Tema 3: Probabilidad

Tipos de experimentos:

  • determinista: siempre ocurre el mismo resultado

  • aleatorio: mismas o similares condiciones, distintos resultados. Estudiado por probabilidad.

Conceptos básicos:

  • Suceso elemental: cada uno de los resultados posibles de un experimento. No se pueden descomponer en otros más simples. Ej: las cartas.

  • Suceso: conjunto de sucesos elementales que representa una observación del resultado del experimento.

  • Espacio muestral (Ω): conjunto formado por todos los sucesos elementales.

  • Suceso seguro: formado por todos los sucesos elementales de un espacio muestral.

  • Suceso imposible(ø): suceso que no contiene ningún suceso elemental.

  • Suceso complementario: dado un suceso A, sería su contrario. Ej: si de una moneda sale cruz, el complementario sería cara.

Teoría de conjuntos

  • Unión de los sucesos A y B: AUB, la probabilidad de que ocurra uno, otro o los 2. Todos los sucesos elementales de A y B.

    P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

  • Intersección de los sucesos A y B: A∩B, solo ocurre A y B en conjunto.

    P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(AUB)

  • Diferencia de A y B: A - B Sucesos que pertenecen a A pero no a B y viceversa.

    P(A∩BC)=P(A-B)=P(A)-P(A∩B)

    P(AC∩B)=P(B-A)=P(B)-P(A∩B)

  • Incompatibles o mutuamente excluyentes: no pueden ocurrir simultáneamente. Su intersección es el suceso nulo.

Propiedades a conocer:

Definición de probabilidad:

Clásico:

  • el espacio muestral es finito.

  • Todos los sucesos elementales son equiprobables.

  • Probabilidad es el cociente entre los sucesos favorables y los posibles (el tamaño del espacio muestral).

Probabilidad condicionada

Probabilidad de que suceda un suceso A, condicionado a que el suceso B haya ocurrido ya, como el cociente:

Propiedades de la probabilidad condicionada:

Son las mismas que las siete reglas, solo que partidas entre B (se fija la condición)

Independencia de sucesos

Un suceso A es independiente de otro B cuando la probabilidad de A no depende de que ocurra o no B.

P(A/B)=P(A)

Propiedades de la independencia de sucesos:

Si A es independiente de B:

  • B es independiente de A .

  • A y BC son independientes.

  • AC y B son independientes.

  • AC y BC son independientes.

(C=contrario)

Con la unión: suma de probabilidades.

Con la intersección: multiplicación de probabilidades.

Para que se cumpla la independencia:

A y B son independientes si P(A∩B) = P(A)*P(B)

Sucesos incompatibles VS independientes

INDEPENDENCIA E INCOMPATIBILIDAD SON COSAS OPUESTAS

  • Cuando son incompatibles, no pueden suceder a la vez, entonces se afectan.

  • Cuando son independientes el uno ocurre independientemente del otro.

Comprobaciones:

Incompatibles: P(A∩B)=0

Independientes: P(A∩B)=P(A)*P(B)

Teoremas

Teorema de la probabilidad compuesta

P(A∩B)=P(A)*P(B/A)

Teorema de la probabilidad total

P(A)=P(B)*P(A/B)+P(C)*P(A/C)

P(A)=P(B)*P(B/A)+P(C)*P(C/A)

Teorema de Bayes

P(A/B)=(P(A)*P(B/A))/P(B)