Sistemi a Tempo Discreto

Richiami

Un sistema è un insieme di elementi interagenti con interazione interna ed esterna. Classificazione temporale:

Sistemi a tempo continuo: Variabili di ingresso $u(t)$ e uscita $y(t)$ variano continuamente $(t \in \mathbb{R})$ .
Sistemi a tempo discreto: Variabili $u(t)$ e $y(t)$ variano in istanti discreti $(t \in \mathbb{Z})$ (spesso $k$ invece di $t$ ).
Sistemi ad eventi discreti: Variabili $u(t)$ e $y(t)$ variano ad ogni evento $E$ , senza temporizzazione predefinita.

"Discreto" implica discontinuità e grafici discontinui. Non ci sono integrali o limiti, ma successioni. Motivazioni per l'uso del tempo discreto:

Elettronica digitale:
- Sistemi ibridi con segnali discreti.
- Convertitori DAC e ADC.
- Campionamento: $f(t) \rightarrow f(kTs)$ , dove $k = 0, 1, 2, \dots$ e $Ts$ è il periodo di campionamento (più piccolo = più preciso).
- Holding: Ricostruzione da $f(kTs)$ a $f(t)$ . Metodo più semplice: ricostruttori di ordine zero, $f(t) = f(kTs)$ per $t \in [kTs, (k+1)Ts)$ .
Quantità intrinsecamente discrete:
- Valutazione scorte, profitti, previsioni macroeconomiche, produttività, manutenzione, gestione del personale.
Metodi matematici numerici:
- Discretizzazione del tempo per risolvere problemi a tempo continuo (approssimazione di derivate o integrali).

Esempio 1: Circuito Elettrico

Approssimazione discreta della derivata:

$\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y(t + Ts) - y(t)}{Ts}$

Per ogni $k \in \mathbb{N}$ ,

$ya(k+1) = (1 - \alpha Ts)ya(k) + \beta Ts u(k)$

Confronto fra $y(t)$ e $ya(kTs)$ : Più piccolo è $T_s$ , migliore è l'approssimazione.

Esercizio: Approssimazione discreta dell'equazione differenziale del secondo ordine:

$y''(t) + \alpha y'(t) + \beta y(t) = \gamma u(t)$

Soluzione:

$y(k+2) + (\alpha Ts - 2)y(k+1) + (\beta Ts^2 - \alpha T_s + 1)y(k) = \gamma u(k)$

Successione Finita

$t_k$ non deve essere equispaziato; può essere una sequenza di istanti non necessariamente equispaziati. Ponte tra sistemi a tempo discreto e ad eventi discreti.

Esempio 2: Ammortamento

Acquisto di un bene di valore $C$ con pagamento a rate. Variabili:

$y(k)$ : debito rimanente
$u(k)$ : pagamento attuale
$r(k)$ : tasso di interesse

Equazione:

$y(k) = y(k-1) + r(k)y(k-1) - u(k)$

Esempio 3: Modello del PIL

Modello a tempo discreto del secondo ordine (Samuelson):

$y(k) = c(k) + i(k) + u(k)$

Dove:

$c(k)$ : spese dei consumatori
$u(k)$ : investimenti pubblici
$i(k)$ : investimenti dei privati

Ipotesi di Samuelson:

$c(k) = \alpha y(k-1)$
$i(k) = \beta (c(k) - c(k-1)) = \alpha \beta (y(k-1) - y(k-2))$

Equazione alle differenze:

$y(k) - \alpha(1 + \beta)y(k-1) + \alpha \beta y(k-2) = u(k)$

Equazione alle differenze lineare di ordine $n$ :

$y(k) + a1 y(k-1) + \dots + am y(k-m) = b0 u(k) + b1 u(k-1) + \dots + b_m u(k-m)$

Linearità:

Successione incognita $y(k)$ ei suoi valori ritardati sono combinati linearmente.
Se $y1(k)$ è la soluzione relativa a $u1(k)$ e $y2(k)$ è la soluzione relativa a $u2(k)$ , allora $(\alpha u1(k) + \beta u2(k))$ è pari a $(\alpha y1(k) + \beta y2(k))$ .

Teorema di Shannon

Trasformata di Fourier:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$

Ampiezza spettrale: modulo di $F(\omega)$ . Funzione a banda limitata: $\lVert F(\omega) \rVert = 0$ per \lVert \omega \rVert > B, dove $B$ è la larghezza di banda.

