Analisi Matematica II - Curve e Superfici, Integrali Multipli

Curve in $R^n$

• Sia $I \subseteq R$ un intervallo, $r : I \rightarrow R^n$ una funzione continua, $\, := r(I)$. La coppia $(\, ,r)$ si chiama curva in $R^n$.

  • $\,$: sostegno della curva

  • $r$: parametrizzazione di $\,$

  • $I$: intervallo dei parametri

• Esempio: Siano $x, y \in R^n$, con $x \neq y$. La funzione $t \in R \rightarrow x + t(y - x)$ definisce una curva avente come sostegno la retta passante per $x$ e $y$.

• Il sostegno di una curva è sempre un insieme connesso; se l'intervallo dei parametri è compatto, il sostegno è anche compatto.

Esempi di Curve

• Le funzioni

  • $t \in [0, +\infty) \rightarrow x + t(y - x)$

  • $t \in [0, 1] \rightarrow x + t(y - x)$
    definiscono due curve aventi come sostegno, rispettivamente, la semiretta uscente da $x$ e passante per $y$ e il segmento congiungente $x$ e $y$.

• Le funzioni

  • $t \in [0, 2 \pi] \rightarrow (\cos(t), \sin(t))$

  • $t \in [0, 3 \pi] \rightarrow (\cos(t), \sin(t))$

  • $t \in R \rightarrow (\cos(t), \sin(t))$

  • $t \in [0, 2 \pi] \rightarrow (\sin(t), \cos(t))$
    sono tutte parametrizzazioni dell'insieme $S^1 = {(x, y) \in R^2 | x^2 + y^2 = 1}$, circonferenza unitaria in $R^2$.

• La funzione $t \in [0, \pi] \rightarrow (\cos(t), \sin(t))$ è una parametrizzazione dell'insieme $S^1 \cap {(x, y) \in R^2 | y \geq 0}$, metà superiore della circonferenza unitaria.

Osservazioni sulle Curve

• Assegnare il sostegno $\,$ non determina univocamente una curva; tuttavia, se sottintendiamo una parametrizzazione “naturale”, possiamo parlare di “curva $\,$”.

• Viceversa, una curva è univocamente individuata quando se ne assegna la parametrizzazione $r$. Ciò equivale ad assegnare le equazioni parametriche:
  $x<em>1 = r</em>1(t), …, x<em>n = r</em>n(t), t \in I$
  dove $r<em>1, …, r</em>n$ sono le componenti di $r$.

• Il sostegno di una curva ne racchiude le informazioni geometriche; si può interpretare come la traiettoria descritta da una particella che si muove nello spazio. La parametrizzazione racchiude le informazioni cinematiche della curva; si può interpretare come la legge oraria del moto.

Orientazione di una Curva

• L'intervallo dei parametri è orientato; la sua orientazione induce una orientazione (o verso di percorrenza) sul sostegno della curva.

• Esempio: Le funzioni

  • $r_1 := t \in [0, 2\pi] \rightarrow (\cos(t), \sin(t))$

  • $r_2 := t \in [0, 2\pi] \rightarrow (\cos(2\pi - t), \sin(2\pi - t))$
    sono parametrizzazioni della circonferenza unitaria $S^1$ su cui inducono orientazioni opposte.

Estremi, Curve Chiuse, Semplici e Piane

Sia $(\, , r)$ una curva in $R^n$ con intervallo dei parametri $I$.

• Se $I$ ha minimo oppure massimo, $r(\min I)$ e $r(\max I)$ si chiamano estremi della curva.

• La curva è chiusa se $I = [a, b]$ e $r(a) = r(b)$.

• La curva è semplice se, presi due elementi distinti $t<em>1, t</em>2 \in I$, di cui almeno uno interno a $I$, si ha $r(t<em>1) \neq r(t</em>2)$.

• Se il sostegno $\,$ è contenuto in un piano, la curva è piana.

Curve di Jordan

• Una curva piana chiusa e semplice si chiama curva di Jordan.

• Il sostegno di una curva di Jordan è frontiera di due sottoinsiemi connessi di $R^2$, dei quali uno è limitato (interno della curva) e l’altro è illimitato (esterno della curva).

• Esempio: Si stabilisca se la curva di parametrizzazione $r(t) = ((t + 1)^2, t^2(t + 2)), t \in [-2, 1]$ è chiusa e se è semplice e se ne disegni approssimativamente il sostegno.

