \pi \cdot r^2$
• El área de un polígono cualquiera es igual a la suma de las áreas de los triángulos que puedan formarse.

Áreas de regiones poligonales

• El área de un rectángulo está dada por el producto de su base y su altura. $A = bh$

Ejemplo:

• Determina el área de un rectángulo con base de 18 cm y perímetro de 48cm.

  • $2b + 2h = 48$ $2(18) + 2h = 48$ $36 + 2h = 48$ $2h = 12$ $h = 6$
  • $A = bh = (18)(6) = 108 cm^2$

• El área de un cuadrado está dada por el cuadrado de la longitud de uno de sus lados. $A = l^2$

Ejemplo:

• Determina el área de un cuadrado si cada lado mide 9 cm.

  • $A = l^2 = (9cm)^2 = 81cm^2$

• El área de un paralelogramo está dada por el producto de su base y su altura. $A = bh$

Ejemplo:

• Determina el área de un paralelogramo con base de 12 cm y altura de 8 cm.

  • $A = bh = (12cm)(8cm) = 96 cm^2$

• El área de un triángulo es igual al semiproducto de la base por la altura. $A = \frac{bh}{2}$

Ejemplo:

• Determina el área de un triángulo si su base mide 12 cm y su altura es de 9 cm.

  • $A = \frac{bh}{2} = \frac{(12cm)(9cm)}{2} = 54 cm^2$

• El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por la altura.

Ejemplo:

• Determina el área de un trapecio si su base mayor es de 25 cm, su base menor mide 12 cm y su altura es de 3 cm.

  • $A = \frac{(b + b')h}{2} = \frac{(25cm + 12cm)(3cm)}{2} = 55.5 cm^2$

• El área de un rombo está dada por el producto de sus diagonales dividido entre dos.

Ejemplo:

• Determina el área de un rombo si sus diagonales miden 17 y 21 cm, respectivamente.
  • $A = \frac{dd'}{2} = \frac{(17cm)(21cm)}{2} = 178.5 cm^2$

Circunferencia y círculo

• Circunferencia es una curva plana y cerrada y cuyos puntos equidistan de un punto interior fijo llamado centro.
  • Perímetro = $\pi d = 2 \pi r$
• Círculo es el conjunto de puntos dentro de una circunferencia.
  • Área = $\pi r^2$

Elementos de una circunferencia

• Radio: cualquier segmento de recta que une al centro con un punto de la circunferencia.
• Cuerda: Cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.
• Diámetro: Cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro. Es la cuerda de mayor longitud. Su tamaño es dos veces el radio.
• Secante: Cualquier recta que corta la circunferencia en dos puntos.
• Tangente: Cualquier recta que toca a la circunferencia en un punto.

Ángulos en la circunferencia

• Arco: cualquier porción de la circunferencia. Arco AB = $\stackrel{\frown}{AB}$
• Ángulo Central: Cualquier ángulo con vértice en el centro y cuyos lados son radios de la circunferencia. $\angle AOB = \stackrel{\frown}{AB}$
• Ángulo Inscrito: Cualquier ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia. $\angle ACB = \frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2} = \frac{\angle AOB}{2}$

Ejemplo:

• De acuerdo con la figura, ¿cuál es el valor de "x" y "z"?
  • El ángulo 120° y el ángulo z suman 180°
  • $z + 120° = 180°$ $z = 180° - 120° = 60°$
  • El ángulo inscrito es la mitad del ángulo central.
  • $x = \frac{z}{2} = \frac{60°}{2} = 30°$

Etapa en VIDEOS

• LECCIÓN 1. POLIGONOS
  1. Los Polígonos - Geometría para niños
  2. (87) POLIGONOS REGULARES Super facil - Para principiantes - YouTube
• LECCIÓN 4. PERÍMETROS Y ÁREAS
  1. Área y perímetros de las figuras geométricas (cuadrado, rombo, triángulo, rectángulo, entre otras)
• LECCIÓN 2. PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS
  1. ELEMENTOS DE UN POLIGONO REGULAR Super facil - Para principiantes
  2. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
• LECCIÓN 3. CUADRILÁTEROS
  1. CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS | ¿Cómo se clasifican los cuadriláteros? | SÚPER FÁCIL - YouTube
  2. Ángulos interiores de un cuadrilatero
  3. Ángulos interiores y exteriores en un Paralelogramo o Romboide
• LECCIÓN 5. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
  1. Circunferencia y perímetro del círculo