Teorema di Shannon: Per evitare aliasing, la frequenza di campionamento deve essere almeno due volte maggiore di $B/2\pi$ , ovvero T_s < \pi/B. In tal caso:

$f(t) = \sum{k = -\infty}^{+\infty} f(kTs) \frac{\sin[\omega0(t - kTs)/2]}{\omega0(t - kTs)/2}$

Esempio 4: Azienda con Tre Reparti

Reparti: acquisizione, produzione, vendite.

$x_1(k)$ : quantità di materiale grezzo nel magazzino.
$\delta_1$ : frazione di materiale scartato.
$(1 - \delta1) \rho1$ : frazione di materiale mandata alla produzione.
$u(k)$ : quantità di materiale acquistata.
$x_2(k)$ : quantità di prodotto nel reparto produzione.
$u_2$ : frazione ricevuta dal reparto forniture.
$\delta_2$ : parte scartata.
$\rho_2$ : frazione inoltrata alla distribuzione.
$x_3(k)$ : quantità di prodotto nel reparto distribuzione.
$\delta_3$ : frazione difettosa restituita.
$\rho$ : frazione venduta al prezzo unitario $P$ .

Grandezze:

Rosso: ingresso e uscita.
$x1(k)$ , $x2(k)$ , $x_3(k)$ : stato del sistema.
$\rho x_3(k)$ : quantità venduta.

Esempio 5: Servizio con Capacità Massima

Capacità massima: $C$ . $n$ utenti, ognuno con assorbimento $xi(t)$ , vincolo $\sum{i=1}^{n} xi(t) \leq C$ . Ogni $tk$ quando $\sum{i=1}^{n} xi(t) = C$ (non equispaziati).

Multiplicative Decrease: xi(t) = \betai xi(t), con 0 < \betai < 1. Additive Increase: xi(t) = \betai xi(t) + \deltai(t - tk), per tk < t < t_{k+1}.

Equazione Vettoriale Lineare

$x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)$

Con $x \in \mathbb{R}^n$ e $u \in \mathbb{R}^m$ . Matrice $A$ : $n \times n$ , matrice $B$ : $n \times m$ . Equazione di uscita:

$y(k) = Cx(k) + Du(k)$

Con $y \in \mathbb{R}^p$ , matrice $C$ : $p \times n$ , matrice $D$ : $p \times m$ . Modelli con $D = 0$ sono detti strettamente propri.

Nomenclatura:

$A$ : matrice dinamica del sistema
$B$ : matrice degli ingressi
$C$ : matrice delle uscite
$D$ : legame diretto ingresso-uscita

Stato del sistema: $x = [x1, x2, \dots, x_m]^T$ . Misurabile: uscita $y$ .

Esempio 6: Allevamento di Conigli

Conigli suddivisi per età (1, 2, 3 anni). Vendita a 3 anni.

Sopravvivenza:

$s_0$ : alla nascita
$s_1$ : nel secondo anno
$s_2$ : nel terzo anno

Figli generati:

$f_2$ : nel secondo anno
$f_3$ : nel terzo anno

Costi unitari:

$c_1$ : 1 anno
$c_2$ : 2 anni
$c_3$ : 3 anni

Variabili:

$x_i(k)$ : numero di conigli di età $i$ all'anno $k$ .
$u(k)$ : numero di capi neonati acquistati (costo $C_0$ ).
$y(k)$ : differenza tra ricavi e costi (vendita a prezzo $p$ ).

Modelli di Leslie

Popolazione divisa in $n$ fasce all'anno $k$ .

Equazioni (fasce da 2 a $n$ ):

$x{i+1}(k+1) = si x_i(k)$

Prima equazione (viventi):

$x1(k+1) = s0 (f1 x1(k) + f2 x2(k) + \dots + fm xm(k)) + u(k)$

Oppure (beni materiali):

$x_1(k+1) = u(k)$

Esempio 7: Modello di Leslie nella Gestione Industriale

Pianificazione produzione o manutenzione. Vetustà degli apparati.

$g_i$ : tasso di guasti non riparabili
$si = 1 - gi$ : tasso di sopravvivenza

Matrice di Leslie (senza riacquisto):

$L0 = \begin{bmatrix} 0 & s1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & s2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \cdots & s{n-1} \ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$

Con riacquisto:

Acquisto di $u(k)$ apparati nuovi:

$x(k+1) = L_0 x(k) + B u(k)$

Dove $B = [1, 0, \dots, 0]^T$ e $x(k) = [x1, x2, x3, \dots, xn]^T$ .

Se $u(k) = U$ (costante):

$x(k) = [U, s1 U, s1 s2 U, \dots, s1 s2 \dots s{n-1} U]^T$

Se $N$ è il numero totale desiderato:

$$ U = \frac{N}{\sum{i=1}^{n} \prod{j=1}^{