Curve Grafico (o Cartesiane)

• Sia $I \subseteq R$ intervallo e sia $f : I \rightarrow R$ una funzione continua. La funzione vettoriale $r := t \in I \rightarrow (t, f(t)) \in R^2$ è continua e la sua immagine coincide con il grafico di $f$; dunque $r$ è una parametrizzazione del grafico di $f$.

• La curva piana corrispondente si chiama curva grafico o curva cartesiana; è una curva semplice non chiusa.

Superfici in $R^3$

• Sia $K \subseteq R^2$. $K$ è un insieme di parametri se esiste un insieme $A \subseteq R^2$ aperto e connesso tale che $A \subseteq K \subseteq \overline{A}$.

• Siano $K \subseteq R^2$ un insieme di parametri, $\sigma : K \rightarrow R^3$ una funzione continua e $\Sigma := \sigma(K)$. La coppia $(\Sigma, \sigma)$ si chiama superficie in $R^3$.

  • $\Sigma$: sostegno della superficie

  • $\sigma$: parametrizzazione di $\Sigma$.

Condizione per Superfici

• Assumeremo tacitamente che la parametrizzazione $\sigma$ soddisfi la seguente condizione:

  • Presi due elementi distinti $(u<em>1, v</em>1), (u<em>2, v</em>2) \in K$, di cui almeno uno interno a $K$, si ha $\sigma(u<em>1, v</em>1) \neq \sigma(u<em>2, v</em>2)$.

• Assegnare il sostegno $\Sigma$ non determina univocamente una superficie. Tuttavia, se sottintendiamo una parametrizzazione “naturale”, possiamo parlare di “superficie $\Sigma$”.

• In genere, definiremo una superficie assegnando la parametrizzazione $\sigma$ oppure, equivalentemente, assegnando le equazioni parametriche:
  $x = \sigma<em>1(u, v), y = \sigma</em>2(u, v), z = \sigma<em>3(u, v), (u, v) \in K$ dove $\, \sigma</em>1, \sigma<em>2, \sigma</em>3$ sono le componenti di $\sigma$.

Superfici Grafico (o Cartesiane)

• Siano $K \subset R^2$ insieme di parametri e $f : K \rightarrow R$ funzione continua. La funzione vettoriale $\, := (u, v) \in K \rightarrow (u, v, f(u, v)) \in R^3$ è continua e la sua immagine coincide con il grafico di $f$; dunque $\sigma$ è una parametrizzazione del grafico di $f$.

• Evidentemente $\sigma$ soddisfa la condizione precedente.

• La superficie corrispondente si chiama superficie grafico oppure superficie cartesiana.

Esempi di Superfici

• Coordinate cilindriche, sferiche

  • Sia $r \in R^*_+$. La funzione $\sigma : [0, 2\pi] \times R \rightarrow R^3$ definita ponendo $\,(\theta, z) = (r \cos(\theta), r \sin(\theta), z)$ definisce la superficie cilindrica, che ha come sostegno la “superficie laterale” di un cilindro avente come direttrice la circonferenza di centro l’origine e raggio $r$ contenuta nel piano $xy$ e generatrici parallele all’asse $z$.

  • Sia $r \in R^*_+$. La funzione $\sigma : [0, \pi] \times [0, 2\pi] \rightarrow R^3$ definita ponendo $\,(\phi, \theta) = (r \sin(\phi) \cos(\theta), r \sin(\phi) \sin(\theta), r \cos(\phi))$ definisce la superficie sferica, che ha come sostegno la sfera di centro l’origine e raggio $r$.

Calcolo Differenziale per Curve e Superfici

• Sia $(\, , r)$ una curva in $R^n$, con intervallo dei parametri $I$. Diciamo che la curva è regolare se:

  • $r \in C^1(I, R^n)$;

  • se la curva è chiusa, $r'(\min I) = r'(\max I)$;

  • $r'(t) \neq 0$ per ogni $t \in I$.

• In tal caso, per ogni $t_0 \in I$ possiamo considerare:

  • la retta parametrizzata da $s \in R \rightarrow r(t<em>0) + s r'(t</em>0)$, retta tangente in $t_0$

  • il versore $T(t<em>0) := \frac{r'(t</em>0)}{||r'(t<em>0)||</em>{R^n}}$, versore tangente in $t_0$

Esempi di Curve Regolari

• Verificare se le curve di parametrizzazione

  • $t \in [0, 1] \rightarrow x + t(y - x)$ ($x, y \in R^n$, con $x \neq y$)

  • $t \in [0, 2\pi] \rightarrow (\cos(t), \sin(t))$

  • $t \in [-1, 1] \rightarrow (t^3, t^2)$

  • $t \in R \rightarrow (a \cos(t), b \sin(t), c t)$ ($a, b \in R^<em>_+$, $c \in R^</em>$), elica cilindrica
    sono regolari; in caso affermativo, determinarne il versore tangente in ogni punto.

Curve Regolari a Tratti e Quasi Regolari

• La curva è regolare a tratti se l'intervallo dei parametri $I$ si può suddividere in un numero finito di intervalli $I<em>1, …, I</em>k$ tali che:

  • la restrizione di $r$ a ciascun intervallo è di classe $C^1$,

  • $r'(t) \neq 0$ per ogni $t \in int(I<em>1) \cup … \cup int(I</em>k)$.

• La curva è quasi regolare se è “regolare a tratti in un solo tratto”, cioè se:

  • $r \in C^1(I, R^n)$,

  • $r'(t) \neq 0$ per ogni $t \in int(I)$.

• Invece di “$(\, , r)$ è una curva regolare (quasi regolare, regolare a tratti)”, diremo “$r$ è una parametrizzazione regolare (quasi regolare, regolare a tratti) di $\,$”.

Esempi di Curve Regolari a Tratti e Quasi Regolari

• Stabilire se le curve definite dalle seguenti parametrizzazioni sono regolari, quasi regolari, oppure regolari a tratti, e descriverne il sostegno:

  • $r(t) = (|t - 1|, 1 - |t - 1|), t \in [0, 2]$

  • $r(t) = (t(t - 1), t(t - 1)(2t - 1)), t \in R$

  • $r(t) = (\cos^3(t), \sin^3(t)), t \in [0, 2\pi]$, asteroide

  • $r(t) = \begin{cases} (2t - t^2, 0) &amp; t \in [0, 1) \ (1, (t - 1)^2) &amp; t \in [1, 2] \end{cases}$

Curva Grafico (Esempio)

• Dati $I \subseteq R$ intervallo e $f \in C^1(I, R)$, consideriamo la curva grafico associata a $f$, parametrizzata da $r(t) = (t, f(t)), t \in I$.

• Per ogni $t \in I$ si ha $r'(t) = (1, f'(t))$, quindi la curva grafico è regolare.

• Fissato $t<em>0 \in I$, la retta tangente alla curva grafico in $t</em>0$ ha equazioni parametriche:
  $x = t<em>0 + s, y = f(t</em>0) + s f'(t<em>0), s \in R$ eliminando il parametro $s$ otteniamo l'equazione cartesiana $y = f(t</em>0) + (x - t<em>0) f'(t</em>0)$.

• La retta tangente alla curva grafico in $t<em>0$ coincide con la retta tangente al grafico di $f$ in $t</em>0$.

• Se $f$ è di classe $C^1$ a tratti, la curva grafico è regolare a tratti.

Domini Regolari

• Sia $D \subset R^2$. Diciamo che $D$ è un dominio regolare se:

  • $D$ è la chiusura di un insieme aperto, limitato e connesso;

  • la frontiera di $D$ è unione disgiunta di un numero finito di insiemi $\,<em>1, …, \,</em>m$, ciascuno dei quali è sostegno di una curva semplice, chiusa e regolare (a tratti).

• Gli insiemi $\,<em>1, …, \,</em>m$ si chiamano componenti di $\, D$.

Versore Normale e Orientazione Positiva

Sia $D \subset R^2$ un dominio regolare. Sia $\,$ una componente di $\, D$ con parametrizzazione regolare $r(t) = (x(t), y(t)), t \in I$.

• Per ogni $t \in I$ definiamo il versore normale in $t$:
  $n(t) := (\frac{y'(t)}{||r'(t)||<em>{R^n}}, -\frac{x'(t)}{||r'(t)||</em>{R^n}})$.

• Le seguenti proprietà sono equivalenti:

  • per ogni $t \in I$ il versore normale $n(t)$ punta verso l'esterno di $D$,

  • percorrendo $\,$ si lascia D a sinistra.

• Se ciascuna componente di $\, D$ è orientata positivamente, diciamo che la frontiera di $D$ è orientata positivamente e la denotiamo con $\, D^+$.

Superfici Orientabili

• Sia $(\Sigma, \sigma)$ una superficie con insieme di parametri $K$. Abbiamo convenuto di assumere tacitamente che $\, soddisfi la condizione: presi due elementi distinti$(u1, v1), (u2, v2) \in K$, di cui almeno uno interno a$K$, si ha$\sigma(u1, v1) \neq \sigma(u2, v2)$.</p></li><li><p>In particolare, la restrizione di$\sigma$all'interno di$K$è ingettiva. Pertanto, posto$\,0 := \sigma(int(K))$, per ogni$P \in \Sigma0$esiste un unico elemento di$int(K)$che$\, trasforma in $P$; lo denotiamo con $\sigma^{-1}(P)$.

• Supponiamo ora che $(\Sigma, \sigma)$ sia regolare. Definiamo il campo vettoriale normale $n : \Sigma<em>0 \rightarrow R^3$ ponendo $n(P) := n</em>\sigma(\sigma^{-1}(P))$ per ogni $P \in \Sigma_0$.

• Se il campo vettoriale normale $n$ è prolungabile con continuità a $\, diciamo che la superficie è orientabile.</p></li></ul><h3 id="8b015ff9-3db3-4a77-8986-1f701b316339" data-toc-id="8b015ff9-3db3-4a77-8986-1f701b316339" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Osservazioni sulle Superfici Orientabili</h3><ul><li><p>Se l'insieme dei parametri è aperto, la superficie è banalmente orientabile.</p></li><li><p>Il sostegno di una superficie orientabile ha due “facce”, quella da cui “esce” e quella da cui “entra” il campo vettoriale normale.</p></li><li><p>La superficie cilindrica e la superficie sferica sono orientabili.</p></li><li><p>Il nastro di Möbius non è una superficie orientabile.</p></li></ul><h3 id="96f2736f-8028-4e9c-bf5c-2f5deb9555ac" data-toc-id="96f2736f-8028-4e9c-bf5c-2f5deb9555ac" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Superfici Regolari con Bordo</h3><p>Diciamo che$(\Sigma, \sigma)$è una superficie regolare con bordo se:</p><ul><li><p>l'insieme dei parametri$K$è un dominio regolare;</p></li><li><p>$\, è ingettiva in $K$;

• $\, è di classe$C^1$in$K$e per ogni$(u, v) \in K$la matrice jacobiana$J_\sigma(u, v)$ha rango 2.</p></li><li><p>L'insieme$\sigma(\, K) =: \, \Sigma$si chiama bordo della superficie.</p></li></ul><h3 id="1eadbd81-2dac-4175-a694-e6db1ba87edd" data-toc-id="1eadbd81-2dac-4175-a694-e6db1ba87edd" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Osservazioni sulle Superfici Regolari con Bordo</h3><ul><li><p>Ogni superficie regolare con bordo è anche una superficie regolare ed è orientabile.</p></li><li><p>Se la frontiera di$K$è unione disgiunta di$m$sostegni di curve in$R^2$semplici, chiuse e regolari (a tratti), allora il bordo di$\, è unione disgiunta di $m$ sostegni di curve in $R^3$ semplici, chiuse e regolari (a tratti).

• Se $r<em>j$ parametrizza la j-esima componente di $\, K$, allora $\sigma \circ r</em>j$ parametrizza la j-esima componente di $\, \Sigma$.

• Il verso di percorrenza scelto su ciascuna componente della frontiera di $K$ induce un verso di percorrenza sulla corrispondente componente del bordo di $\,$.

• Se la frontiera di $K$ è orientata positivamente, diciamo che il bordo della superficie è orientato positivamente e lo denotiamo con $\, \Sigma^+$.

• Percorrendo $\, \Sigma^+$ si lascia a sinistra la faccia della superficie da cui “esce” il versore normale.

Superficie Grafico (Esempio)

Sia $K \subset R^2$ un insieme di parametri.

• Se $K$ è un insieme aperto e $f \in C^1(K, R)$, allora la superficie grafico associata a $f$ è una superficie regolare orientabile.
  $\,(u, v) = (u, v, f(u, v))$

• Se $K$ è un dominio regolare e $f \in C^1(K, R)$, allora la superficie grafico associata a $f$ è una superficie regolare con bordo.

• Per ogni $(u, v) \in K$ si ha
  $N<em>\sigma(u, v) = (-\frac{\, f}{\, u}(u, v), -\frac{\, f}{\, v}(u, v), 1)$ il vettore normale punta verso l'alto $||N</em>\sigma(u, v)|| = \sqrt{||\nabla f(u, v)||^2 + 1}$

• Il piano tangente alla superficie coincide con il piano tangente al grafico.

Superfici Regolari a Pezzi

Sia $(\Sigma, \sigma)$ una superficie in $R^3$. Diciamo che $(\Sigma, \sigma)$ è regolare a pezzi se esistono $(\Sigma<em>1, \sigma</em>1), …, (\Sigma<em>k, \sigma</em>k)$ superfici regolari con bordo tali che

• $\, = \Sigma<em>1 \cup … \cup \Sigma</em>k$,

• $\,<em>i \cap \Sigma</em>j = \, \Sigma<em>i \cap \, \Sigma</em>j$ per ogni $i \neq j$.

Domini Regolari in $R^3$

Sia $T \subset R^3$. Diciamo che $T$ è un dominio regolare se

• $T$ è la chiusura di un insieme aperto, limitato e connesso;

• la frontiera di $T$ è unione disgiunta di un numero finito di insiemi $\Sigma<em>1, …, \Sigma</em>m$ che sono sostegni di superfici regolari a pezzi chiuse.

• Se ciascuna delle componenti di $\, T$ è parametrizzata in modo che in ogni punto il versore normale $n$ sia diretto verso l'esterno di $T$, diciamo che la frontiera di $T$ è orientata positivamente e la denotiamo con $\, T^+$.

Integrali Multipli

• Estendere la nozione di integrale a funzioni definite tra generici spazi euclidei di dimensione finita.

• Nell’ordine:

  • funzioni vettoriali di una variabile reale

  • funzioni reali di due e tre variabili reali definite in insiemi normali

  • funzioni vettoriali di due e tre variabili reali definite in insiemi normali

Integrale per Funzioni Vettoriali di una Variabile Reale

• Siano $a, b \in R$ con a < b. Sia $g : [a, b] \rightarrow R^n$, con $n \geq 2$. Diciamo che $g$ è integrabile (secondo Riemann) in $[a, b]$ se lo sono tutte le sue componenti $g<em>1, …, g</em>n$.

• In tal caso, definiamo integrale (di Riemann) di $g$ in $[a, b]$ il vettore
  $\,<em>a^b g(t) dt := (\,</em>a^b g<em>1(t) dt, …, \,</em>a^b g_n(t) dt)$.

Osservazioni

• Se $g$ è continua in $[a, b]$, allora $g$ è integrabile.

• Se $g$ è continua in $[a, b]$ e $h$ è una sua primitiva, allora
  $\,_a^b g(t) dt = h(b) - h(a)$.

• $||\,<em>a^b g(t) dt||</em>{R^n} \leq \,<em>a^b ||g(t)||</em>{R^n} dt$

Sottoinsiemi Normali di $R^2$

• Sia $D \subset R^2$. Diciamo che $D$ è un insieme normale rispetto all'asse $x$ se esistono un intervallo $[a, b]$ e due funzioni continue $\alpha, \beta : [a, b] \rightarrow R$ tali che
  $D = {(x, y) \in R^2 : a \leq x \leq b, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x)}$.

• Diciamo che $D$ è un insieme normale rispetto all'asse $y$ se esistono un intervallo $[a, b]$ e due funzioni continue $\alpha, \beta : [a, b] \rightarrow R$ tali che
  $D = {(x, y) \in R^2 : a \leq y \leq b, \alpha(y) \leq x \leq \beta(y)}$.

• Diciamo che $D$ è un insieme normale se è normale rispetto a (almeno) uno degli assi coordinati.

• In tal caso, chiamiamo area (o misura in $R^2$) di $D$ il numero reale
  $m<em>2(D) = \,</em>a^b (\beta(t) - \alpha(t)) dt$.

Esempi

Descrivere i seguenti sottoinsiemi di $R^2$ come insiemi normali oppure unioni di insiemi normali:

• il disco di centro l’origine e raggio 1

• il triangolo di vertici $(0, 0), (0, 1), (1, 1)$

• l’insieme, contenuto nel primo quadrante, delimitato dalle rette di equazione $x = 0, y = 2$ e dal grafico della funzione definita ponendo $y = \sqrt{x}$

• la regione contenuta nel primo quadrante delimitata dalla retta di equazione $2x + 2y = 5$ e dall’iperbole di equazione $xy = 1$

• le due regioni, contenute nel semipiano $y \geq 0$, delimitate dalla retta di equazione $x + y = 0$ e dalla circonferenza di equazione $x^2 + y^2 = 4$

• la regione contenuta nel primo quadrante delimitata dalle rette di equazione $x = 0, y = x$ e dalla parabola di equazione $y = 2 - x^2$

• l’anello circolare di centro l’origine e raggi 1 e 2

Suddivisione di un Insieme Normale

• Sia $D \subset R^2$ un insieme normale rispetto a un asse coordinato. Una suddivisione di $D$ in insiemi normali è un insieme finito di insiemi normali rispetto al medesimo asse coordinato, a due a due privi di punti interni in comune, la cui unione sia $D$.

Osservazione

• Sia $D$ un insieme normale rispetto all'asse $x$. Scegliamo

  • $x<em>0, x</em>1, …, x<em>h \in [a, b]$ tali che a = x0 < x1 < … < xh = b,

  • $\,<em>0, \,</em>1, …, \,<em>k \in C([a, b], R)$ tali che $\alpha = \,</em>0 \leq \,<em>1 \leq … \leq \,</em>k = \beta$;
    per $i \in {1, …, h}$ e $j \in {1, …, k}$ poniamo
    $D<em>{ij} := {(x, y) \in R^2 : x</em>{i-1} \leq x \leq x<em>i, \,</em>{j-1}(x) \leq y \leq \,<em>{j}(x)}$. Allora: ${D</em>{11}, …, D_{hk}}$ è una suddivisione di $D$ in insiemi normali.

Esempio (Suddivisione Uniforme)

• Fissiamo $k \in N^*$.

• Con le notazioni dell'osservazione, scegliamo i punti $x<em>i$ e le funzioni $\,</em>j$ in modo da suddividere in $k$ parti uguali l'intervallo $[a, b]$ e l'intervallo $[\alpha(x), \beta(x)]$, al variare di $x$ in $[a, b]$.

• Esplicitiamo: per $i, j \in {0, …, k}$ poniamo

  • $x_i := a + \frac{i}{k}(b - a)$

  • $\,_j(x) := \alpha(x) + \frac{j}{k}(\,(x) - \alpha(x))$ per ogni $x \in [a, b]$

  • $D<em>{ij} := {(x, y) \in R^2 : x</em>{i-1} \leq x \leq x<em>i, \,</em>{j-1}(x) \leq y \leq \,_{j}(x)}$
    Si può dimostrare che il diametro di ciascun insieme della suddivisione tende a 0 se k tende a +∞.

Proprietà

1. Se $D$ è insieme normale rispetto a un asse coordinato e ${D<em>1, …, D</em>k}$ è una suddivisione di $D$ in insiemi normali, risulta
   $m<em>2(D) = m</em>2(D<em>1) + … + m</em>2(D_k)$.

Additività della Misura

2. Se $D<em>1$ e $D</em>2$ sono insiemi normali rispetto allo stesso asse coordinato, la loro intersezione, se diversa dall'insieme vuoto, è ancora un insieme normale rispetto allo stesso asse coordinato.

3. Se $D$ è un insieme normale rispetto a un asse coordinato e $\,<em>1$ e $\,</em>2$ sono suddivisioni di $D$ in insiemi normali, allora l'insieme $\,<em>{12}$ delle intersezioni (non vuote) degli elementi di $\,</em>1$ e degli elementi di $\,_2$ è ancora una suddivisione di $D$ in insiemi normali.

Somme Integrali

• Sia $D \subset R^2$ un insieme normale rispetto a un asse coordinato. Sia $f : D \rightarrow R$ una funzione limitata. Sia $\, := {D<em>1, …, D</em>k}$ una suddivisione di $D$ in insiemi normali.

• Definiamo i numeri reali
  $s<em>f(\,) := \sum</em>{i=1}^k m<em>2(D</em>i) \inf f(D<em>i)$ somma integrale inferiore di $f$ relativa a $\,$ $S</em>f(\,) := \sum<em>{i=1}^k m</em>2(D<em>i) \sup f(D</em>i)$
  somma integrale superiore di $f$ relativa a $\,$

• Per ogni suddivisione $\, si ha$sf(\,) \leq Sf(\,)$.</p></li></ul><h3 id="40bccc9d-3da6-4cca-9779-134391af5762" data-toc-id="40bccc9d-3da6-4cca-9779-134391af5762" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Lemma</h3><p>Siano$D \subset R^2$un insieme normale e$f : D \rightarrow R$una funzione limitata. Siano$\,1$e$\,2$due suddivisioni di$D$in insiemi normali. Sia$\,{12}$la suddivisione generata da$\,1$e$\,_2$.</p><ul><li><p>Allora:<br>$sf(\,1) \leq sf(\,{12}) \leq Sf(\,{12}) \leq Sf(\,2)$.</p></li></ul><h3 id="d9753e6c-5e91-4173-bfb6-2b650c215a91" data-toc-id="d9753e6c-5e91-4173-bfb6-2b650c215a91" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Integrali Doppi</h3><ul><li><p>Siano$D \subset R^2$un insieme normale e$f : D \rightarrow R$una funzione limitata.</p></li><li><p>Definiamo l'insieme delle somme inferiori di$f$<br>$ s(f) := {sf(\,) | \, \,}\,{S\,}\,\,}\, D \,}\,\,{ }\, R $<br>e l'insieme delle somme superiori di$f$<br>$S(f) := {S_f(\,) | \,\,}\,\,}\,}\,^{\ }\,}$sono contigui, diciamo che$f$è integrabile in$D$. L'unico elemento separatore degli insiemi$s(f)$e$S(f)$si chiama integrale doppio di$f$in$D$e si denota con il simbolo<br>$\,\, f(x, y) dx dy = \sup s(f) = \inf S(f)$.</p></li></ul><h3 id="b6eadea9-8dd6-47eb-ba1b-3d1bd593f69e" data-toc-id="b6eadea9-8dd6-47eb-ba1b-3d1bd593f69e" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Esempio</h3><ul><li><p>Se$D \subset R^2$è un dominio normale e$f : D \rightarrow R$è la funzione costante di valore c, allora$f$è integrabile e$\,\, f(x, y) dx dy = c m_2(D)$. Note</p><ul><li><p>$m_2(D)$coincide con l'integrale in$D$della funzione costante di valore 1.</p></li><li><p>Se$c \geq 0$, il numero$c m_2(D)$rappresenta il volume di un “cilindro”.</p></li></ul></li><li><p>Se$f$è una funzione integrabile non negativa:</p><ul><li><p>le somme inferiori e superiori sono volumi di solidi di$R^3$costituiti da “cilindri affiancati”;</p></li><li><p>l'integrale doppio di$f$in$D$rappresenta il volume del solido di$R^3$delimitato dall'insieme$D$contenuto nel piano xy, dal grafico di$f$e dai segmenti paralleli all'asse z passanti per i punti della frontiera di$D$.</p></li></ul></li></ul><h3 id="77f89793-7bd3-4055-bd49-1d5738589c0f" data-toc-id="77f89793-7bd3-4055-bd49-1d5738589c0f" collapsed="false" seolevelmigrated="true">Sottoinsiemi Normali di$R^3$e Integrali Tripli</h3><ul><li><p>Sia$T \subset R^3$. Diciamo che$T$è un insieme normale rispetto al piano xy se esistono$D$sottoinsieme normale di$R^2$e due funzioni continue$\gamma, \delta : D \rightarrow R$tali che<br>$T = {(x, y, z) \in R^3 : (x, y) \in D, \gamma(x, y) \leq z \leq \delta(x, y)}$.</p></li><li><p>Con ovvie modifiche si definiscono gli insiemi normali rispetto agli altri piani coordinati.</p></li><li><p>Diciamo che$T$è un insieme normale se è normale rispetto a (almeno) uno dei piani coordinati.</p></li><li><p>In tal caso, chiamiamo volume (o misura in$R^3$) di$T$$ il